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(共54张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第八章
机械振动和机械波
实验九　用单摆测量重力加速度
知识梳理　夯实基础
考点探究　提升能力
实验
02
03
01
知识梳理　夯实基础
考点探究　提升能力
角度突破
用单摆测量重力加速度
考点一
知识拓展
易错警示
角度突破
能力要语
角度突破
创新拓展实验
考点二
能力要语
实验(九)　用单摆测量重力加速度
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谢谢观看实验九　用单摆测量重力加速度
对应学生用书P170
一、实验器材
中心带有孔的小钢球、细线、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
二、实验操作
1.做单摆：取约1 m长的细线穿过小钢球的小孔，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。
(1)悬线顶端不能晃动，悬点固定。 (2)摆角小于5°
2.测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则摆长l＝l'＋。
　　摆长指悬点到小球重心的距离
3.测周期：将单摆从平衡位置拉开一个很小角度(小于5°)，然后释放小球，记下N次 (30～50次) 全振动的总时间t，则周期T＝ 。
4.重复实验：改变摆长，重做几次实验。
三、数据记录及分析
1.公式法：根据多次测得的周期T和摆长l的数据，由g＝求解每次实验的重力加速度g的值，再求平均值。
2.图像法
(1)由T＝2π得T2＝l。 (2)求出图像的斜率k，因T2＝kl，则重力加速度g＝
(1)由T＝2π得l＝T2。 (2)求出图像的斜率k'，因l＝k'T2，则重力加速度g＝4π2k'
四、误差分析及注意事项
1.摆球要选体积小、密度大的小钢球，以减少空气阻力的影响。
2.摆线应轻质不可伸长，测量摆长必须在自然下垂状态下进行。
3.在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
4.多次测量时间(单摆周期)及摆长求平均值。
5.注意摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动以及测量哪段长度作为摆长等。
考点一　用单摆测量重力加速度
公式法处理实验数据
【例1】 (2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为　　　　 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为　　　　 mm，则摆球的直径为　　　　 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角　　　　(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为　　　　 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为　　　　 s，该小组测得的重力加速度大小为　　　　 m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
角度突破
单摆周期与重力加速度计算
(1)摆长＝摆线长＋球半径。
(2)周期T＝2π。
知识拓展
累积法测周期：n次全振动时间t＝nT。将时间分摊到多次全振动，有效减小计时误差。
易错警示
1.摆长计算易忽略摆球半径，正确方法为：摆长＝摆线长＋。
2.全振动次数统计易出错，本题中不能将61次经过最低点误当作61次全振动，第1次到第61次经过最低点共30次全振动。应明确每周期经过最低点两次，实际全振动次数n＝。
【例1】 解析：(1)题图甲的示数为
d0＝0 mm＋0.8×0.01 mm＝0.008 mm
题图乙中读数为
d1＝20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm
则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.027 mm。
(2)角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为l＝l0＋＝81.50 cm＋ cm≈82.5 cm
一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T＝ s＝1.82 s
由单摆的周期公式T＝2π 得，重力加速度g＝≈9.83 m/s2。
答案：(1)0.008(0.007～0.009)　20.035(20.034～20.036)　20.027(20.025～20.029)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
图像法处理实验数据
【例2】 (2023·河北高考)某实验小组利用图甲装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验，下列说法正确的是　　　　(多选)。
A.小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B.应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C.小钢球可以换成较轻的橡胶球
D.应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图乙，小钢球直径d＝　　　　mm，记摆长l＝L＋。
(3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l-T2图像，如图丙。根据图线斜率可计算重力加速度g＝　　　　(保留3位有效数字，π2取9.87)m/s2。
(4)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将　　 　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
角度突破
1.摆球摆动平面须与光电门测量平面垂直以确保准确计时。
2.图像法处理数据：核心技巧是将周期公式T＝2π转化为l＝T2，以T2为横坐标、l为纵坐标作图，得到斜率为k＝的直线，最终求得g＝4π2k。这种方法通过多点拟合能有效减小偶然误差。
3.斜率求解：在拟合直线上选取相距较远的两点计算斜率，不能直接用原始数据点间相邻数据计算斜率。
能力要语
1.规避某些定值误差：本题中，漏加球半径仅改变截距不影响斜率，这是图像法的独特优势。
2.图像法减小偶然误差：通过多点拟合求斜率，比公式法(逐点计算再平均)能更好地抵消偶然误差。
教学札记：
【例2】 解析：(1)使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确。测量摆线长度时，要保证摆线处于伸直状态，故B正确。单摆是一个摆线长度不变、摆线质量不计、摆球可视为质点的理想化模型，研究单摆时，需要使空气对摆球的阻力可以忽略，若用较轻的橡胶球代替小钢球，则摆线质量的影响变大，空气阻力对摆球的影响变大，会增大误差，故C错误。为了保证小钢球在竖直平面内做单摆运动，而不形成圆锥摆，应无初速度释放小钢球；单摆只有在摆角很小的情况下才可视为做简谐运动，才能使用公式T＝2π 计算重力加速度，因此应小摆角释放小钢球，故D正确。
(2)由题图乙可知，小钢球直径d＝20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm。
(3)由单摆周期公式T＝2π ，得l＝·T2，则l-T2图像中图线的斜率k＝，可得g＝4π2k，由题图丙知，图线的斜率k＝ m/s2＝ m/s2，解得g＝9.87 m/s2。
(4)若将摆线长度L误认为摆长l，因L＝l－＝·T2－，则仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为k＝，所以得到的重力加速度值将不变。
答案：(1)ABD　(2)20.035　(3)9.87　(4)不变
考点二　创新拓展实验
改变实验装置，用新的数据处理方式实现新实验目的
【例3】 某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”并“验证机械能守恒定律”两个实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。
(1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图乙所示。则其直径D＝　　　　mm。
(2)让小钢球以较小的角度在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图丙，则小球摆动的周期为T＝　　　　s。
(3)该同学还测得该单摆的摆线长用L表示，则重力加速度的表达式为g＝　　　　(用物理量T、L、D表示)。
(4)将摆球多次拉离竖直方向一定角度后由静止释放，测得拉力的最小值F1与最大值F2并得到F2-F1图线，如图丁，如果小球在摆动的过程中机械能守恒，则该图线斜率的绝对值等于　　　　。
(5)若实际测得F2-F1图线的斜率与理论值总是存在一定偏差，可能是以下哪种原因　　　　。
A.测量单摆摆长时漏加小球半径
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动角度偏大
D.小钢球摆动过程中存在空气阻力
题后反思：
角度突破
1.游标卡尺读数：遵循“主尺刻度(看游标0刻度前)＋游标对齐格数×0.1 mm”的读数流程，且游标卡尺不需要估读。
2.周期确定：F-t图像中拉力峰值对应小球在最低点，相邻两个峰值之间的时间间隔为半个周期，由此可计算出单摆的周期T。
3.受力特点：在最高点，拉力的最小值F1等于重力沿绳方向的分力；在最低点，拉力的最大值F2和重力mg的合力提供向心力。
能力要语
1.减小偶然误差：通过测量多组数据绘制图线并求斜率，比单次测量计算更能有效地减小偶然误差，提高验证的可靠性。
2.通过联立牛顿第二定律和机械能守恒定律，推导出F2与F1的线性关系，从而确定F2-F1图线斜率的物理意义。
教学札记：
【例3】 解析：(1)读数为9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm。
(2)小球在经过最低点时绳上的拉力最大，且一个周期内经过二次最低点，所以小球做单摆运动的周期为
T＝2×(1.5－0.5) s＝2.0 s。
(3)由单摆周期公式可知T＝2π，解得g＝＝。
(4)根据向心力公式以及机械能守恒可知F1－mg＝0，F2－mg＝m，mgh＝mv2，联立解得F2＝3mg－2F1，所以图像的斜率的绝对值应为2。
(5)由以上分析可知，绳长可以约掉，释放高度和角度也在计算过程中约掉，因此存在误差的原因应该是有阻力做功，机械能不守恒，即存在空气阻力，故D正确。
答案：(1)9.3　(2)2.0　(3)或　(4)2　(5)D
[实验(九)]　用单摆测量重力加速度
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(2025·海南高考)小组用如图所示的单摆测量当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝　　　　(保留四位有效数字)cm。
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ＜5°)，无初速度的释放小球，小球经过　　　　(选填“最高”或“最低”)点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝　　　　s，由此可得当地重力加速度g＝　　　　(π2≈10)m/s2。
解析：(1)单摆的摆长为
L＝l＋＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期为T＝＝ s＝1.8 s，根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝，代入数值得g≈9.88 m/s2。
答案：(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
2.某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验装置如图所示。
(1)下列实验操作正确的是　　　　(填正确选项前的字母)。
A.铁球运动到最高点时开始计时
B.铁球的摆角控制在5°以内
C.用天平测出铁球的质量
D.测出单摆摆动5个周期的总时间t，求得单摆的周期T＝t
(2)该同学用米尺测得摆线长度为99.50 cm，用游标卡尺测得摆球的直径如图甲所示，则摆球的直径为　　　　cm。
(3)把铁球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，单摆稳定时，铁球每经过最低点时计一次数，当从零数到100时，停表的示数如图乙所示，则单摆的周期为　　　　s。
(4)有三位同学作出的T2-l图线的示意图如图丙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是　　　　(填正确选项前的字母)。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
解析：(1)应在小球运动到最低点时开始计时，故A错误；小球的摆角控制在5°以内，故B正确；由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝可知，测量重力加速度与小球质量无关，则无需测量小球质量，故C错误；测周期时，为了减小误差，一般测量30～50次全振动的时间，再计算周期，故D错误。
(2)由题图甲可知，摆球的直径为
1 cm＋4×0.1 mm＝1.04 cm。
(3)摆球在最低点时速度最大，为减小时间测量误差，故应从摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过最低点时计一次数，当数到100时，单摆全振动的次数为50次，由题图乙可知，所用的时间为1分37.5秒，即97.5 s，故单摆的周期为T＝＝1.95 s。
(4)由T＝2π ，可得T2＝l，可知T2-l是过原点的直线，又b为正确的图线，a与b相比，周期相同时，摆长更短，说明a对应测量的摆长偏小，A错误；c与b相比，摆长相同时，周期偏小，可能是多记录了振动次数，B正确；图线的斜率k＝，斜率越小，测得的g值越大，C错误。
答案：(1)B　(2)1.04　(3)1.95　(4)B
3.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为　　　　cm。
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　　　　。
解析：(1)选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为
d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π 可得单摆的摆长为L＝，从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝Lsin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos 。
答案：(1)摆长　(2)1.06
(3)x＝cos
4.某同学做“利用单摆测量重力加速度大小”的实验时，将一磁性小球吸在金属摆球下，在磁性球下方放置磁传感器并通过数据采集器与计算机相连，如图甲所示。
(1)下列实验步骤中，正确的是　　　　(单选)。
A.摆线要选择细些的，有一定伸缩性的
B.摆角应尽量大些，使单摆做近似的简谐运动
C.应使摆球在同一竖直平面内摆动
D.摆线上端应该缠绕在铁架台上固定的圆柱形横杆上
(2)实验时，该同学用刻度尺测出摆线长L，测得磁感应强度B与时间t的关系如图乙所示，则每次磁感应强度达到峰值时，摆球位置在　　　　，图中可以读出单摆周期约为　　　　s。
(3)多次改变摆线长度，并测得对应的T值，作出T2-L图像如图丙所示，若该图像的斜率为k，则当地的重力加速度g＝　　　　。
(4)考虑到摆线长度比实际摆长小，重力加速度g的测量值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)，简要说明理由　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
解析：(1)摆线要选择细些的，伸缩性小些的，故A错误；为了使单摆做近似的简谐运动，摆角不能大于5°，故B错误；应使摆球在同一竖直平面内摆动，故C正确；为了保证摆动过程，摆长保持不变，摆线上端应该用铁夹固定，故D错误。
(2)每次磁感应强度达到峰值时，摆球位置在最低点；一个周期内摆球两次经过最低点，由题图乙可知单摆周期约为T＝1.6 s。
(3)设摆球半径为r，根据单摆周期公式可得T＝2π ，整理可得T2＝L＋r，可知T2-L图像的斜率为k＝，可得当地的重力加速度为g＝。
(4)考虑到摆线长度比实际摆长小，设实际摆长为l，则有T＝2π ，可得T2＝l，可知T2-l图像的斜率仍为k＝，所以重力加速度g的测量值不受影响。
答案：(1)C　(2)最低点　1.6(1.5、1.7也正确)　(3)　(4)不受影响　见解析
5.(2025·浙江高考)在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。A同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为　　　　s(结果保留3位有效数字)。B同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝　　　　。
(2)C同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝　　　　。(结果均用k、b表示)
(3)D同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图丁所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　　　
　　　　　　　。
解析：(1)单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。从图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s，则有Δt＝10×，解得T≈1.31 s。由题可得(n－1) ＝t，解得周期为T＝。
(2)设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l，根据单摆周期公式有T＝2π ，可得T＝2π ，变形得l＝T2－h，可得l-T2图像的斜率为k＝，解得g＝4π2k。当T2＝b时l＝0，则有0＝×b－h，解得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb。
(3)小球做类单摆的简谐运动，理想情况下，重力沿圆弧方向的分力提供回复力，有F＝－kx。由于阻力的存在，实际上小球做阻尼运动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值，根据简谐运动周期公式T＝2π ，实际周期大于理想情况下单摆的周期，结合单摆周期公式T＝2π，可得g的测量值小于真实值。
答案：(1)1.31　　(2)4π2k　kb　(3)见解析

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