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北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（一）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是单项式，并非多项式的因式分解形式，不符合因式分解定义；
B、，将二次三项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
C、，等式右边是整式乘积与常数的差，并非整式积的形式，不符合要求；
D、，是整式乘法运算，从左到右的变形是乘积展开，并非因式分解；
故答案为：B。
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是判断多项式变形是否符合“化为几个整式积的形式”这一特征，依据定义逐一分析选项即可得出答案。
2．代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得： ，属于分式，共有2个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB=DC，AD-BC B．OA=OC，OB=OD
C．AB∥DC，∠BAD=∠BCD D．AB∥DC，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.
4．若aA．a-3-2b D．3a<3b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，故A正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质”逐项判定即可．
5．若关于的分式方程有增根，则增根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：x-3=0，解得：x=3，
因此分式方程的增根就是3。
故答案为：A.
【分析】在解分式方程时，去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根。
6．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
7．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离！先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出长约为42米，由此可知间的距离约为（　　）米
A．21 B．42 C．84 D．90
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故答案为：C．
【分析】根据，分别是，的中点，得是的中位线，根据三角形中位线定理即可得米.
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，F为OC上一点，连接ED，DF，FB.若BE=CF=4，DB=10，EF=6，则△AED的面积为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，对角线，交于点，，
，，
，，
，
，
，即，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，利用勾股定理求出OE长，即可得到AE长，然后根据对角线互相平分的可得四边形是平行四边形，即可得到，，然后根据三角形的面积公式计算即可．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
10．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是　 　．
【答案】7
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是原方程的根，
故估计n大约有7个．
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式，根据袋中黑色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋中随机摸出黑球的概率，列出方程，求解即可.
11．如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12．
【分析】三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段；
三角形中位线的性质：中位线平行于第三边，且长度是第三边的一半（这道题用到的就是长度关系）。
12．如图所示为4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是　 　。
【答案】3
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：把标有数字3的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形.故答案为：3.
【分析】根据中心对称图形的定义“如果一个图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形”解答即可.
13．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若则阴影部分的面积为　 　cm2
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF=∠CFB， ∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
故答案为：18.
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出 再得出 即可求出阴影部分的面积.
三、解答题（共7题；共61分)
14．因式分解：
（1）；
（2）4x2﹣8xy+4y2．
【答案】（1）解：
（2）解：4x2﹣8xy+4y2=(2x-2y)2
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
16．解分式方程：
【答案】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
当时，，
∴这个方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】考查去分母解分式方程的方法，利用等差公式逆运算先把分母分解为由于所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母得3-=-x(x+3)，去括号得，所以12=-3x，所以x=-4，检验当时，，∴这个方程的解为
解这个分式方程时先注意把左边分母因式分解，分解完可以看出所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母时还需要注意作为一个整体要加括号。
17．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
18．如图，在中，对角线与相交于点O，E，F分别是和的中点，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下，
四边形是平行四边形，
，
E，F分别是和的中点，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用中线的性质可得，利用等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
19．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC的中点。
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2，请直接写出线段AB，AC，EF之间的数量关系。
【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=90°。
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°。
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠ABE=∠ADE。
∴AB=AD。
∵AE⊥BD，
∴BE=DE。
∵BF=
（2）解：结论：
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)结论：
理由：如图，延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BP，
∴∠AEP=∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°.
∵∠BAE=∠PAE，
∴∠ABE=∠APE.∴AB=AP.
∵AE⊥BP，∴BE=PE.∵BF=FC，
【分析】（1）根据题意先得到△ABD是等腰三角形，即可得到BE=ED，然后根据三角形的中位线定理证明即可；
（2）延长AC交BE的延长线于点P.根据题意推理得到③ABP是等腰三角形，即可得到BE=PE，然后根据三角形的内角和定理证明结论即可.
20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值．
【答案】（1）②③
（2）解：．
（3）解：原式
该式的值为整数，
或，
或-2或1或-3．
又当分式有意义时，，1，-1，一2，
．
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1） 是整式，则①不是和谐分式，
则②是和谐分式，
则③是和谐分式，
综上所述，属于和谐分式的有②③，
故答案为：②③.
【分析】（1）根据和谐分式的定义逐个判断即可求解；
（2）利用完全平方公式计算即可求解；
（3）利用平方差公式和分式的混合运算法则得到原式为，然后根据该式的值为整数，即可求出x的值，最后根据分式有意义的条件即可求出x的值.
1 / 1北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（一）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．代数式，，，中，属于分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB=DC，AD-BC B．OA=OC，OB=OD
C．AB∥DC，∠BAD=∠BCD D．AB∥DC，AD=BC
4．若aA．a-3-2b D．3a<3b
5．若关于的分式方程有增根，则增根为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离！先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出长约为42米，由此可知间的距离约为（　　）米
A．21 B．42 C．84 D．90
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，F为OC上一点，连接ED，DF，FB.若BE=CF=4，DB=10，EF=6，则△AED的面积为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．10
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．因式分解：　 　．
10．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是　 　．
11．如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为　 　．
12．如图所示为4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是　 　。
13．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若则阴影部分的面积为　 　cm2
三、解答题（共7题；共61分)
14．因式分解：
（1）；
（2）4x2﹣8xy+4y2．
15．解不等式组：
（1）
（2）
16．解分式方程：
17．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
18．如图，在中，对角线与相交于点O，E，F分别是和的中点，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
19．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC的中点。
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2，请直接写出线段AB，AC，EF之间的数量关系。
20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是单项式，并非多项式的因式分解形式，不符合因式分解定义；
B、，将二次三项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
C、，等式右边是整式乘积与常数的差，并非整式积的形式，不符合要求；
D、，是整式乘法运算，从左到右的变形是乘积展开，并非因式分解；
故答案为：B。
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是判断多项式变形是否符合“化为几个整式积的形式”这一特征，依据定义逐一分析选项即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义可得： ，属于分式，共有2个.
故答案为：B.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，故A正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质”逐项判定即可．
5．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：x-3=0，解得：x=3，
因此分式方程的增根就是3。
故答案为：A.
【分析】在解分式方程时，去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故答案为：C．
【分析】根据，分别是，的中点，得是的中位线，根据三角形中位线定理即可得米.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，对角线，交于点，，
，，
，，
，
，
，即，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，利用勾股定理求出OE长，即可得到AE长，然后根据对角线互相平分的可得四边形是平行四边形，即可得到，，然后根据三角形的面积公式计算即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
10．【答案】7
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是原方程的根，
故估计n大约有7个．
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式，根据袋中黑色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋中随机摸出黑球的概率，列出方程，求解即可.
11．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12．
【分析】三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段；
三角形中位线的性质：中位线平行于第三边，且长度是第三边的一半（这道题用到的就是长度关系）。
12．【答案】3
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：把标有数字3的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形.故答案为：3.
【分析】根据中心对称图形的定义“如果一个图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形”解答即可.
13．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF=∠CFB， ∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
故答案为：18.
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出 再得出 即可求出阴影部分的面积.
14．【答案】（1）解：
（2）解：4x2﹣8xy+4y2=(2x-2y)2
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
16．【答案】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
当时，，
∴这个方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】考查去分母解分式方程的方法，利用等差公式逆运算先把分母分解为由于所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母得3-=-x(x+3)，去括号得，所以12=-3x，所以x=-4，检验当时，，∴这个方程的解为
解这个分式方程时先注意把左边分母因式分解，分解完可以看出所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母时还需要注意作为一个整体要加括号。
17．【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
18．【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下，
四边形是平行四边形，
，
E，F分别是和的中点，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用中线的性质可得，利用等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
19．【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=90°。
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°。
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠ABE=∠ADE。
∴AB=AD。
∵AE⊥BD，
∴BE=DE。
∵BF=
（2）解：结论：
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)结论：
理由：如图，延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BP，
∴∠AEP=∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°.
∵∠BAE=∠PAE，
∴∠ABE=∠APE.∴AB=AP.
∵AE⊥BP，∴BE=PE.∵BF=FC，
【分析】（1）根据题意先得到△ABD是等腰三角形，即可得到BE=ED，然后根据三角形的中位线定理证明即可；
（2）延长AC交BE的延长线于点P.根据题意推理得到③ABP是等腰三角形，即可得到BE=PE，然后根据三角形的内角和定理证明结论即可.
20．【答案】（1）②③
（2）解：．
（3）解：原式
该式的值为整数，
或，
或-2或1或-3．
又当分式有意义时，，1，-1，一2，
．
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1） 是整式，则①不是和谐分式，
则②是和谐分式，
则③是和谐分式，
综上所述，属于和谐分式的有②③，
故答案为：②③.
【分析】（1）根据和谐分式的定义逐个判断即可求解；
（2）利用完全平方公式计算即可求解；
（3）利用平方差公式和分式的混合运算法则得到原式为，然后根据该式的值为整数，即可求出x的值，最后根据分式有意义的条件即可求出x的值.
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