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（基础篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是由个相同的小正方体组成的几何体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不相同
2．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，如图， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（ ）
A． B．20 C．30 D．40
5．已知、满足，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和点在反比例函数的图象上，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．已知正比例函数的图像与反比例函数图像相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图像的另一交点坐标为
C．当或时，
D．反比例函数随的增大而减小
9．如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若点，在反比例函数的图象上，则______（“”“”“ ”）．
12．若锐角满足，则_______．
13．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示，当时，____．
14．如图，是的边上的高，点E是上一点，过点E作于点F，交于点G，且，，若，，则的长为__________________．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则经过点B的反比例函数的表达式为______．
三、解答题
16．计算：．
17．（1）解方程：
（2）计算：．
18．如图，在正方形网格中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心，按位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后，B，C两点的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标：（________，________），（________，________）；
(2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点M的对应点的坐标：（ ， ）．
19．（1）已知与成正比例，且当时，．当时，求的值．
（2）如图，是菱形的对角线，，请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为E，交于F（不要求写作法，保留作图痕迹）；同时连接，求的度数．
20．一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）．
21．如图，已知中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．

23．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何位置时，？
24．某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出压强关于木板面积的函数解析式；
(2)当木板面积为时，木板对地面的压强是多少？
《（基础篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C D A A C A C
1．A
【分析】本题考查了三视图，根据该几何体的三视图可逐一判断，掌握三视图的含义是解题的关键．
【详解】该几何体的主视图：
左视图：
俯视图：
∴主视图、左视图相同．
故选：．
2．B
【分析】将各个点代入解析式，即可确定相应的x的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，，，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查比较反比例函数自变量的大小，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键．
3．D
【分析】本题主要考查了三角形函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．设，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据新定义，得出答案即可．
【详解】解：设，，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．
先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为，
代入点得：，解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，，对每一项进行计算判断即可．
【详解】解：
设，()，
则有，
故A选项正确；
由，，
可得：，
故B选项正确；
由，，
可知，，
，
故C选项正确；
由，，
可得：，，
，
，
故D选项不正确．
故选：D．
6．A
【分析】由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数当时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，涉及求函数解析式，函数图像的交点，函数的性质，掌握这些知识点是关键；由点可求正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一判断选项．
【详解】解：设正比例函数，
∵点在正比例函数上，
∴，
∴，
∴；
设反比例函数，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴；
A错误，反比例函数解析式为，不是；
B错误，联立和，即，
解得：，
则两图像交点为和，
∴两个函数图像的另一交点坐标为，不是；
D错误，反比例函数在每个象限内y随x增大而减小，但选项未指定区间，表述不准确；
C正确，由于两图像交点为和，
当或时，．
故选C．
9．A
【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解．
【详解】解：在矩形中，
，
，
，
是边的中点，
，
，
，故①符合题意；
如图，过作交于，

，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，且，
是的垂直平分线，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，，
，故④符合题意；
，
，
，
，且，，
，且，
，
，
，
，
，
∴，
故③符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，过作于点，延长交于点，由题意得，，，证明，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，
由题意得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入函数解析式求出纵坐标，再比较大小．
【详解】解：对于反比例函数 ，
当 时，；
当 时，．
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值，由可得，从而求出，再求．
【详解】解：∵，且为锐角，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．1200
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质．
首先设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式；再把代入函数解析式求解即可．
【详解】设，
∵图像经过点，
∴，解得，
∴
把代入可得．
故答案为：1200．
14．
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
证明，求得，根据勾股定理得到，证明，得到，设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式等知识，正确得出点B的坐标是解题的关键；
过点A作轴于点E，过点B作于点F，交y轴于点G，如图，利用正方形的性质证明，从而得出，进而得出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，交y轴于点G，如图，
∴，，
∵正方形的顶点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点B的坐标是，
设经过点B的反比例函数的表达式为，
则，
∴经过点B的反比例函数的表达式为；
故答案为：．
16．3
【分析】根据绝对值意义，负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值计算。第（1）问的关键是利用平方差公式进行因式分解求解；第（2）问的关键是掌握特殊角的三角函数值并遵循正确的运算顺序；
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）根据特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
，即，
，
解得：；
（2）
18．(1)见解析；；；
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，熟知位似的相关知识是解题的关键．
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），则把B、C两点的横纵坐标都乘以可得，两点的坐标，据此作图即可；
（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则；
（2）解：由题意得，点M的对应点的坐标为．
19．（1）；（2）作图见解析；
【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可；根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质求出，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：与成正比例，
设
将时，代入得：
解析式为
将，代入，
解得：．
（2）如图所示
四边形是菱形，
，，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，菱形的性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规作一条线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关的性质和待定系数法．
20．灯塔A到航线的最短距离为千米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键．
过A作于C，根据垂线段最短得知的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，利用特殊角的三角函数求解即可．
【详解】解：过A作于C，则的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，
根据题意，，千米，
∴，
，
∴，，
∴，
解得：（千米），
故灯塔A到航线的最短距离为千米．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质
（1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：证明：，
，
，
，
；
（2），
∵
∴，
∵
故，
22．，
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代值求出，则，同理可得，由此求出，则．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
23．当点P为的中点时，，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，结合点P为的中点，可得，即可解答．
【详解】解：当点P为的中点时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
24．(1)
(2)当木板面积为时，木板对地面的压强是
【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果．
（1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式；
（2）将代入解析式，可求出P的值．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，
解得：，
与之间的函数表达式为：；
（2）解：当时， ，
故当木板面积为时，木板对地面的压强是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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