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北师大版数学八年级下册期末模拟测试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 ，分别是函数y=kx+b 和y=kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b>kx+b的解集为（　　)
A．x< 2 B．x> 2 C．x≤2 D．x≥2
5．已知 可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是(　　)
A．13， 14 B．15， 16
C．16， 17 D．15， 17
6．若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（　　）
A．-9 B．-8 C．-5 D．-4
7．如图，已知M为平行四边形ABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，BD=3BE，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积之比是（　　）
A．1：2 B．2：5 C．3：5 D．1：3
8．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
10．分解因式：　 　．
11． 如图，在 ABCD中， ∠ABC为锐角，作点B 关于直线AC的对称点 B'，连接 BB'和 B'D.若 BB'=B'D=2AC=4， 则 CD 的长为　 　 .
12．一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有　 　.(只填序号)
13．如图，点是等边三角形内任意一点，，，，点，，分别在，，上，，则　 　．
三、解答题（共7题；共61分)
14．计算
（1）解不等式组 要求利用数轴求不等式组的解集。
（2）因式分解：
15．在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成△ABC，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称．
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）队形继续进行变换，△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2，请写出此时B2的坐标　 　．
16．（1）；
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
17． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=3， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E，连接CE，求AB， CE的长.
18．恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍．
（1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？
（2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？
19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
（1）求证：AE=CF。
（2）若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM=BN，求证：四边形MENF是平行四边形。
20．如图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P。请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形。
（1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性。
　 思路一 思路二
作图步骤 在 BD上作 DQ=BP。点Q即为所求。 过点C作CQ⊥BD于点Q。点Q即为所求。
作图痕迹
我选择思路 ▲ ，理由如下：
（2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】我们先明确原分式：，再把x、y都扩大2倍后，将x替换为2x，y替换为2y，代入分式：，
所得新分式和原分式完全相等，所以分式的值不变，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质把x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24cm，
∴OB+OA=（AC+BD）=12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=18-12=6cm，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得点O是AC、BD的中点，再结合△OAB的周长是18cm和AC+BD=24cm，求出AB=18-12=6cm，最后利用三角形中位线的性质可得EF=AB=3cm.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知直线l1和直线l2的交点坐标是(-2，1)
即当x=-2时，k1x+b1=k2x+b2
由图象可得：直线l1呈下降趋势，y随x的增大而减小直线l2呈上升趋势，y随x的增大而增大
∴当x<-2时，k1x+b1>k2x+b2
即不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是x<-2
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象的性质，通过观察直线l1和l2的交点以及它们的增减性来确定不等式的解集。
5．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴ 这两个整数是15和17。
故答案为：D .
【分析】利用平方差公式因式分解，找出在10至20之间的因数解答即可．
6．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组有解，
∴，解得：，
，
去分母得：，
∵分式方程的解为非负数，且不等于2
∴，即且，
∴，且
∴满足条件的所有整数有-5、-4、-3、-2、0、1、2、3，
∴满足条件的所有整数的和．
故选：B．
【分析】求不等式组的解集并根据不等式组有解，可得，然后再解出分式方程得到，再根据分式方程的解为非负数，可得，即可求解．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵M是AB 的中点，
∵BD=3BE，
∴DE=2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】根据等高的三角形的面积比等于对应底的比得到，，再根据平行四边形的性质得到据此求出比值解答即可．
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴，故①正确．
②如下图所示，连接，，
∵是中点，
∴．
∵、分别是、中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴，故②正确．
③如上图所示：∵是中点，
∴．
∵是中点，
∴．
∵平行四边形的对角线、交于点，
∴是中点，．
∴．
∵是中点，是中点，
∴．
∴，故③不正确．
故答案为：A．
【分析】
根据平行四边形的性质和，再根据已知条件代换可得，再根据． 利用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据中点的定义得到，根据三角的中位线定理得到， ，再根据平行四边形的性质可得，，从而判定得到平行四边形，再根据平行四边形对角相互平分可确定②正确；根据三角形中线分三角形面积相等可得， 再计算，再根据平行四边形的对角线的性质得到，代入计算可得和，再计算三角形的面积之和得，从而可判断③不正确，逐一判断即可解答 ．
9．【答案】 且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义，必须
解得 且x≠3．
故答案为： 且x≠3
【分析】根据二次有意义的条件，被开方数大于等于0，分式有意义的条件，分母不为0，进行求解即可。
10．【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点，连接交于点，
点与点关于对称，
垂直平分，
∵，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接交于点，根据对称可得垂直平分，即可得到，，根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的中位线性质可得，即可求出，然后根据勾股定理解答即可．
12．【答案】①③④
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解： ① 由一次函数y1=kx+b的图象可知，y1随x的增大而减小，∴k<0，故①正确；
②y1的图象与y轴交于正半轴，∴b>0，故②错误；
③∵y1=kx+b与y2=x+a的图象交于点(3，y)，∴当x=3时，y1=y2，故③正确；
④由图象可知，当x<3时，y1的图象在y2的图象上方，∴不等式kx+b>x+a的解集是x<3，故④正确．综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】先根据一次函数y1=kx+b的增减性判断k的符号，再根据其与y轴的交点判断b的符号；再根据两函数图象的交点坐标，判断当x=3时y1与y2的大小关系；最后根据图象中两直线的上下位置关系，确定不等式kx+b>x+a的解集，从而判断每个结论的正误．
13．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长 交于点M，过点作 交于点N，
∵，，，等边三角形
∴，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴ ， ，
∴
故答案为：6 .
【分析】本题主要考察等边三角形和平行四边形的性质运用，通过构造辅助线来解决问题。
延长与相交于点M，过点作与交于点N。由此可得：和都是等边三角形，四边形和都是平行四边形根据这些图形的性质可以得到以下等式关系：，，
最终得出的结论。
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
把它们的解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：①；
②．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）求出两个不等式的解集，在数轴上表示，得到两个解集的公共部分解答即可；
（2）①利用平方差公式因式分解；
②先提出公因式2，再利用完全平方公式分解因式．
15．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求：
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求：
（3）（5，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）如图，△A1B2C2即为所求：
∴B2的坐标为（5，3）
故答案为：（5，3）
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点M的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
16．【答案】解：（1），
方程两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
，
根据题意，，即，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根的有效性；
（2）先按分式运算法则化简表达式，再根据分母不为 0 的条件选取合适的数代入求值。
17．【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的直角三角形的性质可得的长；然后根据得到，利用对应边相等得到，即可得到△ACE是等边三角形，据此解答即可．
18．【答案】（1）解：设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）解：该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，根据题意列关于x的分式方程解答即可；
（2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，根据总利润不低于6400元，列关于y的一元一次不等式求最小整数解即可．
（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），
该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD。∴∠BAC=∠DCA。
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
∵∠BAC=∠DCA，AB=CD，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF。
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC。∴∠DAC=∠BCA。
∵DM=BN，∴AM=CN。
又∵∠DAC=∠BCA，AE=CF，
∴△AME≌△CNF(SAS)。
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN。
∴∠MEF=∠NFE。∴ME∥NF，且ME=NF。
∴四边形MENF是平行四边形。
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AB =CD，AB∥CD，由‘“AAS"可证△ABE≌△CDF， 可得AE=CF；
(2)由““SAS"’可证△AME≌△CNF，可得ME = NF，∠AEM =∠CFN， 可得ME∥NF， 即可证四边形MENF是平行四边形.
20．【答案】（1）解：选择思路一， 理由如下：
连接AC交BD于点O ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四边形APCQ为平行四边形。
选择思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
（2）解：答案二：解：如图，用尺规作图在∠DCB内部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于点Q，点Q即为所求。
由作图可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）选择思路一，连接AC，可证明OA=OC，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出四边形APCQ为平行四边形；选择思路二，通过证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
（2）如图，作∠DCQ=∠BAP，可根据ASA证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
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一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
2．把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】我们先明确原分式：，再把x、y都扩大2倍后，将x替换为2x，y替换为2y，代入分式：，
所得新分式和原分式完全相等，所以分式的值不变，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质把x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变。
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24cm，
∴OB+OA=（AC+BD）=12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=18-12=6cm，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得点O是AC、BD的中点，再结合△OAB的周长是18cm和AC+BD=24cm，求出AB=18-12=6cm，最后利用三角形中位线的性质可得EF=AB=3cm.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 ，分别是函数y=kx+b 和y=kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b>kx+b的解集为（　　)
A．x< 2 B．x> 2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知直线l1和直线l2的交点坐标是(-2，1)
即当x=-2时，k1x+b1=k2x+b2
由图象可得：直线l1呈下降趋势，y随x的增大而减小直线l2呈上升趋势，y随x的增大而增大
∴当x<-2时，k1x+b1>k2x+b2
即不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是x<-2
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象的性质，通过观察直线l1和l2的交点以及它们的增减性来确定不等式的解集。
5．已知 可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是(　　)
A．13， 14 B．15， 16
C．16， 17 D．15， 17
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴ 这两个整数是15和17。
故答案为：D .
【分析】利用平方差公式因式分解，找出在10至20之间的因数解答即可．
6．若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（　　）
A．-9 B．-8 C．-5 D．-4
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组有解，
∴，解得：，
，
去分母得：，
∵分式方程的解为非负数，且不等于2
∴，即且，
∴，且
∴满足条件的所有整数有-5、-4、-3、-2、0、1、2、3，
∴满足条件的所有整数的和．
故选：B．
【分析】求不等式组的解集并根据不等式组有解，可得，然后再解出分式方程得到，再根据分式方程的解为非负数，可得，即可求解．
7．如图，已知M为平行四边形ABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，BD=3BE，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积之比是（　　）
A．1：2 B．2：5 C．3：5 D．1：3
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵M是AB 的中点，
∵BD=3BE，
∴DE=2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】根据等高的三角形的面积比等于对应底的比得到，，再根据平行四边形的性质得到据此求出比值解答即可．
8．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴，故①正确．
②如下图所示，连接，，
∵是中点，
∴．
∵、分别是、中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴，故②正确．
③如上图所示：∵是中点，
∴．
∵是中点，
∴．
∵平行四边形的对角线、交于点，
∴是中点，．
∴．
∵是中点，是中点，
∴．
∴，故③不正确．
故答案为：A．
【分析】
根据平行四边形的性质和，再根据已知条件代换可得，再根据． 利用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据中点的定义得到，根据三角的中位线定理得到， ，再根据平行四边形的性质可得，，从而判定得到平行四边形，再根据平行四边形对角相互平分可确定②正确；根据三角形中线分三角形面积相等可得， 再计算，再根据平行四边形的对角线的性质得到，代入计算可得和，再计算三角形的面积之和得，从而可判断③不正确，逐一判断即可解答 ．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】 且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义，必须
解得 且x≠3．
故答案为： 且x≠3
【分析】根据二次有意义的条件，被开方数大于等于0，分式有意义的条件，分母不为0，进行求解即可。
10．分解因式：　 　．
【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
11． 如图，在 ABCD中， ∠ABC为锐角，作点B 关于直线AC的对称点 B'，连接 BB'和 B'D.若 BB'=B'D=2AC=4， 则 CD 的长为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点，连接交于点，
点与点关于对称，
垂直平分，
∵，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接交于点，根据对称可得垂直平分，即可得到，，根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的中位线性质可得，即可求出，然后根据勾股定理解答即可．
12．一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有　 　.(只填序号)
【答案】①③④
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解： ① 由一次函数y1=kx+b的图象可知，y1随x的增大而减小，∴k<0，故①正确；
②y1的图象与y轴交于正半轴，∴b>0，故②错误；
③∵y1=kx+b与y2=x+a的图象交于点(3，y)，∴当x=3时，y1=y2，故③正确；
④由图象可知，当x<3时，y1的图象在y2的图象上方，∴不等式kx+b>x+a的解集是x<3，故④正确．综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】先根据一次函数y1=kx+b的增减性判断k的符号，再根据其与y轴的交点判断b的符号；再根据两函数图象的交点坐标，判断当x=3时y1与y2的大小关系；最后根据图象中两直线的上下位置关系，确定不等式kx+b>x+a的解集，从而判断每个结论的正误．
13．如图，点是等边三角形内任意一点，，，，点，，分别在，，上，，则　 　．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长 交于点M，过点作 交于点N，
∵，，，等边三角形
∴，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴ ， ，
∴
故答案为：6 .
【分析】本题主要考察等边三角形和平行四边形的性质运用，通过构造辅助线来解决问题。
延长与相交于点M，过点作与交于点N。由此可得：和都是等边三角形，四边形和都是平行四边形根据这些图形的性质可以得到以下等式关系：，，
最终得出的结论。
三、解答题（共7题；共61分)
14．计算
（1）解不等式组 要求利用数轴求不等式组的解集。
（2）因式分解：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
把它们的解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：①；
②．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）求出两个不等式的解集，在数轴上表示，得到两个解集的公共部分解答即可；
（2）①利用平方差公式因式分解；
②先提出公因式2，再利用完全平方公式分解因式．
15．在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成△ABC，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称．
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）队形继续进行变换，△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2，请写出此时B2的坐标　 　．
【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求：
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求：
（3）（5，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）如图，△A1B2C2即为所求：
∴B2的坐标为（5，3）
故答案为：（5，3）
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点M的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
16．（1）；
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】解：（1），
方程两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
，
根据题意，，即，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根的有效性；
（2）先按分式运算法则化简表达式，再根据分母不为 0 的条件选取合适的数代入求值。
17． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=3， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E，连接CE，求AB， CE的长.
【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的直角三角形的性质可得的长；然后根据得到，利用对应边相等得到，即可得到△ACE是等边三角形，据此解答即可．
18．恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍．
（1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？
（2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？
【答案】（1）解：设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）解：该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，根据题意列关于x的分式方程解答即可；
（2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，根据总利润不低于6400元，列关于y的一元一次不等式求最小整数解即可．
（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），
该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
（1）求证：AE=CF。
（2）若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM=BN，求证：四边形MENF是平行四边形。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD。∴∠BAC=∠DCA。
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
∵∠BAC=∠DCA，AB=CD，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF。
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC。∴∠DAC=∠BCA。
∵DM=BN，∴AM=CN。
又∵∠DAC=∠BCA，AE=CF，
∴△AME≌△CNF(SAS)。
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN。
∴∠MEF=∠NFE。∴ME∥NF，且ME=NF。
∴四边形MENF是平行四边形。
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AB =CD，AB∥CD，由‘“AAS"可证△ABE≌△CDF， 可得AE=CF；
(2)由““SAS"’可证△AME≌△CNF，可得ME = NF，∠AEM =∠CFN， 可得ME∥NF， 即可证四边形MENF是平行四边形.
20．如图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P。请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形。
（1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性。
　 思路一 思路二
作图步骤 在 BD上作 DQ=BP。点Q即为所求。 过点C作CQ⊥BD于点Q。点Q即为所求。
作图痕迹
我选择思路 ▲ ，理由如下：
（2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性。
【答案】（1）解：选择思路一， 理由如下：
连接AC交BD于点O ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四边形APCQ为平行四边形。
选择思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
（2）解：答案二：解：如图，用尺规作图在∠DCB内部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于点Q，点Q即为所求。
由作图可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）选择思路一，连接AC，可证明OA=OC，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出四边形APCQ为平行四边形；选择思路二，通过证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
（2）如图，作∠DCQ=∠BAP，可根据ASA证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
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