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[课时通关精练(十四)]　宇宙航行　相对论
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(2025·南京模拟)如图所示，三颗不同的卫星a、b、c沿圆形轨道绕地运行。a是极地卫星，距地表约1 000 km；b是赤道卫星，轨道高度与a相等；c是地球静止卫星，则(　　)
A.a的周期比c小
B.a的向心加速度比c小
C.b的速率比c小
D.b的机械能比c小
解析：选A。因三个卫星的轨道半径满足ra＝rb＜rc，结合卫星的周期T＝2π ，可得Ta＝Tb＜Tc，A正确；由卫星的向心加速度a＝，可知aa＝ab＞ac，B错误；由卫星的线速度大小为v＝ ，可知va＝vb＞ac，C错误；三颗卫星的质量m不同，则无法比较卫星的动能、引力势能和机械能，D错误。
2.利用三颗位置适当的地球同步静止卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前地球同步静止卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步静止卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A.4 h B.8 h
C.9 h D.16 h
解析：选A。卫星绕地球运动时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即＝mr，解得周期T＝2π ，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，
此时卫星轨道半径r＝2R， T＝2π，又因为T0＝2π＝24 h，所以T＝·T0＝×24 h≈4 h，A正确。
3.(科技前沿融通题)我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是(　　)
A.a、b、c的线速度大小关系为va＜vb＜vc
B.a、b、c的角速度大小关系为ωa＝ωc＞ωb
C.a、b、c的向心力大小关系为Fa＞Fb＞Fc
D.a、b、c的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa
解析：选D。火星静止卫星的角速度等于火星自转角速度，则知a与c的角速度大小相等，即ωa＝ωc，根据v＝ωr，因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知va＜vc，根据a＝ω2r，因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知aa＜ac，对于卫星b与c，根据万有引力提供向心力得G＝m＝mω2r＝ma，可得v＝ ，ω＝，a＝，因卫星b的轨道半径小于卫星c的轨道半径，则vb＞vc，ωb＞ωc，ab＞ac，由上述分析可知，三者的线速度大小关系为va＜vc＜vb，角速度大小关系为ωb＞ωa＝ωc，向心加速度大小关系为aa＜ac＜ab，A、B错误，D正确；向心力大小为Fn＝m＝mω2r＝ma，由于质量未知，所以无法比较a、b、c的向心力大小关系，C错误。
4.如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选D。对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，A、B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m'，故＝ ，C错误，D正确。
5.空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道 Ⅱ 为神舟十六号载人飞船与空间站对接前的运行轨道，已知地球半径为R，两轨道相切于P点，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.从椭圆轨道Ⅱ上P点运动到Q点的过程中，载人飞船机械能增大
B.神舟十六号载人飞船在P点的加速度小于空间站在P点的加速度
C.神舟十六号载人飞船在P点经点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ
D.轨道Ⅰ上的神舟十六号载人飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可
解析：选C。从椭圆轨道Ⅱ上P点运动到Q点的过程中，只有引力做功，机械能守恒，A错误；根据题意，由万有引力提供向心力有＝ma，解得a＝，可知神舟十六号载人飞船在P点的加速度等于空间站在P点的加速度，B错误；神舟十六号载人飞船在P点经点火加速，做离心运动，才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，C正确；对接空间站需要先减速做向心运动降低轨道再加速做离心运动进行对接，D错误。
6.(传统文化融通题)“古有司南，今有北斗”，北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗卫星导航系统的卫星运行轨道半径r越大，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图所示。图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G。忽略地球自转，则(　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.北斗星座GEO卫星的加速度为
D.地球表面的重力加速度为
解析：选D。根据万有引力提供向心力，有G＝m，由上式并结合图像可解得M＝ ＝，A错误；地球的密度为ρ＝ ＝＝，B错误；根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝＝，C错误；根据在地球表面万有引力与重力的关系可得G＝mg，解得地球表面的重力加速度为g＝，D正确。
7.“七星连珠”是一种罕见的天文现象，指太阳系中距太阳由近到远的七颗行星(水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星)在天空中几乎排列成一条直线。假设某次“七星连珠”发生时，七颗行星按照距离太阳由近到远的顺序在太阳同一侧排列成一条直线，运动均看作匀速圆周运动，且仅受太阳引力作用。则下列说法中正确的是(　　)
A.水星距离太阳最近，受到太阳引力最大
B.水星距离太阳最近，线速度最小
C.水星距离太阳最近，周期最大
D.水星距离太阳最近，加速度最大
解析：选D。根据万有引力定律有F＝G，引力的大小取决于太阳质量、行星质量和距离，而题目中没有给出行星的质量信息，则无法比较引力大小，A错误；根据牛顿第二定律有G＝m行星，解得v＝ ，即距离越小，线速度越大。水星距离最近，线速度应最大，而不是最小，B错误；根据周期和线速度的关系有T＝＝2π ，即距离越大，周期越大，水星距离最近，周期应最小，C错误；根据牛顿第二定律有G＝m行星a，解得a＝G，即距离越小，加速度越大，水星距离最近，因此加速度最大，D正确。
8.中国计划在2030年前实现载人登月。航天员在月球表面将一石块竖直向上抛出，测得石块上升过程中的速率的二次方与石块离开抛出点的距离的关系如图所示(图中的v0、x0均为已知量)。月球的半径为R，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球体，忽略月球的自转，已知球的体积V＝πr3，其中r为球的半径，则(　　)
A.月球表面的重力加速度为
B.石块从抛出到落回抛出点所用的时间为
C.月球的质量为
D.月球的密度为
解析：选D。根据匀变速直线运动的规律有＝2g0x0，解得g0＝，A错误；根据速度公式有v0＝g0·，解得t＝，B错误；设石块的质量为m，则有mg0＝G，解得M＝，C错误；月球的体积V＝πR3，月球的密度ρ＝，解得ρ＝，D正确。
9.电影《火星救援》的热映，激起了人们对火星的关注。若航天员在火星表面将小球竖直向上抛出，取抛出位置的位移x＝0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的-t图像如图所示(其中a、b均为已知量)。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转。求：
(1)火星表面的重力加速度g；
(2)火星的密度ρ及其第一宇宙速度v。
解析：(1)小球抛出后位移与时间关系式为
x＝v0t－gt2
变形可得＝v0－gt
所以-t图像的斜率k＝－g＝－
解得g＝。
(2)设小球的质量为m1，则小球在火星表面所受重力等于万有引力，即G＝m1g
又有ρ＝＝
解得ρ＝
设质量为m2的探测器在近火轨道做匀速圆周运动，则有
m2g＝m2
解得v＝ 。
答案：(1)　(2)　　
10.如图甲所示，假设中国航天员登上月球，在月球表面进行了物体在竖直方向做直线运动的实验，弹簧原长时，小球由静止释放，在拉力与重力作用下，测得小球的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，月球的半径为R，引力常量为G，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.小球位移为x0时，正好处于完全失重状态
B.小球的质量为
C.月球的平均密度为
D.月球的第一宇宙速度大于
解析：选C。由题图乙知，小球的位移为x0时，小球的加速度为零，小球的合力为零，弹簧的拉力与小球的重力等大反向，小球既不处于失重状态也不处于超重状态，A错误；设月球表面的重力加速度为g月，小球的质量为m，当小球向下运动的位移为x时，弹簧的伸长量也为x，设小球的加速度为a，对小球受力分析，由牛顿第二定律得mg月－kx＝ma，整理得a＝－x＋g月，结合题图乙知，－＝－，g月＝a0，则m＝，B错误；设月球的质量为M，由mg月＝得M＝，又g月＝a0，解得M＝，则月球的平均密度为ρ＝＝，C正确；月球的第一宇宙速度v月是卫星贴着月球表面环绕的线速度，由＝m得v月＝＝，D错误。(共70张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第五章
万有引力与宇宙航行
第2讲　宇宙航行　相对论
知识梳理　夯实基础
考点探究　提升能力
课时通关精练
02
03
01
学习目标
教考衔接
知识梳理　夯实基础
AI精准定位：高考命题关键点
7.9
最小
11.2
地球
16.7
引力
脱离
AI精准定位：高考命题关键点
小
AI精准定位：高考命题关键点
考点探究　提升能力
卫星运行参量分析
考点一
破题路径
能力要语
考点二
同步卫星
破题路径
角度突破
思维链
角度突破
卫星变轨问题
考点三
能力要语
角度突破
图像问题
考点四
思维链
课时通关精练(十四)　宇宙航行　相对论
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谢谢观看第2讲　宇宙航行　相对论
对应学生用书P105
学习目标 教考链接
1.掌握卫星运动规律，会分析卫星运行时各物理量之间的变化关系 2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度 3.理解卫星变轨、对接原理，会处理变轨时相关物理量的变化关系 4.初步了解相对论，会处理时间延缓效应和长度收缩效应问题 1.卫星运动规律：多结合万有引力提供向心力，以选择题考线速度、周期等与轨道半径的关系，常含比例计算 2.宇宙速度：侧重第一宇宙速度的求解，结合近地卫星模型与黄金代换式，关联发射与环绕速度差异 3.变轨与对接：以我国航天成就为背景，考变轨时的速度、加速度及能量变化，突出离心、近心运动原理 4.相对论：多为定性判断，涉及时间延缓、长度收缩效应的简单应用，难度较低
一、人造地球卫星
1.人造卫星的三种轨道
所有轨道的卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合
赤道轨道 卫星轨道在赤道所在平面上，卫星始终处于赤道上方
极地轨道 卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空
一般轨道 卫星轨道平面和赤道平面成一定角度(不等于0°或90°)
2.地球同步静止卫星
(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星。
(2)特点
①绕行方向一定：同步静止卫星的绕行方向与地球自转方向一致，即自西向东。
②周期一定：同步静止卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。
③角速度一定：同步静止卫星绕行的角速度等于地球自转的角速度。
④轨道平面一定：所有的同步静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面与赤道平面重合。
⑤高度一定：同步静止卫星位于赤道上方，高度固定不变，约为3.6×104 km。
⑥线速度大小一定：同步静止卫星的环绕速度大小约为3.1×103 m/s。
AI精准定位：高考命题关键点
人造卫星的三种轨道
1.赤道轨道：常用于地球静止卫星，可连续覆盖固定赤道区域。
2.极地轨道：可实现全球覆盖，常用于气象与侦察卫星。
3.一般轨道：覆盖范围介于赤道与极地轨道之间，用途广泛。
【例1】 下图中描绘的四种虚线轨迹，不可能是人造地球卫星轨道的是(　　)
静止卫星解题首判赤道轨道，再利用其与地球自转周期相同的已知条件
1.首判轨道归属
仅在赤道上空轨道运行，非赤道轨道直接排除。
2.利用周期已知条件
周期固定为地球自转周期(24 h)。
【例2】 (原创)关于地球静止卫星，下列说法中不正确的是(　　)
A.运行周期与地球自转周期相同
B.轨道平面一定与赤道平面重合
C.运行时能经过北极的正上方
D.离地高度为确定值
二、宇宙速度
1.三种宇宙速度
模型
宇宙速度 数值(km/s) 意义
第一宇宙速度 最大环绕速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕地球运行，等于7.9 km/s，卫星绕地球做匀速圆周运动
第二宇宙速度 11.2 这是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，卫星绕太阳运行
第三宇宙速度 16.7 这是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，卫星将脱离太阳系在宇宙空间运行
2.第一宇宙速度的推导
方法1：由G＝m，得v1＝。
方法2：由mg＝m，得v1＝。
第一宇宙速度用近地模型求解，第二、三宇宙速度分别对应脱离地球、太阳系引力
1.第一宇宙速度：紧扣近地卫星模型，用万有引力提供向心力或黄金代换式求解。
2.第二宇宙速度：核心是脱离地球引力束缚，判断物体是否能脱离地球范围。
3.第三宇宙速度：关键是脱离太阳系引力束缚，需结合太阳系引力场景分析。
【例3】 (原创＋前沿科技融通)由中国航天科技集团研制的实践二十八号卫星，于2025年11月30日20时20分在文昌航天发射场由长征七号运载火箭成功发射升空，顺利进入预定轨道。卫星(　　)
A.发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度
B.发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
C.发射速度大于第三宇宙速度
D.在工作轨道上运行速度大于7.9 km/s
【例4】 我国“天问一号”火星探测器发射后用了大约7个月的时间到达火星表面环绕火星飞行。已知火星的质量为地球的，半径为地球的，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，则“天问一号”环绕火星表面飞行的速度约为(　　)
A.11.2 km/s B.7.9 km/s
C.5.0 km/s D.3.5 km/s
题后反思：
三、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1.爱因斯坦的两个假设
(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2.时间延缓效应
(1)经典物理学认为：某两个事件，在不同的惯性参考系中观察，它们的时间间隔总是相同的。
(2)相对论的时空观：某两个事件，在不同的惯性参考系中观察，它们的时间间隔是不同的。
　　与时间延缓效应均为观测效应，本身没有变化
3.长度收缩效应
(1)经典时空观：一条杆的长度不会因为观察者是否与杆做相对运动而不同。
(2)相对论时空观：长度也具有相对性，一条沿自身长度方向运动的杆，其长度总比静止时的长度小。
4.牛顿力学的局限性
(1)牛顿力学只适用于低速运动，不适用于高速运动。
(2)牛顿力学只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
牛顿力学适用于低速宏观弱引力；相对论依据光速不变，适用于高速强引力
1.牛顿力学
解题先判场景，仅适用于低速、宏观、弱引力环境，高速则排除。
2.效应判断
遇时间或长度变化问题，先看速度是否接近光速，再选对应理论。
【例5】 如图所示，位于教室中央的光源发出一个闪光，闪光照到了教室的前壁和后壁。教室的长度为10 m。在平行于教室高速运动的太空飞船上的观察者(　　)
A.测得照到前壁的光速度小于c
B.观测到飞船上的时间进程比教室慢
C.测得教室的长度小于10 m
D.观察到光同时到达前、后壁
【例1】 答案：选D。
【例2】 答案：选C。
【例3】 答案：选A。
【例4】 解析：选D。第一宇宙速度是卫星环绕星球表面做匀速圆周运动的速度。对于卫星环绕星球表面做圆周运动，由万有引力提供向心力可得G＝m，解得星球的第一宇宙速度的表达式为v1＝，已知地球的第一宇宙速度为v地1＝＝7.9 km/s，所以“天问一号”环绕火星表面飞行的速度v火1＝＝＝×7.9 km/s≈3.5 km/s，D正确。
【例5】 解析：选C。根据光速不变原理，不论光源与观察者之间做怎样的相对运动，光速都是一样的等于c，教室相对于飞船向左运动，则光到前壁的路程变短，光先到达前壁，A、D错误；根据爱因斯坦的相对论，可知太空飞船上的观察者认为看到教室中的时钟变慢，即观测到飞船上的时间进程比教室快，教室的长度变短，小于10 m，B错误，C正确。
考点一　卫星运行参量分析
比较不同高度卫星的速度、加速度、周期、角速度及万有引力大小关系
【例1】 A、B是在同一平面不同轨道上的两颗质量不同的卫星，均绕地球做匀速圆周运动。则(　　)
A.周期TA＞TB B.角速度ωA＞ωB
C.线速度大小vA＞vB D.向心加速度大小aA＞aB
解析：选A。卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得G＝m＝mω2r＝ma＝mr，可得v＝，ω＝，T＝ ，a＝G，由于rA＞rB，则有TA＞TB，ωA＜ωB，vA＜vB，aA＜aB，A正确。
破题路径
能力要语
考点二　同步卫星
地球同步卫星的有关计算
【例2】 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球的质量为M、半径为R、自转周期为T，引力常量为G。
(1)求地球同步卫星距地面的高度h；
(2)假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，求地球自转周期的最小值T'。
解析：(1)对于同步卫星，由万有引力提供向心力得
G＝m(R＋h)
解得h＝－R。
(2)由几何关系可知三颗同步卫星的连线构成等边三角形且三边与地球相切，地球同步卫星的轨道半径变为r'＝2R
由万有引力提供向心力得G＝mr'
解得T'＝4πR。
答案：(1) －R　(2)4πR
破题路径
教学札记：
同步卫星、近地卫星与赤道上物体的参量比较
【例3】 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)
A.b卫星的线速度大于7.9 km/s
B.c卫星的向心加速度最小
C.a、b做匀速圆周运动的周期相同
D.在b、c中，b的线速度大
题后反思：
【例4】 (前沿科技融通题)中国空间站运行在距离地球表面约400千米高的近地轨道上，而地球同步卫星离地高度约为36 000千米。如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为中国空间站，c为地球同步卫星，则下列说法正确的是(　　)
A.线速度的大小关系为va＞vb＞vc
B.周期关系为Ta＝Tc＞Tb
C.向心加速度的关系ac＞ab＞aa
D.同步卫星c的发射速度要大于11.2 km/s
题后反思：
角度突破
1.角速度
2.线速度
3.加速度
思维链
【例3】 解析：选D。由G＝m，解得vb＝ ＝7.9 km/s，故b卫星转动线速度等于7.9 km/s，A错误；对a、c由a＝rω2，其中rc＞ra，ωa＝ωc，可得ac＞aa，对b、c由万有引力提供向心力G＝ma，解得a＝，因为rc＞rb，所以ac＜ab，故a卫星的向心加速度最小，B错误；由于c为同步卫星，可知Ta＝Tc，由万有引力提供向心力＝m，因c的半径更大，可知Tc＞Tb，故Ta＝Tc＞Tb，C错误；对b、c由万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，因为rc＞rb，所以vc＜vb，故在b、c中，b的线速度大，D正确。
【例4】 解析：选B。a与c的角速度和周期相同，由v＝ωr分析可知，va＜vc。由a＝ω2r分析可知，ac＞aa。对于b与c，根据万有引力提供向心力得G＝m＝mr＝ma，解得v＝，T＝ ，a＝，因c的轨道半径比b的大，则vb＞vc，Tc＞Tb，ab＞ac。综上有va＜vc＜vb，Ta＝Tc＞Tb，ab＞ac＞aa，A、C错误，B正确；因同步卫星c没有脱离地球的束缚，所以同步卫星c的发射速度应小于11.2 km/s，D错误。
考点三　卫星变轨问题
分析变轨前后轨道参量(周期、速度、加速度)的变化规律
【例5】 如图所示，某探测器在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过P点时启动点火装置，完成变轨后进入椭圆轨道Ⅱ运行，探测器(　　)
A.在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期
B.在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于经过Q点时的速度
C.在轨道Ⅰ上经过P点时启动点火装置加速，实现变轨
D.在轨道Ⅱ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度
题后反思：
【例6】 (2025·连云港高三期中)2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面。设想嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1；当经过近月点M点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，周期为T2。已知月球半径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面的距离为R，椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面的距离为5R，如图所示，引力常量为G。忽略其他天体对嫦娥六号的影响，则下列说法正确的是(　　)
A.T2＞T1
B.嫦娥六号在椭圆轨道上近月点与远月点速率之比为5∶1
C.月球第一宇宙速度小于轨道Ⅱ上的运行速度
D.嫦娥六号想进入轨道Ⅱ需要在M点点火减速才能完成
题后反思：
角度突破
1.变轨过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供绕Ⅰ轨道所需向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
2.物理量大小关系
(1)速度关系：vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB(vⅠA、vⅢB由v＝判断)。
(2)加速度关系：aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＝aⅢB(由a＝判断)。
(3)周期关系：TⅠ＜TⅡ＜TⅢ(由T＝2π判断)。
能力要语
变轨瞬间速度是 “过渡速度”，低轨变高轨时它比两轨道稳定时的速度都大，高轨变低轨时则都小。
【例5】 解析：选B。根据开普勒第三定律＝k可知，在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期，A错误；根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于经过Q点时的速度，B正确；根据变轨原理可知，探测器在轨道Ⅰ上经过P点时启动点火装置减速，做向心运动，实现变轨，C错误；根据万有引力提供向心力有G＝ma，解得a＝，则在轨道Ⅱ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度，D错误。
【例6】 解析：选D。根据开普勒第三定律，可知T2＜T1，A错误；根据开普勒第二定律可知，嫦娥六号在椭圆轨道上近月点与远月点速率之比为3∶1，B错误；根据牛顿第二定律G＝，解得v＝ ，轨道半径越小，线速度越大，月球第一宇宙速度大于轨道Ⅱ上的运行速度，C错误；嫦娥六号想进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其减速才能完成，D正确。
考点四　图像问题
中心天体上物体的运动图像
【例7】 太阳系外行星P和行星Q可能适宜人类居住，P半径是Q半径的，若分别在P和Q距星球表面附近高为h处水平拋出一小球，小球平抛运动水平位移的二次方x2随抛出速度的二次方变化的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。则下列判断正确的是(　　)
A.行星P和行星Q表面的重力加速度之比为
B.行星P和行星Q的第一宇宙速度之比为
C.行星P和行星Q的密度之比为
D.行星P和行星Q的密度之比为
题后反思：
角度突破
在半径为R的星球Q表面，以初速度v0竖直上抛一小球。
星球Q表面的重力加速度gQ＝，在星球表面物体重力近似等于万有引力，有G＝mgQ，则星球的质量M＝。
思维链
【例7】 解析：选C。平抛运动水平位移x＝v0t，竖直方向做匀变速运动h＝gt2，所以x2＝，由图像可得，斜率分别为kP＝，kQ＝，所以＝，A错误；根据m＝mg，可得第一宇宙速度v＝，又因为P半径是Q半径的，所以＝，B错误；根据G＝mg，可得M＝，行星的体积为V＝πR3，密度为ρ＝＝，可得＝，C正确，D错误。
[课时通关精练(十四)]　宇宙航行　相对论
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(2025·南京模拟)如图所示，三颗不同的卫星a、b、c沿圆形轨道绕地运行。a是极地卫星，距地表约1 000 km；b是赤道卫星，轨道高度与a相等；c是地球静止卫星，则(　　)
A.a的周期比c小
B.a的向心加速度比c小
C.b的速率比c小
D.b的机械能比c小
解析：选A。因三个卫星的轨道半径满足ra＝rb＜rc，结合卫星的周期T＝2π ，可得Ta＝Tb＜Tc，A正确；由卫星的向心加速度a＝，可知aa＝ab＞ac，B错误；由卫星的线速度大小为v＝ ，可知va＝vb＞ac，C错误；三颗卫星的质量m不同，则无法比较卫星的动能、引力势能和机械能，D错误。
2.利用三颗位置适当的地球同步静止卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前地球同步静止卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步静止卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A.4 h B.8 h
C.9 h D.16 h
解析：选A。卫星绕地球运动时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即＝mr，解得周期T＝2π ，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，
此时卫星轨道半径r＝2R， T＝2π，又因为T0＝2π＝24 h，所以T＝·T0＝×24 h≈4 h，A正确。
3.(科技前沿融通题)我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是(　　)
A.a、b、c的线速度大小关系为va＜vb＜vc
B.a、b、c的角速度大小关系为ωa＝ωc＞ωb
C.a、b、c的向心力大小关系为Fa＞Fb＞Fc
D.a、b、c的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa
解析：选D。火星静止卫星的角速度等于火星自转角速度，则知a与c的角速度大小相等，即ωa＝ωc，根据v＝ωr，因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知va＜vc，根据a＝ω2r，因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知aa＜ac，对于卫星b与c，根据万有引力提供向心力得G＝m＝mω2r＝ma，可得v＝ ，ω＝，a＝，因卫星b的轨道半径小于卫星c的轨道半径，则vb＞vc，ωb＞ωc，ab＞ac，由上述分析可知，三者的线速度大小关系为va＜vc＜vb，角速度大小关系为ωb＞ωa＝ωc，向心加速度大小关系为aa＜ac＜ab，A、B错误，D正确；向心力大小为Fn＝m＝mω2r＝ma，由于质量未知，所以无法比较a、b、c的向心力大小关系，C错误。
4.如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选D。对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，A、B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m'，故＝ ，C错误，D正确。
5.空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道 Ⅱ 为神舟十六号载人飞船与空间站对接前的运行轨道，已知地球半径为R，两轨道相切于P点，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.从椭圆轨道Ⅱ上P点运动到Q点的过程中，载人飞船机械能增大
B.神舟十六号载人飞船在P点的加速度小于空间站在P点的加速度
C.神舟十六号载人飞船在P点经点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ
D.轨道Ⅰ上的神舟十六号载人飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可
解析：选C。从椭圆轨道Ⅱ上P点运动到Q点的过程中，只有引力做功，机械能守恒，A错误；根据题意，由万有引力提供向心力有＝ma，解得a＝，可知神舟十六号载人飞船在P点的加速度等于空间站在P点的加速度，B错误；神舟十六号载人飞船在P点经点火加速，做离心运动，才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，C正确；对接空间站需要先减速做向心运动降低轨道再加速做离心运动进行对接，D错误。
6.(传统文化融通题)“古有司南，今有北斗”，北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗卫星导航系统的卫星运行轨道半径r越大，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图所示。图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G。忽略地球自转，则(　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.北斗星座GEO卫星的加速度为
D.地球表面的重力加速度为
解析：选D。根据万有引力提供向心力，有G＝m，由上式并结合图像可解得M＝ ＝，A错误；地球的密度为ρ＝ ＝＝，B错误；根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝＝，C错误；根据在地球表面万有引力与重力的关系可得G＝mg，解得地球表面的重力加速度为g＝，D正确。
7.“七星连珠”是一种罕见的天文现象，指太阳系中距太阳由近到远的七颗行星(水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星)在天空中几乎排列成一条直线。假设某次“七星连珠”发生时，七颗行星按照距离太阳由近到远的顺序在太阳同一侧排列成一条直线，运动均看作匀速圆周运动，且仅受太阳引力作用。则下列说法中正确的是(　　)
A.水星距离太阳最近，受到太阳引力最大
B.水星距离太阳最近，线速度最小
C.水星距离太阳最近，周期最大
D.水星距离太阳最近，加速度最大
解析：选D。根据万有引力定律有F＝G，引力的大小取决于太阳质量、行星质量和距离，而题目中没有给出行星的质量信息，则无法比较引力大小，A错误；根据牛顿第二定律有G＝m行星，解得v＝ ，即距离越小，线速度越大。水星距离最近，线速度应最大，而不是最小，B错误；根据周期和线速度的关系有T＝＝2π ，即距离越大，周期越大，水星距离最近，周期应最小，C错误；根据牛顿第二定律有G＝m行星a，解得a＝G，即距离越小，加速度越大，水星距离最近，因此加速度最大，D正确。
8.中国计划在2030年前实现载人登月。航天员在月球表面将一石块竖直向上抛出，测得石块上升过程中的速率的二次方与石块离开抛出点的距离的关系如图所示(图中的v0、x0均为已知量)。月球的半径为R，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球体，忽略月球的自转，已知球的体积V＝πr3，其中r为球的半径，则(　　)
A.月球表面的重力加速度为
B.石块从抛出到落回抛出点所用的时间为
C.月球的质量为
D.月球的密度为
解析：选D。根据匀变速直线运动的规律有＝2g0x0，解得g0＝，A错误；根据速度公式有v0＝g0·，解得t＝，B错误；设石块的质量为m，则有mg0＝G，解得M＝，C错误；月球的体积V＝πR3，月球的密度ρ＝，解得ρ＝，D正确。
9.电影《火星救援》的热映，激起了人们对火星的关注。若航天员在火星表面将小球竖直向上抛出，取抛出位置的位移x＝0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的-t图像如图所示(其中a、b均为已知量)。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转。求：
(1)火星表面的重力加速度g；
(2)火星的密度ρ及其第一宇宙速度v。
解析：(1)小球抛出后位移与时间关系式为
x＝v0t－gt2
变形可得＝v0－gt
所以-t图像的斜率k＝－g＝－
解得g＝。
(2)设小球的质量为m1，则小球在火星表面所受重力等于万有引力，即G＝m1g
又有ρ＝＝
解得ρ＝
设质量为m2的探测器在近火轨道做匀速圆周运动，则有
m2g＝m2
解得v＝ 。
答案：(1)　(2)　　
10.如图甲所示，假设中国航天员登上月球，在月球表面进行了物体在竖直方向做直线运动的实验，弹簧原长时，小球由静止释放，在拉力与重力作用下，测得小球的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，月球的半径为R，引力常量为G，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.小球位移为x0时，正好处于完全失重状态
B.小球的质量为
C.月球的平均密度为
D.月球的第一宇宙速度大于
解析：选C。由题图乙知，小球的位移为x0时，小球的加速度为零，小球的合力为零，弹簧的拉力与小球的重力等大反向，小球既不处于失重状态也不处于超重状态，A错误；设月球表面的重力加速度为g月，小球的质量为m，当小球向下运动的位移为x时，弹簧的伸长量也为x，设小球的加速度为a，对小球受力分析，由牛顿第二定律得mg月－kx＝ma，整理得a＝－x＋g月，结合题图乙知，－＝－，g月＝a0，则m＝，B错误；设月球的质量为M，由mg月＝得M＝，又g月＝a0，解得M＝，则月球的平均密度为ρ＝＝，C正确；月球的第一宇宙速度v月是卫星贴着月球表面环绕的线速度，由＝m得v月＝＝，D错误。

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