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2026年5月山东师大附中高一期中检测试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则实数的值为
A．-2 B．-2或1 C．2或-1 D．1
2．如图所示，是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是
A． B． C．1 D．
3．已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
4．已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
5．在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
6．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为
A． B． C． D．
7．革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，测得的长为15米，在，两点处测得纪念碑最顶端处的仰角分别为和，，则纪念碑的高度为
A．17米 B．16米 C．15米 D．14米
8．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则
A．7 B． C．8 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．在上的投影向量是
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是
A．平面
B．
C．直线与直线所成角的大小为
D．设平面底面，则二面角的余弦值为
11．已知在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是
A．若，则是等边三角形
B．若，则
C．若，则是等腰直角三角形
D．若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，内角，，的对边分别为，，，，则________．
13．在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________．
14．如图，在一个二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的大小为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在平面四边形中，，，的面积为．
（1）求的长；
（2）若，，求的长．
16．（本题满分15分）
如图所示，在四边形中，，，，，为的中点，连接．
（1）将四边形绕着线段所在直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将绕着线段所在直线旋转一周形成几何体，若球是几何体的内切球，求球的表面积．
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为等边三角形，平面平面，．
（1）设，分别为，的中点，求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分17分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
19．（本题满分17分）
如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
2026年5月山东师大附中高一期中检测试题答案
数学
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C A C D
二、选择题
题号 9 10 11
答案 BD ABD ACD
三、填空题
12． 13．3 14．
四、解答题
15．解：（1）因为，，的面积为，
所以，所以．
在中，由余弦定理得，所以．
（2）由（1）知在中，，，，所以．
因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得，即，所以．
16．（1）因为，，所以四边形是直角梯形，
，，将四边形绕线段所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱．故几何体表面积为，
体积为．
（2）易知几何体是圆锥，且圆锥底面半径为2，母线长为4，则圆锥的轴截面为边长是4的正三角形．
设圆锥的内切球的半径为，则
，解得，
所以内切球的表面积为．
17．证明：（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则，，因，则，因平面，平面，故平面．
（2）取中点，连接，因为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，故，因，，，平面，故平面．
（3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角，
因为等边三角形，，则，又，在中，．即直线与平面所成角的正弦值为．
18．解：（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得：，所以，因为，，所以，则．
（2）因为的面积为，所以，可得，又由余弦定理可得解得，所以周长为．
（3）由正弦定理可得，则，，
由，
因为为锐角三角形，则，，所以，
即，则，故，
所以周长的取值范围为．
19．（1）证明：，．
∵在等腰梯形中，，
∴在四棱锥中，．
又，，平面，
平面．
又平面，．
∵在等腰梯形中，，，且，
，，，
由勾股定理得，故，
，
∴由勾股定理逆定理得．
，，平面，
平面．
（2），平面，
．
（3）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下：
证明：取的中点，的中点，连结，，．
，分别为，的中点，
且．
且，且，
且，
∴四边形为平行四边形，．
又平面，平面，
平面．

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