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（基础篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线上有三个点，那么的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
4．为了得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
5．如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，OC，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①③ D．①②
二、填空题
11．圆内接四边形中，，则的度数为_____
12．已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_______．
13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后______米停下来．
14．如图，P是⊙外一点，是⊙的切线，A点为切点，交⊙于点B，C是优弧上一点，若，，则的度数为______．
15．如图，在半径为的扇形中，，为的中点，过点作交于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题
16．计算和解方程：
(1)；
(2)．
17．计算：
(1)
(2)
18．已知二次函数．
(1)求二次函数的最小值；
(2)求抛物线与x轴的交点．
19．如图，在中，，D是斜边上一点，在射线上用尺规作一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）．

20．如图在中，，．
(1)尺规作图：经过点B作，使得圆心在边上，且与边相切于点D．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
(2)在（1）的条件下若，求的半径．
21．如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
22．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m．

(1)求水管的长度．
(2)如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，画出点所在的抛物线的草图，并直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．
(3)将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离．
23．如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯，在路灯前方竖立有一木杆，已知木杆长米，木杆与路灯的距离米，并且在D点测得灯源A的仰角为．

(1)求路灯高大约是多少米？
(2)请在图中画出木杆在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长（结果精确到0.1m，参考数据：）
《（基础篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C A A B D B
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得二次函数的开口方向以及对称轴，从而得出抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，由此即可出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
，
，
故选：D．
3．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
【详解】解：∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
4．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，关键是将抛物线平移转化为顶点平移．
通过比较原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移量．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，
∴需要将顶点从平移到，即向右平移1个单位，向下平移2个单位．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理得到，进而得到答案．
【详解】解：，
．
故选：C．
6．A
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出是等边三角形是解题关键．
根据作图的方法得出是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】解：连接，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，的值随值的增大而减小，
而时，的值随值的增大而减小，
，
故选A．
8．B
【分析】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键．
先根据圆周角定理求出，求出半径，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径，
∴半径，
∵圆周角，
∴
∴圆心角，
∴的长是，
故选：B．
9．D
【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：设正六边形的边长为x，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵的长为，
∴，
解得，
正六边形的边长为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用．
10．B
【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断③，根据时，y的值的正负可判断④．本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴①是正确；
∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的对称轴为，
，
，
∴②是错误；
观察图像可知当时，，
∴③是正确；
由得，时，，
由图知，时，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴④是正确；
故选：B．
11．
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据在圆内接四边形中，设，则，，再根据圆内接四边形的对角互补求出的值，进而计算得出结果．
【详解】解：圆内接四边形中，
设，则，，
，即，
解得：，
．
即，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴没有交点，则，进而求解．
【详解】解：抛物线与轴没有交点，
∴，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
13．
40
【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求的最大值即可．
【详解】解：．
因为，当时，s取得最大值．
故汽车刹车后米停下来．
故答案为：．
14．/30度
【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、特殊角的三角函数等知识，利用切线的性质得到，利用正弦定义和特殊角的三角函数得到，进而利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵是外一点，是的切线，A为切点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】解直角三角形求得，根据平行线的性质得到，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：，，
，
，为的中点，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元一次方程．
（1）分别计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
解得
17．(1)0
(2)1
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，正确计算是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数化为顶点式，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）先利用配方法得出顶点式，再利用二次函数性质求解；
（2）令，构建方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，函数有最小值，为；
（2）解：在二次函数中，令，得，
解得：，，
抛物线与x轴的交点坐标为．
19．见解析
【分析】先作的垂直平分线得到的中点O，再作的外接圆，则与射线的交点为E，利用圆周角定理可确定E点满足条件．
【详解】解：①作的中垂线交于点O
②以O为圆心，的长为半径，作圆，
则与射线的交点为E

【点睛】本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，本题主要利用了圆周角定理．
20．(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，以点为圆心，长为半径即可作；
（2）设的半径为，如图，过作于，证明四边形是矩形，利用勾股定理可得：，进一步即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴边与相切于点D，
故即为所求作；
（2）解：设的半径为，
如图，过作于，
∵，
∴四边形是矩形；
设的半径为，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了尺规作图、圆的切线的判定、等腰三角形的判定，勾股定理的应用，矩形的判定与性质等知识点，根据题意作图是解题关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
（1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论；
（2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵C为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
设圆的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴圆的半径为．
22．(1)
(2)图像如图所示，
(3)
【分析】对于（1），根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点，再设顶点式并求出，令可得答案；
对于（2），先画出图象，再确定点的坐标，进而得出关系式，并求出自变量取值范围；
对于（3），先求出平移后的关系式，再令，可得答案．
【详解】（1）根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点．
设二次函数的关系式为，根据题意，得
．
又∵图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为．
当时，，
∴m．
（2）如图所示．

由（1），得二次函数的关系式为．
则点关于y轴对称的点的坐标为，
∴点所在抛物线的关系式为（）；
（3）将水管喷头往上平移，可得关系式为．
令，得，
解得或（舍）．
所以水柱落地后离中心的距离是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，画二次函数图像，二次函数图像的平移，二次函数的对称性等，选择适当的关系式是解题的关键．
23．(1)路灯高大约是米．
(2)影长为米
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）如图，在中，求出的长，用的长加上的长即可得到的长；
（2）延长交的延长线与点，则：即为所求，解直角三角形，求出的长即可．
掌握锐角三角函数的定义，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，由题意，得：，，

在中，，
∴；
答：路灯高大约是米．
（2）如图：即为所求；

∵，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∴影长为米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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