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北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．2cm，5cm，6cm
2．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
4．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（　　）
A． B．
C． D．
5．图1是某款落地折叠晾衣架的实物图，图2是其示意图， ∠ACO=45°，且AB∥CD∥EF，则∠OAC的度数为（　　)
图1 图2
A．85° B．80° C．70° D．75°
6．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
10．如图，直线是上一点，的平分线交于点。若∠1=25°，∠2=126°，则∠3的度数是　 　。
11．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点，.若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　.
12．已知的乘积项中不含的一次项，则与满足的关系是　 　
13．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为：第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，……按此规律继续下去，可得到则其面积　 　．
三、解答题：共7小题，共61分
14．计算：
（1）2-2-20250-（-1)2025
（2）2024×2026-20252
15．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形），
（1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹），
16．三角板是大家熟悉的学具，小东将一副三角板拼成如图所示的图形，并过点C作平分交于点F．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求的度数．
17．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
（1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值．
（2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）．
18．如图，在△ABC中，AB =AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连AD，DE.AD = DE. ∠1 = ∠2.
（1）求证： △ABD≌△DCE；
（2）若AE= 2，BD=3， 求CD的长.
19．某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系：
每公顷氮肥施 用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆 产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系 其中，哪个是自变量，哪个是因变量
（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少 如果不施氮肥呢
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜 说说你的理由。
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
20．在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+3=5，所以A不能组成三角形；
B：3+3=6，所以B不能组成三角形；
C：2+5＜8，所以C不能组成三角形；
D：2+5＞6，所以D能组成三角形。
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一性质，得到BD=AD，从而将的周长转化为BC+AC，结合周长即可求解．
3．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，
∴图形第一段应是和连线的线段，
∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中，
∴图形第二段是水平线段经过分钟，，
∴第三段是第二段末尾和连线的线段，
∴图形表示符合的是D，
故答案为：D．
【分析】根据题目情境理解问题的过程，然后就能够通过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图象即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图阴影部分的面积为：，
第二个图阴影部分的面积为：，
根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等，
∴．
故答案为：B.
【分析】求出两个图中阴影部分的面积解答即可．
5．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠AOC＝∠CEF，
∵∠FEG＋∠CEF＝180°，∠FEG＝120°，
∴∠FEG＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
在△AOC中，∠AOC＋∠OAC＋∠ACO＝180°，∠ACO＝45°，
∴∠OAC＝180° 60° 45°＝75°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，将已知的∠FEG转化到△AOC相关的角∠AOC，再利用三角形内角和求出∠OAC的度数．
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出，过P点作于H，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可．
7．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故答案为：D．
【分析】结合图形可得蓄水池的下部分比上部分的体积小，可得进水的速度，再结合函数图象分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵长和宽分别为，和，的长方形与长方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可．
故答案为：A．
【分析】根据两长方形的长与宽，结合图形得到，然后利用三角形和长方形的面积公式得，从而得，，进而得，据此即可求解.
9．【答案】
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：．
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．【答案】133°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
过C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：133°.
【分析】过C作，，根据平行线的性质得到∠MAB=54°，∠QCE=∠1，∠ACE=∠MAC，根据角平分线的定义求出∠MAC，然后根据角的和差解答即可．
11．【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AD.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，DC=，
，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP=PC，
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴周长=DP+PC+DC，当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【分析】连接AP，AD，利用等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，同时可求出DC的长，利用三角形的面积公式求出AD的长；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=PC，据此可求出DP+CP的最小值，由此可求出△PCD周长的最小值.
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
∵的乘积项中不含的一次项，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据多项式乘以多项式展开合并，然后根据不含项的系数为0解答即可.
13．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵的面积是1，，
∴的面积是的面积的2倍，则的面积是2，
同理，的面积是面积的2倍，则的面积是4，
∴的面积是6，
同理，和的面积都是6，
∴的面积是19，
即的面积是的面积的19倍，
同理的面积是的面积的19倍，即的面积为，
依此类推，面积．
故答案为：．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出即可．
14．【答案】（1）解：原式=-1+1
=
（2）解：法一：解：原式=(2025-1)(2025+1)-20252
=20252-1-20252
=-1
法二：解：原式=4100624-4100625
=-1
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）掌握负指数幂（ ）、零指数幂（， ）、乘方的运算规则，直接代入计算，关键是牢记特殊幂的定义.
（2）法一利用平方差公式 简化计算；法二直接数值运算，体现公式简化运算的优势，核心是平方差公式的应用.
15．【答案】（1）解：如图△A1B1C1为所求，
（2）解： .
（3）解：如图，点P即为所求，
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：分别作 、、 关于直线 的对称点 、、 ，连接 、、，得 .
（3）解：作 关于直线 的对称点 （或作 的对称点 ），连接 与 （或 与 ），延长交直线 于 ，此时 最小（利用对称转化，两点之间线段最小 ）.
【分析】（1）根据轴对称性质，找对称点并连线，关键是准确作出对称点.
（2）用“补形法”（矩形减周围三角形 ）计算面积，核心是将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差.
（3）利用轴对称将折线转化为直线，依据“两点之间线段最小”确定点 ，关键是对称点的构造与线段最长原理的应用.
16．【答案】（1）解：与的位置关系是平行，理由如下：由题意知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意知， ，，
∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据题目条件，已知，且。由于平分，因此。由此可得，从而证明。
（2）由题目条件可知，，。根据三角形内角和定理，，代入数值计算即可求出的大小。
17．【答案】（1）解：由题意知，，解得：．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
红 白 黑
红
白
白
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率=红球的个数÷小球的总个数列出方程求解即可．
（2）先根据列表法列出摸球情况，找出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：由题意知，，
解得：．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
　 红 白 黑
红
白
白
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为．
18．【答案】（1）证明：，
，
又，
（2）解：，
∴，
∴，
，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）上表反映了每公顷土豆的产量与每公顷氮肥的施用量的关系；
其中每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。
（2）当氮肥的施用量是101千克／公顷时，土豆的产量是：32.29吨／公顷。
（3）当氮肥的施用量是336千克／公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，
因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产。
（4）当氮肥的施用量低于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产。
【知识点】用表格表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【分析】（1）题根据自变量和因变量的定义，即自变量是主观操控的数据，导致的因变量的数据变化。表格中每公顷氮肥施用量是主观操控的，导致土豆产量发生变化，因此每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。（2）题找到自变量是101时，对应的因变量就是答案；（3）题观察数据变化发现，每公顷氮肥施用量逐渐增加，而每公顷土豆产量在达到43.46的时候开始下降，即可找到对应的氮肥施用量；（4）题结合数据图的变化简单概括说明即可。
20．【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
【分析】
本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键.
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系： ，代入三角形面积计算公式：，化简得：，结合AB=AC，化简即可得出答案．
（3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由点D为中点，可知：，由，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：，即可得出答案．
（4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由AB=AC，化简即可得出答案．
1 / 1北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．2cm，5cm，6cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+3=5，所以A不能组成三角形；
B：3+3=6，所以B不能组成三角形；
C：2+5＜8，所以C不能组成三角形；
D：2+5＞6，所以D能组成三角形。
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
2．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一性质，得到BD=AD，从而将的周长转化为BC+AC，结合周长即可求解．
3．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，
∴图形第一段应是和连线的线段，
∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中，
∴图形第二段是水平线段经过分钟，，
∴第三段是第二段末尾和连线的线段，
∴图形表示符合的是D，
故答案为：D．
【分析】根据题目情境理解问题的过程，然后就能够通过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图象即可得答案.
4．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图阴影部分的面积为：，
第二个图阴影部分的面积为：，
根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等，
∴．
故答案为：B.
【分析】求出两个图中阴影部分的面积解答即可．
5．图1是某款落地折叠晾衣架的实物图，图2是其示意图， ∠ACO=45°，且AB∥CD∥EF，则∠OAC的度数为（　　)
图1 图2
A．85° B．80° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠AOC＝∠CEF，
∵∠FEG＋∠CEF＝180°，∠FEG＝120°，
∴∠FEG＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
在△AOC中，∠AOC＋∠OAC＋∠ACO＝180°，∠ACO＝45°，
∴∠OAC＝180° 60° 45°＝75°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，将已知的∠FEG转化到△AOC相关的角∠AOC，再利用三角形内角和求出∠OAC的度数．
6．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出，过P点作于H，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可．
7．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故答案为：D．
【分析】结合图形可得蓄水池的下部分比上部分的体积小，可得进水的速度，再结合函数图象分析求解即可.
8．长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵长和宽分别为，和，的长方形与长方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可．
故答案为：A．
【分析】根据两长方形的长与宽，结合图形得到，然后利用三角形和长方形的面积公式得，从而得，，进而得，据此即可求解.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：．
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．如图，直线是上一点，的平分线交于点。若∠1=25°，∠2=126°，则∠3的度数是　 　。
【答案】133°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
过C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：133°.
【分析】过C作，，根据平行线的性质得到∠MAB=54°，∠QCE=∠1，∠ACE=∠MAC，根据角平分线的定义求出∠MAC，然后根据角的和差解答即可．
11．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点，.若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AD.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，DC=，
，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP=PC，
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴周长=DP+PC+DC，当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【分析】连接AP，AD，利用等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，同时可求出DC的长，利用三角形的面积公式求出AD的长；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=PC，据此可求出DP+CP的最小值，由此可求出△PCD周长的最小值.
12．已知的乘积项中不含的一次项，则与满足的关系是　 　
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
∵的乘积项中不含的一次项，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据多项式乘以多项式展开合并，然后根据不含项的系数为0解答即可.
13．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为：第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，……按此规律继续下去，可得到则其面积　 　．
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵的面积是1，，
∴的面积是的面积的2倍，则的面积是2，
同理，的面积是面积的2倍，则的面积是4，
∴的面积是6，
同理，和的面积都是6，
∴的面积是19，
即的面积是的面积的19倍，
同理的面积是的面积的19倍，即的面积为，
依此类推，面积．
故答案为：．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出即可．
三、解答题：共7小题，共61分
14．计算：
（1）2-2-20250-（-1)2025
（2）2024×2026-20252
【答案】（1）解：原式=-1+1
=
（2）解：法一：解：原式=(2025-1)(2025+1)-20252
=20252-1-20252
=-1
法二：解：原式=4100624-4100625
=-1
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）掌握负指数幂（ ）、零指数幂（， ）、乘方的运算规则，直接代入计算，关键是牢记特殊幂的定义.
（2）法一利用平方差公式 简化计算；法二直接数值运算，体现公式简化运算的优势，核心是平方差公式的应用.
15．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形），
（1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹），
【答案】（1）解：如图△A1B1C1为所求，
（2）解： .
（3）解：如图，点P即为所求，
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：分别作 、、 关于直线 的对称点 、、 ，连接 、、，得 .
（3）解：作 关于直线 的对称点 （或作 的对称点 ），连接 与 （或 与 ），延长交直线 于 ，此时 最小（利用对称转化，两点之间线段最小 ）.
【分析】（1）根据轴对称性质，找对称点并连线，关键是准确作出对称点.
（2）用“补形法”（矩形减周围三角形 ）计算面积，核心是将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差.
（3）利用轴对称将折线转化为直线，依据“两点之间线段最小”确定点 ，关键是对称点的构造与线段最长原理的应用.
16．三角板是大家熟悉的学具，小东将一副三角板拼成如图所示的图形，并过点C作平分交于点F．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：与的位置关系是平行，理由如下：由题意知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意知， ，，
∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据题目条件，已知，且。由于平分，因此。由此可得，从而证明。
（2）由题目条件可知，，。根据三角形内角和定理，，代入数值计算即可求出的大小。
17．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
（1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值．
（2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）．
【答案】（1）解：由题意知，，解得：．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
红 白 黑
红
白
白
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率=红球的个数÷小球的总个数列出方程求解即可．
（2）先根据列表法列出摸球情况，找出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：由题意知，，
解得：．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
　 红 白 黑
红
白
白
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为．
18．如图，在△ABC中，AB =AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连AD，DE.AD = DE. ∠1 = ∠2.
（1）求证： △ABD≌△DCE；
（2）若AE= 2，BD=3， 求CD的长.
【答案】（1）证明：，
，
又，
（2）解：，
∴，
∴，
，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系：
每公顷氮肥施 用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆 产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系 其中，哪个是自变量，哪个是因变量
（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少 如果不施氮肥呢
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜 说说你的理由。
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
【答案】（1）上表反映了每公顷土豆的产量与每公顷氮肥的施用量的关系；
其中每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。
（2）当氮肥的施用量是101千克／公顷时，土豆的产量是：32.29吨／公顷。
（3）当氮肥的施用量是336千克／公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，
因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产。
（4）当氮肥的施用量低于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产。
【知识点】用表格表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【分析】（1）题根据自变量和因变量的定义，即自变量是主观操控的数据，导致的因变量的数据变化。表格中每公顷氮肥施用量是主观操控的，导致土豆产量发生变化，因此每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。（2）题找到自变量是101时，对应的因变量就是答案；（3）题观察数据变化发现，每公顷氮肥施用量逐渐增加，而每公顷土豆产量在达到43.46的时候开始下降，即可找到对应的氮肥施用量；（4）题结合数据图的变化简单概括说明即可。
20．在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
【分析】
本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键.
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系： ，代入三角形面积计算公式：，化简得：，结合AB=AC，化简即可得出答案．
（3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由点D为中点，可知：，由，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：，即可得出答案．
（4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由AB=AC，化简即可得出答案．
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