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（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版七年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮一枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（ ）

A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
7．若是一个关于的完全平方式，那么k值是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，．若，则（ ）
A．27 B．24 C．22 D．20
9．计算的值是（）
A． B． C． D．
10．我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中：
①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为
②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为；
③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11．如图，直线于点O，直线经过O点，且，那么_____．

12．如图，已知点B，E，C在同一条直线上，，，要根据“”判定，则需添加的一个适当的条件是_____．
13．有四张背面完全相同，正面分别是“诚”、“勤”、“立”、“达”的卡牌，洗匀后背面朝上，小明随机抽取一张卡牌后记录卡牌上的汉字并放回，洗匀后再随机抽取一张卡牌，小明第二次抽取的卡牌上的汉字和第一次相同的概率是___________．
14．如图，将一张长方形纸片分别沿着，使点落在点，点落在点．若点不在同一直线上，且，则的度数为______．
15．如图所示的火车零件模板中，，．若和的延长线交成的角，则该模板合格．因交点不在模板上，测量后质检员测得，，则模板是____________（填“合格”或“不合格”）的．
三、解答题
16．计算：
17．计算：
(1)；
(2)（用乘法公式计算）．
(3)
18．完成下列各题：

(1)从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1）则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为______；宽为______；面积为______；
(2)由（1）可以得到一个等式：______；
(3)灵活利用（2）中的等式计算：①；②．
19．如图，已知，请用尺规作图法在线段的延长线上作点D，在线段的延长线上作点E，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图所示，在正方形网格上有一个 ．
(1)作 关于直线 的对称图形（不写作法）；
(2)在 上找一点 ，使得 最小；
(3)若网格上每个小正方形边长为，求 的面积．
21．如图1，爸爸用竹条给小强制作了一个小燕风筝，其骨架图如图2所示，已知，，，试判断骨架与相等吗？并说明理由．
22．如图，点在直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)①点到的距离为 ；
②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由．
23．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到白球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.30 0.298 0.301
(1)请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近____（精确到0.1）；
(2)估计盒子里有白球____个；
(3)若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求的值．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版七年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B A C A C A
1．A
【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，直接由概率公式求解即可
【详解】解：共有4枚邮票，小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查三角形全等的判定．理解判定三角形全等的是解答关键．
A．根据来判断两个三角形全等；B．两个三角形中，两边对应相等，一边的对应角对应相等，不能判定两个三角形全等；C．根据来判断两个三角形全等；D．根据来判断两个三角形全等．
【详解】解：A．在和中，，添加，利用得到，故此项不符合题意；
B．在和中，，添加，，不能得到三角形全等，故此项符合题意；
C．在和中，，添加，，利用得到，用得到两个三角形全等，故此项不符合题意；
D．在和中，，添加，，得到三角形全等，故此项不符合题意．
故选：B．
3．C
【分析】根据作图过程可得，，利用证明，即可得结果．
【详解】解：根据作图过程可知：，，
在和中，
，
，
，
，
则的度数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
4．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当时，
，
；
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形；
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形；
综上分析可知：，故B正确．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查整式加减和整式乘除的运算法则，解题的关键是正确运用法则进行计算．
根据整式加减和整式乘除的运算法则即可求解．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．，B选项正确．所以B选项符合题意；
C．，C选项错误，所以C选项不符合题意；
D．，D选项错误，所以D选项不符合题意．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的判定定理“”解答即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
此方案依据的数学定理或基本事实是“”，
故选：A．
7．C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
8．A
【分析】观察到，，三个表达式之间存在连续整数关系，可将、用表示，再代入 已知等式求解．
【详解】解：∵
，
将、代入
．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用与代数式的整体代换，解题关键是通过观察变量间的连续关系，将、转化为含的表达式，从而简化计算．
9．C
【分析】利用平方差公式对每个因式分解，分解后通过约分消去中间项，即可计算得到最终结果．
【详解】解：∵
，
∴原式可变形为：
．
10．A
【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，解绝对值方程，根据新定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵．
当 时，有两种可能的新多项式：
改变 的系数：新多项式为 ．
改变 的系数：新多项式为 ．
计算与新多项式的积：
若改变 ，积为 ．
若改变 ，积为 ．
设 ， ，则 ，且 ， 和 同奇偶（确保 为整数）．
积的绝对值为 ，需等于 12．
符合条件的解：， （例如 或 ）．
当 时，改变 得新多项式 ，，积为 ．因此，说法①正确．
．
当 时，选择任意两个单项式（设其和为 ），新多项式为 ．
条件：，且 ．
解绝对值方程：情况一：
∴，则选中的两个单项式之和为 0．
情况二：
∴，则未选中的两个单项式之和为
因此，无论如何，都存在两个单项式之和为 0．说法②正确．
．
定义迭代过程：：所有可能一次操作（）后新多项式的和．
新多项式：，，．
∴．
：将（即）进行所有可能一次操作后新多项式的和．
操作 得：，，．
同样得 ．
对任意多项式 ，其所有可能一次操作后新多项式的和仍等于 ．
因此， 对所有 成立．
，差为 （定值）．
说法③正确．
三个说法均正确，正确个数为 3．
故选：A．
11．/30度
【分析】由垂直的定义可知，与是对顶角，知道，可以算出的度数．
【详解】解：∵直线于点O，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角的性质，角的和差关系等，掌握垂直的定义及对顶角的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，再结合，再补充即可，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：需添加的一个适当的条件是，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查概率公式，列出全部的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：全部的情况（诚，勤）、（诚，立）、（诚，诚）、（诚，达）、（勤，勤）、（勤，诚）、（勤，立）、（勤，达）、（立，诚）、（立，勤）、（立，立）、（立，达）、（达，诚）、（达，勤）、（达，立）、（达，达）共16种情况，
其中第一二次卡片汉字相同的有（诚，诚）、（勤，勤）、（立，立）、（达，达）共4种情况，
故所求的概率为．
故答案为：．
14．/85度
【分析】本题考查折叠问题，根据折叠的性质，得到，再利用平角的定义进行求解即可，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【详解】根据题意，可得，
∵
∴，
∴；
故答案为：．
15．不合格
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握利用平行线性质求解角度是解题的关键．
延长和交于点，过作，利用平行线同旁内角互补的性质分别求出和，相加得到的度数，再与比较判断模板是否合格．
【详解】解：延长和交于点，过点作．
该模板不合格．
故答案为：不合格．
16．
【详解】解：

17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，再计算；
（2）将原式化为，再根据平方差公式计算；
（3）先根据完全平方公式计算，再根据多项式除以单项式解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．(1)；；；
(2)
(3)①；②1
【分析】本题主要考查平方差公式的推导．
（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）①②根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
图1阴影部分的面积，
图2长方形的长为：，图2长方形的宽为：，
∴面积为：，
故答案为：，，，；
（2）解：由（1）可得：，
故答案为：；
（3）解：①
；
②
．
19．见解析
【分析】本题主要考查作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，以点为圆心，分别以，为半径画弧，分别交线段的延长线于点D，线段的延长线于点E，连接，则可根据判断．
【详解】解：如图，点、即为所作．
20．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查作轴对称图形，轴对称最短路径问题，三角形的面积，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（）作出、、关于直线的对称点、、，再连接即可；
（）连接交于，则，即得，根据两点之间线段最短，可知此时最小，故点即为所求；
（）利用割补法求面积即可；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：．
21．相等,理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过角的等量关系推导出与的对应角，进而利用 证明两三角形全等．
利用和公共角，通过等式性质得到；结合已知、，用证明；根据全等三角形对应边相等，得出．
【详解】解：与相等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
即．
在 和中，，
∴，
∴，
∴骨架与相等．
22．(1)
(2)①8；②线段更长，理由见解析
【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据角的和差计算即可；
（2）①根据点到直线的距离解答即可；
②根据垂线段最短解答即可．
【详解】（1）解： ，
.
，
；
（2）解：①∵，，
∴点到的距离为，
故答案为：8；
②线段更长，
理由：，
∴，
，
∴，
∴，
在线段中，线段更长．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于；
（2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；
（3）由题意得，解得，即可得到答案．
【详解】（1）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近．
故答案为：；
（2）解：摸到白球的频率将会接近，
盒子里白球的数量为（个），
故答案为：；
（3）解：根据题意得，
解得，
的值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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