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（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（ ）．
A．每人分3本，则剩余4本
B．每人分3本，则最后一人可多分4本
C．每人分3本比每人分5本，书多剩出4本
D．每人分3本，则可多分给4个人
2．下列属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式组的最大整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下述结论正确的有（ ）
①平分；②的周长等于
③；④点是线段的三等分点
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．
根据上述作图过程，下列结论错误的是（ ）
A． B．线段垂直平分线段
C．点和点关于射线对称 D．
9．如图，在中，点，分别在边，上，且，连接与交于点，则下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，若线段上有一动点C，分别以为边在同方向作等边和等边，连接，交于点E，连接，交于点F，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是______．
12．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为_______．
13．已知，，则的值是______ ．
14．如图，在中，，分别以A、C为圆心．大于的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N．作直线．交于点D，交于点E；已知，则的度数为______度．
15．如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是______；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为______．
三、解答题
16．分解因式：
(1)
(2)
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．

18．解方程组或不等式组：
(1)
(2)
19．如图，在中，，，是的角平分线．
(1)尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的内部作，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
(1)的长度a为 ，在图中的数轴上，用圆规找出实数a对应的点P；
(2)在网格中画出使A、B、C、D四点构成平行四边形的所有点D；
(3)直接写出线段的长为 ．
21．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
22．如图，求的度数．

23．如图，平行四边形中，，，点E是线段的中点，点F是线段延长线上一点，连接，且．
(1)，，，求线段的长；
(2)求证：．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C C C A B C B
1．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给x名同学，若每人分3本，则可多分4个人；若每人分5本，则有剩余．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出最大整数解即可．
【详解】解：解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组的最大整数解是
故选：D．
4．C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
即分式方程的增根是分式方程的分母为的根，
故分式方程的增根是，
方程两边都乘，得：，
∴把代入整式方程，得．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据分式方程的增根求参数，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．C
【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，根据，则点在的垂直平分线上，作图即可求解．
【详解】解：作的垂直平分线，如图，与方格纸交于5个格点，
故满足条件的点C有5个，
故选：C．
6．C
【分析】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
①根据，得，再根据线段垂直平分线性质得，进而得，则，据此可对结论①进行判断；
②根据得，进而得的周长等于，据此可对结论②进行判断；
根据得，则，进而得，再根据即可对结论③进行判断；
④假设点D是线段的三等分点得，进而得，但是，根据已知条件无法判定，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①在中，，，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
平分，故结论①正确；
，
，
，
的周长等于，故结论②正确；
，
，
，
，
，
，故结论③正确；
④假设是线段的三等分点，
，
，
，
，
，
，根据已知条件无法判定，故结论④不正确；
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：C．
7．A
【分析】本题主要考查了列分式方程的应用，理解题意、弄清数量关系是解题关键．
设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页，根据“实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同”即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页，
根据题意可得：．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、垂直平分线、轴对称、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．根据作图可知，即可判断选项A；由作图可知，，易知垂直平分线线段，即可判断选项B；结合垂直平分线的性质可知点和点关于射线对称，即可判断选项C；证明，易得，即可判断选项D．
【详解】解：由题目中描述可知，，故选项A正确，不符合题意；
如下图，连接，，
由作图可知，，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线线段，故选项B错误，符合题意；
∵垂直平分线线段，
∴点和点关于射线对称，故选项C正确，不符合题意；
作图可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
9．C
【分析】根据平行四边形的性质得出，，得出，，，从而得出，即可判断①和②，不能判断出③正确
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中
∴
∴，，
∴①和②正确；
∵与不一定能相等，③不一定正确；
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识得出是解题的关键．
10．B
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确．
【详解】解：等边和等边，
，，，
，
，
在和中
，
，
，，故①②正确，
在和中
，
，
，，故③正确
，
是等边三角形，
，
，
；故⑤正确
是等边三角形，
，
，
．故④错误，
即：正确的有①②③⑤；
故选：B．
11．
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可得解．一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
12．64
【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．
【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，
∴，
即，
则原式，
故答案为：64．
13．
【分析】先根据完全平方公式计算出的值，然后将多项式分解因式为，最后利用整体代入法求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，以及分解因式，利用整体代入法求值是解题的关键．
【详解】解：，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：．
14．30
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角．
根据三角形的内角和定理，求出，由作图可知，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴；
故答案为：30．
15． 165 1088
【分析】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．
（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，
，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出、的值，由此即可得．
【详解】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
（1）整理后用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．（1）；（2），见解析
【分析】（1）根据实数的混合运算法则即可求解．
（2）分别求出不等式的解，再把解集在数轴上表示出来，利用找不等式组的解集的方法即可求解．
【详解】解：（1）原式；
（2）解不等式①得，，
解不等式②得，，
将和在数轴上表示为：
原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了实数的混合运算及解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示出来，熟练掌握实数的混合运算法则及解一元一次不等式的方法是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组．
（1）得：，求出，再代入②求出，即可求出方程组的解；
（2）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集．
【详解】（1）解：
得：
得：，
解得，
将代入②得：，
方程组的解为；
（2）解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，三角形内角和定理，平行线的性质和判定等知识，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据平行线的性质和判定求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)；画图见解答
(2)见解答
(3)或
【分析】本题考查格点作图，勾股定理，实数与数轴，平行四边形的性质．
（1）利用勾股定理计算的长即可；取数轴上0对应的点O，取数轴上的上方1个单位长度处的格点M，连接，以点O为圆心，的长为半径画弧，交点O右侧的数轴于点P，则点P即为所求．
（2）根据平行四边形的判定与性质确定点D的位置，即可得出答案．
（3）利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得，．
故答案为：．
如图，取数轴上0对应的点O，取数轴上的上方1个单位长度处的格点M，连接，以点O为圆心，的长为半径画弧，交点O右侧的数轴于点P，则点P即为所求．
（2）解：如图，点均满足题意．
（3）解：由勾股定理得，，，
∴线段的长为或．
故答案为：或．
21．(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个
(2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器
【分析】（1）列分式方程解决问题；
（2）列一元一次不等式解决实际问题．
【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个，
由题意得，
解得，
经检验：是原方程的根，并符合题意，
元/个，
答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个；
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，
由题意得，
解得，
答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器．
22．
【分析】连结，令与交于点，由三角形内角和得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决．
【详解】连结，如图，

设与交于点，
∵，，
又∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
【分析】（1）过点作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，得到，求出，利用勾股定理求出，即可解答；
（2）延长交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，，结合，证明，得到；再证明，即可证明结论．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴；
（2）证明：延长交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∴，，
∵点E是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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