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北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据已知等式可得，即可得到，利用底数相同，指数相等解答即可．
2．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．30° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到 再根据三角形内角和定理解答即可.
3．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
4．如图所示，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，△BPC的面积为10cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．15cm2 B． C．25cm2 D．30cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AP，交BC于点D．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP．
又∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°．
在△ABP和△DBP中，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P是AD的中点．
∴△ABP与△DBP等底同高，故S△ABP=S△DBP；
△ACP与△DCP等底同高，故S△ACP=S△DCP．
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BPC=S△DBP+S△DCP+S△BPC=S△BPC+S△BPC=2×S△BPC，
∵S△BPC=10cm2，
∴S△ABC=2×10=20cm2．
故答案为：B.
【分析】先通过角平分线和垂直的条件，构造全等三角形△ABP≌△DBP，得到P是AD的中点；再利用“等底同高的三角形面积相等”，得出△ABP与△DBP面积相等，△ACP与△DCP面积相等；最后将△ABC的面积转化为2倍的△BPC的面积，代入S△BPC=10cm2计算即可得到答案．
5．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△AEG的周长即可.
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
8． 如图，在 中，， 的角平分线 ， 相交于点 O，过点 O 作 交BC的延长线于点 E，交 AC于点 G，下列结论：
①；②；③。其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，
∴，，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°
∴
=45°
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=45°，故①正确；
②∵∠BOD+∠BOA=180°，∠BOD=45°，
∴∠BOA=180°-∠BOD=180°-45°=135°
∵OF⊥AD，
∴∠DOF=90°
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=45°+90°=135°
∴∠BOA=∠BOF
在△BOA和△BOF中，
∴△BOA≌△BOF (ASA)，故②正确；
如图所示，延长FO交AB于H，
∴∠AOG=∠AOH=90°
在△AOH和△AOG中，
∴△AOH≌△AOG (ASA)，
∴AG=AH， OG=OH，
∴∠BOH=180°-∠BOD-∠DOF=45°
∴∠BOH=∠BOD=45°
在△BOD和△BOH中，
∴△BOD≌△BOH(ASA)，
∴BD= BH， OH=OD，
∴AB=AH+BH=AG+BD， 即BD+AG=AB， 故③正确；
综上所述，其中正确的结论是①②③.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出∠BOA=∠BOF可证明△BOA≌△BOF(ASA)，进而可判断②；延长FO交AB于H，分别证明△AOH≌△AOG(ASA)和△BOD≌△BOH(ASA)，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解： 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
10．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积，
设，，则，，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为6
【分析】
利用四边形CDFE为矩形，设出边长CD和CE，利用已知的小三角形面积，反推出AE和BD与CD，CE的数量关系，进而求出大三角形的面积，最后利用面积割补法即可求解.
11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，则CP+PQ的最小值=　 　．
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ．
当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长．
在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=3，
由勾股定理得：．
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BQ，
∴×6×4=×5×BQ，
解得：BQ=
故答案为：4.8．
【分析】由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B，故CP=BP；根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQ⊥AC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ)；利用△ABC的面积，分别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD，可解得BQ．
12．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.根据图中的程序算法过程，可得y与x之间的关系式是　 　.
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
故答案为：．
【分析】根据程序框图列出式子，再化简即可．
13．如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=BC=6
∵∠C+∠CAD=90°，∠AGF+∠BAD=90°
∴∠AGF=∠C
∵∠DGE=∠AGF
∴∠C=∠DGE
∵DE平分∠ADC
∴∠EDG=∠EDC
∴△DCE≌△DGE(AAS)
DG=DC=6
AD=AG+DG=2+6=8
AC=
连接BG，，即
得FG=，AF=
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的性质知∠BAD=∠CAD，由此得∠C=∠AGF得∠C=∠DGE，可证△DCE≌△DGE，得DG=DC=6，可得AB=AC=10，连接BG，由等面积法得，由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.
三、解答题（共7题；共61分)
14．小马与小虎两人共同计算，小马抄错为，得到的结果为，小虎抄错为，得到的结果为。
（1）原算式中的的值各是多少？
（2）请你计算出原题的正确答案。
【答案】（1），①
又 ， 。
。 ②
所以由①②得 解得
（2）由（1）得
∴ 原式 。
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】把小马、小虎抄错后的整式展开合并，根据对应系数相等呢个得到2b-3a=-13，2b+a=-1，解方程组即可求出a、b的值；
把a、b的值代入原式，根据整式乘法法则解答即可．
15．已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点D，若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，等量代换得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，根据角平分线的定义得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可．
16． 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
【答案】（1）100
（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 此次调查抽取的学生人数为 ：20÷20%=100（人）
故答案为：100；
【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；
（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；
（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，然后化树状图进行分析，得出共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
17．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
18．如图，点D在AC边上，∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=45°，求∠BDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∠2+∠BDE=∠ADE=∠1+∠C，
∴∠BDE=∠C，
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（AAS）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴ED=EC，
∴∠C=∠EDC，
∵∠1=45°，
∴
∴∠BDE=67.5°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到ED=EC，即可得到∠C=∠EDC，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
20．如图， 在锐角三角形ABC中， AB（1）【问题感知】
填空： DM　 　 DN(填“>”， “=”或“<”)；
（2）【探究发现】
若∠FEB=∠B， 小杰经过探究， 得到结论： ∠AFD=∠EFD. 请你帮小杰证明此结论；
（3）【类比探究】
若∠FEB+∠B=180°，请判断上述结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（4）【拓展提升】
已知AB=5， BM=1， DM=3， 若点E关于DF的对称点E'落在边AC上， 连接DE'，请直接写出△AE'D的面积.
【答案】（1）
（2）证明：如图1，作于点，
在和中
，
∴（），
∴．
又由（1）知，
∴，
在和中
，
∴（），
∴
（3）成立，
证明：如图2，
∵，
∴，
延长交的延长线于点，
∴，
∴，
在和中
，
∴（）
∴，．
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴
（4）或
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵平分，，分别是，的高
∴．
故答案为：．
（4）当时，如图3，在线段上取点，使得．
∵，
∴点是点关于的对称点，
∴，
∴，
可得，
∴，，
∴，
∴．
当时，如图4，
在线段上取点，使得，
同理可得，，
∴．
故答案为：或．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答即可；
（2）作于点可证明，即可得到，再根据HL证明，根据对应边相等得到结论；
（3）延长交的延长线于点，根据ASA证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得．
（4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，根据全等三角形的判定和性质求出和，再根据三角形的面积公式得的面积．
1 / 1北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．30° C．80° D．100°
3．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．如图所示，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，△BPC的面积为10cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．15cm2 B． C．25cm2 D．30cm2
5．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
8． 如图，在 中，， 的角平分线 ， 相交于点 O，过点 O 作 交BC的延长线于点 E，交 AC于点 G，下列结论：
①；②；③。其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
10．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为　 　．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，则CP+PQ的最小值=　 　．
12．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.根据图中的程序算法过程，可得y与x之间的关系式是　 　.
13．如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
三、解答题（共7题；共61分)
14．小马与小虎两人共同计算，小马抄错为，得到的结果为，小虎抄错为，得到的结果为。
（1）原算式中的的值各是多少？
（2）请你计算出原题的正确答案。
15．已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点D，若平分，，求的度数．
16． 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
17．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
18．如图，点D在AC边上，∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=45°，求∠BDE的度数.
19．【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
20．如图， 在锐角三角形ABC中， AB（1）【问题感知】
填空： DM　 　 DN(填“>”， “=”或“<”)；
（2）【探究发现】
若∠FEB=∠B， 小杰经过探究， 得到结论： ∠AFD=∠EFD. 请你帮小杰证明此结论；
（3）【类比探究】
若∠FEB+∠B=180°，请判断上述结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（4）【拓展提升】
已知AB=5， BM=1， DM=3， 若点E关于DF的对称点E'落在边AC上， 连接DE'，请直接写出△AE'D的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据已知等式可得，即可得到，利用底数相同，指数相等解答即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到 再根据三角形内角和定理解答即可.
3．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AP，交BC于点D．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP．
又∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°．
在△ABP和△DBP中，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P是AD的中点．
∴△ABP与△DBP等底同高，故S△ABP=S△DBP；
△ACP与△DCP等底同高，故S△ACP=S△DCP．
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BPC=S△DBP+S△DCP+S△BPC=S△BPC+S△BPC=2×S△BPC，
∵S△BPC=10cm2，
∴S△ABC=2×10=20cm2．
故答案为：B.
【分析】先通过角平分线和垂直的条件，构造全等三角形△ABP≌△DBP，得到P是AD的中点；再利用“等底同高的三角形面积相等”，得出△ABP与△DBP面积相等，△ACP与△DCP面积相等；最后将△ABC的面积转化为2倍的△BPC的面积，代入S△BPC=10cm2计算即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△AEG的周长即可.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，
∴，，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°
∴
=45°
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=45°，故①正确；
②∵∠BOD+∠BOA=180°，∠BOD=45°，
∴∠BOA=180°-∠BOD=180°-45°=135°
∵OF⊥AD，
∴∠DOF=90°
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=45°+90°=135°
∴∠BOA=∠BOF
在△BOA和△BOF中，
∴△BOA≌△BOF (ASA)，故②正确；
如图所示，延长FO交AB于H，
∴∠AOG=∠AOH=90°
在△AOH和△AOG中，
∴△AOH≌△AOG (ASA)，
∴AG=AH， OG=OH，
∴∠BOH=180°-∠BOD-∠DOF=45°
∴∠BOH=∠BOD=45°
在△BOD和△BOH中，
∴△BOD≌△BOH(ASA)，
∴BD= BH， OH=OD，
∴AB=AH+BH=AG+BD， 即BD+AG=AB， 故③正确；
综上所述，其中正确的结论是①②③.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出∠BOA=∠BOF可证明△BOA≌△BOF(ASA)，进而可判断②；延长FO交AB于H，分别证明△AOH≌△AOG(ASA)和△BOD≌△BOH(ASA)，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案.
9．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解： 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
10．【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积，
设，，则，，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为6
【分析】
利用四边形CDFE为矩形，设出边长CD和CE，利用已知的小三角形面积，反推出AE和BD与CD，CE的数量关系，进而求出大三角形的面积，最后利用面积割补法即可求解.
11．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ．
当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长．
在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=3，
由勾股定理得：．
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BQ，
∴×6×4=×5×BQ，
解得：BQ=
故答案为：4.8．
【分析】由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B，故CP=BP；根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQ⊥AC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ)；利用△ABC的面积，分别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD，可解得BQ．
12．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
故答案为：．
【分析】根据程序框图列出式子，再化简即可．
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=BC=6
∵∠C+∠CAD=90°，∠AGF+∠BAD=90°
∴∠AGF=∠C
∵∠DGE=∠AGF
∴∠C=∠DGE
∵DE平分∠ADC
∴∠EDG=∠EDC
∴△DCE≌△DGE(AAS)
DG=DC=6
AD=AG+DG=2+6=8
AC=
连接BG，，即
得FG=，AF=
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的性质知∠BAD=∠CAD，由此得∠C=∠AGF得∠C=∠DGE，可证△DCE≌△DGE，得DG=DC=6，可得AB=AC=10，连接BG，由等面积法得，由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.
14．【答案】（1），①
又 ， 。
。 ②
所以由①②得 解得
（2）由（1）得
∴ 原式 。
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】把小马、小虎抄错后的整式展开合并，根据对应系数相等呢个得到2b-3a=-13，2b+a=-1，解方程组即可求出a、b的值；
把a、b的值代入原式，根据整式乘法法则解答即可．
15．【答案】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，等量代换得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，根据角平分线的定义得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可．
16．【答案】（1）100
（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 此次调查抽取的学生人数为 ：20÷20%=100（人）
故答案为：100；
【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；
（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；
（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，然后化树状图进行分析，得出共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
17．【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
18．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∠2+∠BDE=∠ADE=∠1+∠C，
∴∠BDE=∠C，
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（AAS）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴ED=EC，
∴∠C=∠EDC，
∵∠1=45°，
∴
∴∠BDE=67.5°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到ED=EC，即可得到∠C=∠EDC，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
20．【答案】（1）
（2）证明：如图1，作于点，
在和中
，
∴（），
∴．
又由（1）知，
∴，
在和中
，
∴（），
∴
（3）成立，
证明：如图2，
∵，
∴，
延长交的延长线于点，
∴，
∴，
在和中
，
∴（）
∴，．
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴
（4）或
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵平分，，分别是，的高
∴．
故答案为：．
（4）当时，如图3，在线段上取点，使得．
∵，
∴点是点关于的对称点，
∴，
∴，
可得，
∴，，
∴，
∴．
当时，如图4，
在线段上取点，使得，
同理可得，，
∴．
故答案为：或．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答即可；
（2）作于点可证明，即可得到，再根据HL证明，根据对应边相等得到结论；
（3）延长交的延长线于点，根据ASA证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得．
（4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，根据全等三角形的判定和性质求出和，再根据三角形的面积公式得的面积．
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