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2026 年初中学业水平
数学冲刺(二)
说明：1.本试题卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟.
2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效.
一、单项选择题(本大题共 6小题，每小题 3分，共 18 分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是最符合要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位
置.错选、多选或未选均不得分.
1.通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为 0℃，如果比水结冰时的温度高 1℃记作+1 ℃，那么
比水结冰时的温度低 3 ℃应记作
A.3℃ B.0℃ C.-3℃ D.±3℃
2.国家能源局发布的数据显示：截至 2025 年底，我国可再生能源总装机达到 23.4 亿千瓦.数据 23.
4 亿用科学记数法表示为
A. 23.4 × 104 B. 23.4 × 108 C. 0.234 × 1010 D. 2.34 × 109
3.将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是
4.如图,在等边三角形 ABC 中,AB=2,BD⊥AB,CD∥AB,则 CD 的长为
A.1
B. 2
C. 3
1
D. 2
5.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是 60~80 次/分.某班班主任随
机测量了班上 15 名学生的心率，统计结果如下表所示：
心率/(次/分) 60 68 70 73 80
人数 2 5 5 1 2
则这 15 名学生的心率的中位数是
A.68 次/分 B.69 次/分 C.70 次/分 D.72.5 次/分
6.如图，在 3×3 的正方形网格中，以线段 AC 为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网
格的格点(网格线的交点)上，这样的平行四边形最多可以画
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
二、填空题(本大题共 6小题，每小题 3 分，共 18 分)
7.将 18化为最简二次根式： .
8.分解因式： 4 2 16 = __________.
9.不等式 5-2x>1 的解集是 .
10.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第①幅图有 6 个圆点，第②幅图有 10 个圆
点，第③幅图有 14 个圆点，……，按照此规律，第⑩幅图中圆点的个数是 .
11.当-2≤x≤2时,函数 y= kx-k+1(k 为常数且 k<0)的最大值是 7,则函数的最小值为 .
12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,P 是 AC 边上一动点,将线段 PA 绕着点 P 顺时针旋
转得到线段 PE，且点 E 落在边 AB 上，连接 CE.当 △ 是等腰三角形时，AP 的长为
.
三、解答题(本大题共 5小题，每小题 6 分，共 30 分)
13.(1)计算: ∣ 2∣ 2sin45 3 0.
(2)如图,AC,BD 相交于点 O,( = , ∠ = ∠ ,，求证：△ △ .
2
14.化简: 1 +1 ÷ 1 2 .
15.如图,△ 和△ 均为等边三角形，D是边 BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．按要求作图.
(保留作图痕迹)
(1)在图 1中作线段 AB 的中点 P.
(2)在图 2中作菱形 DECF,点 F 在 AC 上.
16.某校根据自身特色开设了《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》四个校本课
程，每人只能选择一门课程学习.
(1)若随机从中任选一门课程，选到《家乡文化》的概率是 .
(2)甲、乙两名同学各自随机从中任选一门课程，请用画树状图或列表的方法求他们两人选
到同一课程的概率.
17.某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球.已知该品牌
的乒乓球拍每副定价 120 元，乒乓球每盒定价 15 元.店家给出了两种销售方案：
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球.
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的 90%付款.
该校计划购买乒乓球拍 20 副，乒乓球 x 盒((x>20,,且 x 为整数).
(1)当 x=30)时，若该校按方案一购买，需付款 元；若该校按方案二购买，需付款
元.
(2)当 x 为何值时，两种方案购买所需费用一样
四、解答题(本大题共 3小题，每小题 8 分，共 24 分)
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=3x+2的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y
= 0)的图象交于点 B(b,6).

(1)求 b,k 的值.
(2)C 是 x 轴正半轴上一点，连接 BC 交反比例函数图象于点 D，若. BD=2CD,,求点 D 的坐
标.
19.图 1 是九江市胜利碑，位于江西省九江市八里湖新区的胜利公园，将其抽象成如图 2 所示的示
意图.数学兴趣小组想要测量胜利碑的高度，在建筑 DG 的楼顶 D 处测得胜利碑顶端 B的仰角为
27. 5 ,，在 C 处测得胜利碑顶端 B 的仰角为 45 ,，建筑 D 的仰角为 30 ,已知 DG=50.7m，图中所
有点均在同一平面内，点 A，C，G在同一条水平直线上， ,BA .
(1)填空: ∠ 的度数为 ，. ∠ 的度数为 .
(2)求胜利碑 AB 的高.(结果精确到 0.1m，参考数据： sin27. 5 ≈ 0.46, cos27. 5 ≈ 0.89,
tan27. 5 ≈ 0.52, 3 ≈ 1.73)
20.为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了 A.主
题演讲、B.丹青筑梦、C.逐梦科技、D.家国征文、E.时代剧演五种活动.
收集数据
活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查(每名学生只能选一
项).
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图.
数据应用
(1)本次共抽取了 名学生，扇形统计图中，( = _.
(2)请补全条形统计图.
(3)若该校七年级共有 1200 名学生，请你估计最喜欢的活动为 A，主题演讲的学生人数.
(4)下图是小刚对该校八年级学生“你最喜欢的活动”调查得到的扇形统计图，小刚判断八
年级喜欢 E.时代剧演的学生人数多于七年级.你同意他的看法吗 请说明理由.
五、解答题(本大题共 2小题，每小题 9 分，共 18 分)
21.如图,AB 是⊙O的直径,点 C,D 分别在圆上,D 是 的中点，连接 BD 交 AC 于点 F，点 E
在线段 BC 的延长线上，且 ∠ = ∠ + ∠ .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线.
(2)若 ∠ = 60 ,⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积.
22.随着“江西省城市足球联赛”(简称“赣超”)的开赛，点燃了大家对足球的热情.下图是
某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点 O 处起脚射门，守门员位于点 A，OA 的延长
线与球门线交于点 B 且点 A，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.足
球距离点 O 的水平距离 x(单位：m)与离地高度 y(单位：m)的部分数据如下表：
水平距离 x/m … 6 9 12 15 …
离地高度 y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 …
以点 O 为坐标原点，直线 OB 为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 = __ .
(2)求 y 关于 x的函数解析式.
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度 2.1m 时，该守
门员可防守成功.若守门员距离点 O 水平距离 19m 时，该守门员需要至少退后几米，才能
防守成功
六、解答题(本大题共 12 分)
23.综合与实践
定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所
对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”.如图 1，在△ABC 中，E 是 B
C 边上一点，连接 AE，若 2 = ,,则称点 E 是△ABC 中 BC 边上的“射影点”.
初步感知
(1)如图 2,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,则点 D (填“是”或“不
是”)△ABC 中 AB 边上的“射影点”.
尝试探究
(2)如图 3,已知在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 E,∠BAC=∠BDC,若点 E 是△ACD
中 AC 边上的“射影点”,求证:BE=DE.
迁移应用
(3)如图 4,在矩形 ABCD 中,E 为 BC 边上一动点,连接 DE 交对角线 AC 于点 F,当点 F
恰好是△CDE 中 DE 边上的“射影点”时.
①求证:点 F 也是△ACD 中 AC 边上的“射影点”.
②若 = 2 5, = 4 5,直接写出 CE 的长.
2026 年初中学业水平
数学冲刺(二)参考答案
1. C 2. D 3. B 4. A 5. C 6. C
7.3 2 8.4(m+2)(m-2) 9. x<2 10.42 11.-1
12. 25 58 2或-
7
4提示:∵AC=8,BC=6,∴AB=10.
由旋转的性质可得 AP=PE.∴∠AEP=∠A.
①如图 1,当 EB=EC时,∠B=∠ECB.∵∠A+∠B=90°,∠ACE+∠ECB=
90°,∴∠A=∠ACE,∴AE=CE=BE,∴AE=5.
易得 △ △ , ∴ = , ∴ 5 = , ∴ = 25 .
8 5 8
②如图 2,当 BE=BC=6 时,AE=4.过点 P 作 PF⊥AB 于点 F,则 =
1 = 2,易得△ △ , ∴ = , ∴ 2 = , ∴ = 5
2 8 10 2
③如图 3,当 CE=CB=6 时,∠B=∠BEC.
∵∠A+∠B=90°,∠AEP=∠A,∴∠AEP+∠BEC=90°,
7
∴∠CEP=90°,设 AP=x,则 = 8 , ∴ 8 2 = 2 + 62, ∴ = , ∴
4
= 7 .综上所述，AP 的长为 258或
5 7
4 2
或 4
13.(1)解:原式 = 2 2 1 = 1.································································· 3
分
(2)证明:在△AOB 和△DOC 中,
∠ = ∠ ,
{ = ,
∠ = ∠ ,
∴△AOB≌△DOC(ASA). ·············································································· 3
分
= 1 +1
2
14.解:原式
2 1
= +1 1
+1 1
= 1
+1
= 1 .················································································································
+1
6 分
15.解:(1)如图 1,点 P 即所求. ················································································
3 分
(2)如图 2,菱形 DECF 即所求. ············································································
6 分
1
16.解:(1) 4. ············································································································
2 分
(2)《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》分别用 A. B. C，D 表
示，画树状图如下：
由树状图可知，共有 16 种等可能的结果，两人选到同一课程的结果有 4种，
4 1
∴两人选到同一课程的概率为 16 = 4 .····································································
6 分
17.解:(1)2 550;2 565. ···························································································
4 分
(2)方案一需付款:120×20+(x-20)×15=(15x+2 100)元.
方案二需付款:(120×20+15x)×90%=(13.5. x+2 160)元.
根据题意可列方程 13.5x+2 160=15x+2 100.
解得 x=40.
答 ： 当 x = 4 0 时 ， 两 种 方 案 购 买 所 需 费 用 一 样 .
······························································································································
6 分
18.解:(1)把 B(b,6)代入 y=3x+2 中,得 6=3b+2.
解得 = 4 , …… 2
3
分
∴ 4 6 .
3
4 6 把 代入 = ,得 k=8.
3
∴ = 4 , = 8.······································································································
3
4 分
(2)如图,过点 D作 DH⊥x 轴于点 H,过点 B作 BG⊥x 轴于点 G,
∴BG∥DH,
∴△BCG∽△DCH,
∴ = = 3 ,
1
∴ = 1 = 1 × 6 = 2.··························································· 7 分
3 3
8
把 y=2 代入 = 中,得 x=4,

∴D(4,2). ···········································································································
8 分
19.解:(1)57.5°;17.5°.·························································································
4 分
(2)如图,过点 D 作 DM⊥AB,垂足为 M,设 AB=x m.
∵ = 50.7 , ∠ = 30 , ∴ = 50.7 3 ≈ 87.7
∴BM=AB-AM=AB-DG=(x-50.7)m.
∵在 Rt△ABC中,∠BCA=45°.
∴AC=AB=x m.
∴DM=AG=AC+GC=(x+87.7)m. ·····································································
6分
∵在 Rt△BDM中,∠BDM=27.5°,
∴ tan∠ = = 50.7 ≈ 0.52,
+87.7
解得 x≈200.6.
答:胜利碑 AB 的高约为 200.6m·············································································
8 分
20.解:(1)120;36°. ································································································
2 分
(2)如图所示. ······································································································
3 分
3 9120×1200 = 90(人).
答 ： 七 年 级 约 有 9 0 名 学 生 最 喜 欢 的 活 动 为 A . 主 题 演 讲 .
······························································································································
6 分
(4)不同意.
理由：因为不知道七、八年级的学生人数，所以不能从各自占比比较人数多少.
······························································································································
8 分
21.解:(1)证明:如图,连接 OD,OC.
∵D 是 AC 的中点,
∴∠AOD=∠COD.
∵OA=OC,
∴OD⊥AC,∠OPC=90°.
∵∠BDE=∠A+∠ABD,∠DFA=∠A+∠ABD,
∴∠BDE=∠DFA,
∴DE∥AC,
∴∠ODE=∠OPC=90°,
∴OD⊥DE.
∵OD 是⊙O 的半径,
∴DE 是⊙O 的切线. ···························································································
5 分
(2)∵⊙O的半径为 2.
∴OB=OC=2.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠BOC=60°.
如图,过点 C作 CM⊥OB 于点 M,则∠CMO=90°.
∵OB=OC,∠ABC=60°,
∴△OBC 为等边三角形,
∴ = = 1 = 1,
2
∴ = 2 2 = 22 12 = 3,
∴ = 60 ×2
2 1 2
甲 加水 △ = × 2 × 3 = 3,360 2 3
2
∴阴影部分的面积是 3 3.················································································
9 分
22.解:(1)4.8. ·········································································································
2 分
提示:∵图象过点(9,4.5),(15,4.5),
= 9+15∴对称轴是直线 = 12.
2
又∵抛物线开口向下，
∴当 x=12 时,足球离地最大高度 y=4.8.
(2)由题意，设抛物线为 = 12 2 + 4.8.
又∵抛物线过点(6,3.6),
∴36a+4.8=3.6,
∴ = 1 .
30
∴ = 1 12 2 + 4.8.······················································································ 5
30
分
1
(3)由题意,当 y=2.1 时, 12 2 + 4.8 = 2.1,
30
解得 x=21 或 x=3(舍去).
21-19=2.
∴守门员需要至少退后 2 米，才能防守成功.··························································· 9
分
23.解:(1)是. ········································································································· 2
分
(2)证明:∵点 E 是△ACD 中 AC 边上的“射影点”,
∴ 2 = .
∵∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC,
∴△ABE∽△DCE,
∴ = ,

∴AE·CE=BE·DE.
∴ = 2.
∴BE=DE.········································································································ 5
分
(3)①证明:∵点 F 是△CDE 中 DE 边上的“射影点”,
∴ 2 = , ∴ = .

∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵∠AFD=∠CFE,
∴△ADF∽△CEF,
∴ = , ∴ = .

∴ = ,

∴ 2 = ,
∴点 F 也是△ACD 中 AC 边上的“射影点”. ························································ 8 分
②CE 的长为 4 5或 5. ······················································································ 12 分
提示:∵∠ADC=90°,AB=2 5,AD=4 5,∴AC=10.
如图,过点 D 作 DP⊥AC,垂足为 P,
2
则 = = 4, ∴ = 4 5 42 = 8.

设 AF=x,由①知 2 = ,又 2 = 2 + 2.
∴ = 2 + 2
∴ 10 = 8 2 + 42,即 2 13 + 40 = 0,
解得 1 = 5, 2 = 8,
∴AF=5或 AF=8.
∵△ △ ∴ = ,

∴ 5 = 4 5 8 = 4 5或 .
5 2
∴解得 = 4 5或 = 5.

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