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（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．大小不相等的两个圆中不存在等弧
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直径也必平分弦
4．如图，在中，，，，于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三点均在抛物线上，当抛物线开口向上时，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（ ）

A． B．4 C．5 D．
7．如图，小明在M处用高（即）的测角仪测得旗杆顶端B的仰角为，将测角仪沿旗杆方向前进到N处，测得旗杆顶端B的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与矩形的边相切于点，，，点是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为_______．
12．如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为______．
13．如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于___
14．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为________．
15．如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为______．
三、解答题
16．计算：．
17．计算：．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．

(1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形．
(2)如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形．
20．已知：如图，中，．
求作：射线，使得平分．
作法：
①作的垂直平分线交于点O；
②以O为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为P（点P与点C在的异侧）；
③作射线．
所以射线即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
直线为的垂直平分线，
．
，
．
点，，都在上．
又点在上，于点，
，
∴___________________，
∴（___________________）（填推理的依据）．
∴射线平分．
21．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校国旗杆高度的实践活动：
活动主题：测量学校国旗杆的高度；
测量方案：沿着国旗杆底部点向西走米到达点米，用测角器测得此时国旗杆顶端的仰角；测角器高度忽略不计
测量示意图：
请你根据兴趣小组的测量方案及数据求国旗杆的高度．（结果保留根号）
22．设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若，
①求二次函数的表达式；
②若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值．
(2)若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
23．某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点．
(1)求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围；
(2)若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B C B D A C D
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线、构造圆周角是解答的关键.
如图：连接，根据圆周角定理得到，然后利用互余的定义即可求出的度数．
【详解】解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查圆的对称性(既是轴对称又是中心对称图形)、等弧的定义：同圆或等圆中能重合的弧，大小不等的圆无等弧；以及垂径定理及其推论(垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对弧)，核心是对圆的这些基础性质的理解与辨析．根据相关定义和性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、圆沿着任意一条直径所在的直线对折后两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形；绕着圆心旋转后能与原图重合，所以圆也是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意；
B、等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。大小不相等的两个圆，半径不同，所以不存在等弧，正确，故本选项不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如果这条弦是直径，那么任意一条直径都可以平分它，但不一定垂直，错误，故本选项符合题意；
D、根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键．
【详解】解：在中，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解抛物线的对称轴方程，再结合开口方向，再根据与对称轴的远近判断函数值的大小，从而可得答案．
【详解】解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，，
，故A，B说法正确，C说法错误；
当时，，D说法正确；
故选：C．
6．B
【分析】由，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
；
的最小值为；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理的应用，圆的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，判断出点的位置是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出，得到是等腰三角形，从而求出的长，然后在中，求出的长，然后求出的长．
【详解】如图，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
即米，
∴
故选：D
8．A
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定及性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接，．求出的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，．
∵与矩形的边相切于点，，，
∴，，,
∴，
∴四边形是矩形，
∴,
∴，
故选：A．
9．C
【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，则，而，
∴，
∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，
∴，，
∴
，
∵，（当，，三点共线时取等号），
当时，半径最小，此时半径为，
∴此时与长度的和最小，最小值为：．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心的位置是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像和性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
结合图像和二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的对称性可判断②；结合图像可得时，，再将代入二次函数的解析式即可判断③；利用的对称点，结合图像即可判断④；根据二次函数和一元二次方程的关系将一元二次方程求解问题转变为二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的平移规律即可判断⑤．
【详解】解：依图得：，，
二次函数对称轴为，
即，解得，
则，
，①正确；
该二次函数与轴的一个交点是，且对称轴为，
该二次函数与轴的另一个交点是，
将代入二次函数解析式可得，
②正确；
时，，
即，
，
，③正确；
根据二次函数的对称性可得的对称点是，
依题得当时，随着的增大而增大，
，
，④错误；
结合图像和二次函数解析式可得，求关于的方程的解可理解为求二次函数与轴交点的横坐标，此时的函数图像可由现函数图像向下平移一个单位长度后得到，此时，，
⑤正确．
综上可得：①②③⑤正确．
故选：．
11．
【分析】本题考查解直角三角形，涉及正弦、相似三角形的判定与性质、轴对称等知识．设交于点M，交于点N，交于点J，设，利用等积法解得的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【详解】解：如图，
∵，，
设，
∵点C 关于直线的对称点为D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
12．/
【分析】如图所示，延长，交于点H，过点D作于点F，过点E作交延长线于点G，由设，，勾股定理求出，，然后求出，然后得出，设，，表示出，，证明出，得到，然后代数求出，，勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，延长，交于点H，过点D作于点F，过点E作交延长线于点G
∵
∴，
∴设，
∴，即
∴（负值舍去），
∴，
∵在中，，
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∵
∴
设，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，即
∴（负值舍去）
∴，
∴
∵在中，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
13．
【分析】由“”可证，可证，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，可求，即可求的值．
【详解】解：如图，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，
设，则，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求的长是本题的关键．
14．
【分析】取得中点O，由，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上，即可求解．
【详解】解：取得中点O，
∵
∴F在以O为圆心，为直径的圆上
∴F到的最小距离为
∴面积的最小值为
故答案为：8．
【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，关键是根据，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上．
15．6
【分析】如图：连接，交于G点，先证明可得，再证，再根据平行线分线段成比例定理可得，然后代入相关数据计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，交于G点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∵，
∴,即,
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴，即．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，正确化简计算是解题的关键．
先分别计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及化简绝对值，再加减计算．
【详解】解：
17．
【分析】本题考查含有锐角三角函数的实数混合运算，零指数幂，负指数幂，二次根式分母有理化，先计算零指数幂，分母有理化，负指数幂，特殊三角函数值，再合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答；
（2）根据负整数指数幂，零指数幂的法则，再把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质，作的垂直平分线，交于点E，再截取交于F，连接，，则，即，又，则即为所求作的等腰直角三角形；
（2）同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、，根据抛物线与x轴的交点坐标以及坐标与图形性质，结合正方形的判定可求解．
【详解】（1）解：如图1，即为所求作：

（2）解：如图2，正方形即为所求作：

理由：同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、，
由题意，，，则，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，，
∴四边形是正方形，
即正方形即为所求作．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的画法和性质、平行四边形和正方形的判定等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
20．(1)见详解
(2)，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【分析】（1）根据题中步骤作图；
（2）根据题中步骤的因果关系填写．
本题考查了作图，作垂线，圆周角定理，垂直平分线的性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：连接．
直线为的垂直平分线，
．
，
．
点，，都在上．
又点在上，于点，
，
，
（在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
射线平分，
故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
21．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，理解三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
在中，，米，
米，
∴国旗杆的高度为米．
22．(1)①；②二次函数的值为1
(2)开口向下
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）①利用待定系数法即可求得；②先得到抛物线对称轴为直线，而此抛物线图象上有两点，且这两点关于对称轴对称，即可求出，再由表格即可求解函数值；
（2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得当，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式是；
②由表格可得，和时的函数值都是1，
∴抛物线对称轴为直线
∵此抛物线图象上有两点，且关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴当时，由表格得；
（2）解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，则，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
即该二次函数图象的开口向下．
23．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）设抛物线的解析式为，抛物线经过点，，采用待定系数法，即可求得答案；
（2）水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为．
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
由题意得抛物线经过点，，可得
解得
所以，水流所在抛物线的解析式为．
（2）不能，理由如下：
根据题意可知，水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，
所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为 ，即．
所以当时，，即水流正好到点处．
因为，．
所以水流不能到达点正上方米处的着火点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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