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（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示的六角螺栓，其主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，中，，P是边上一点，，过P作一条直线，使截得的三角形与相似，这样的直线可以作（ ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4
4．在三角形纸片ABC中，，，，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
7．若点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是（　　）
A．该函数图象在第一、三象限内
B．点也在该函数图象上
C．当时，y的值随x值的增大而增大
D．该函数图象关于原点对称
8．如图，在矩形中，，，是的中点，与交于点，则的长是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与y轴重合，且点B在第一象限内，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作交的外角平分线于点F，若，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于__________．
12．如图，已知四边形四边形，若，，则的长为______．
13．如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则______．
14．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______．
15．如图，在中，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则点到的距离为 _________，的值是 ___________．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．一个反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当时，求的值．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）．
(1)在网格图中画一四边形，使得四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，与都为格点．
(2)在网格图中确定一点，使得．
19．某校九年级“综合与实践”小组开展“蔡明园南天门高度的测量”实践活动．请你帮他们完成下面的实践报告．
“蔡明园南天门高度的测量”的实践报告
活动课题 蔡明园南天门高度的测量
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 角度测量仪、皮尺等测量工具
方案示意图 测量步骤 如图② （1）利用角度测量仪站在点B处测得南天门最高点P的仰角为； （2）前进了10米到达A处（测点A、B与O在同一水平线上，A、B两点之间的距离可用皮尺直接测得，角度测量仪的高度忽略不计），在点A处测得点P的仰角为．
参考数据 ，，
计算南天门OP的高度（结果精确到1米）
20．舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当电流安培时，求电阻的值．
21．如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪的高度为米，在水平线上点处测得建筑物最高点的仰角为，沿方向前进米，达到点处，测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，）
22．如图，在中，，过点作，交的角平分线于点，连接是上的一点，且．求证：
(1)；
(2)．
23．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．

(1)求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标．
(2)写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围．
(3)点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D C D C A D C
1．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形面积的比是，
故选：D．
2．C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，可得如图形，

故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．D
【分析】根据相似三角形的判定方法进行求解．
【详解】解：如图，过P分别作，的平行线，
可得，，
过P作的垂线，与交于点E，
可得，
过P作的垂线，与交于点F，
可得，
∴这样的直线可以作4条，
故选D．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握常见的相似三角形的位置特征．
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可.
【详解】解：A、根据“平行线”法可以判定两个三角形相似，本选项不符合题意；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
C、由题意，得，是公共角，根据两边成比例且夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
D、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，中点坐标公式，设，根据题意表示出点的坐标，再利用三角形面积公式即可解答，正确表示出点的坐标是解题关键．
【详解】如图，作于点，
设点，则，
点是的中点，
点的坐标为，
，
轴，
点的坐标为，即
，
的面积是3，
，
．
故选：C．
6．D
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由题意知，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
故A项正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故B项正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
故C项正确；
根据已知条件推不出，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键，
7．C
【分析】利用待定系数法求得，再结合反比例函数比例系数k与图像的关系即可判断A、B选项，根据反比例函数的性质：“当时，反比例函数经过第一、三象限，y随x的增大而减小”即可判断C选项，再根据反比例函数图象的特点：“反比例函数图象关于原点对称”即可判断D选项．
【详解】解：A、∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴该函数图象在第一、三象限内，故A选项不符合题意；
B、∵，
∴此点在反比例函数的图象上，故B选项不合题意；
C、当时，y的值随x值的增大而减小，故C选项合题意；
D、该函数图象关于原点对称，故D选项不合题意．
故选：C．
8．A
【分析】由矩形的性质可得，，，，由是的中点可得，由勾股定理可得，证明可得，得到，再由进行计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．过作轴于点，设与轴交于点，由且点在第一象限内，，得，，，，，由矩形的性质可知，则，然后证明，根据性质得，再求出的值即可．
【详解】解：如图，过作轴于点，设与轴交于点，
∴，
∵且点在第一象限内，，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
先证明，进而求得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点F作交于点G，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理，得，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，，
∴，，
由旋转得：，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得出，代入数据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查正方形相关的图形变换，锐角三角函数， 根据正方形的拼法求出每段的长度，过点作于，设长为,根据三角函数表示出，，求解．
【详解】解：如图，过点作于，令、交于点，
由图①为边长为4的正方形七巧板可知,
，， 为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，首先由勾股定理求出的长，由面积法得点到的距离为，点到的距离为，从而得出，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，从而解决问题，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
设点到的距离为，
的面积是2，
，即，
∴点到的距离为，
设点到的距离为，
，
，
在中，点到的距离为，
设点到的距离为，
∴点到的距离为，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂的性质，进行计算即可求解．
（2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）将代入利用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：将代入得
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，代入得
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质以及三角函数正切值的应用，解题的关键是理解中心对称图形和轴对称图形的区别，掌握正切函数的定义来确定点的位置．
（1）根据中心对称图形和轴对称图形的特点，构造出满足条件的四边形；
（2）利用正切函数的性质，在网格中找到合适的点E．
【详解】（1）画图如下所示：
四边形即所求；（画法不唯一）
（2）画图如下所示：
在中
，，，
，
是直角三角形，，
在中，，，
，
如图，即所求．（画法不唯一）
19．35米
【分析】设为x米，在中，根据，，得出，根据，求出，得出米．
【详解】解：设OP为x米
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，∴
∴米．
所以，蔡明园南天门高度约为35米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
20．(1)
(2)电阻的值为欧姆
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当安培时，R的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
∵当电阻欧姆时，电流安培，
∴，
∴．
（2）解：在中，当安培时，欧姆．
21．米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到米，米，求得，设，得到，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：延长交于，
则四边形，四边形是矩形，
∴米，米，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
答：建筑物的高度约为米．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形性质与相似三角形判定，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”与相似三角形的判定是解题的关键．
（1）由且平分推出，利用和，通过同角的余角相等证得；
（2）两角分别相等的两个三角形相似，所以结合已知和已证的，就可证明．
【详解】（1）证明：，平分，
即，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
平分，
，
即，
，
．
23．(1)，，这两个函数图象的另一个交点的坐标是
(2)或
(3)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数与反比例函数的图象及性质，正比例函数与反比例函数的交点问题．
（1）把代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可解答，解两函数组成的方程组即可得到另一交点坐标；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）分别求出，，，，即可解答．
【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都过点，
∴，，
∴正比例函数为，反比例函数为．
解方程组得，，
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为；
（2）由图象可得，反比例函数大于正比例函数的x的取值范围为或．
（3）∵在正比例函数的图象上，
∴，
∵点，点，点都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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