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（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到，点A，B，C分别对应D，E，F，若点，则点F的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中的点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数中，自变量x 的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在边、上，将沿着折叠压平使A与重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点，，，在同一直线上，，，，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，等腰三角形纸片中，平分．小花放入一张等边三角形纸片，在上，为与的交点，过点作．小花量得，那么的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．21
10．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：
①；
②；
③，分别表示和的面积，则；
④的周长不变．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④
二、填空题
11．若分式方程有增根，则的值为_______．
12．如图，在中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与、分别相交于点D、E，若，的周长为10，则的周长是_____．
13．如图，在中，，点E在边上，，，交的延长线于点D，若，则的长为_____．
　
14．已知关于x、y的方程组的解为整数，且关于m的不等式组有且只有4个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______．
15．一副三角板如图叠放，直角顶点F在边上，边与交于点H，边与交于点G，，，若，与互相平分交于点O，，则______．
三、解答题
16．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．解方程：．
18．先化简，再求值：，其中
19．已知中，．

(1)作的垂直平分线交于点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，求的度数．
20．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点坐标都在小正方形的顶点上．
(1)在平面直角坐标系中作，使得与关于x轴对称；
(2)在直线上确定点P，使得；（不写理由）
(3)若连接，，则与的数量关系是 ．
21．2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元．
(1)求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？
(2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
22．如图，D是中边延长线上一点，交于点F，交于点E，，．求的度数．

23．【活动一】
在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题．
下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究：
【思考】
(1)小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌：
(2)如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌；
【综合】
(3)小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号）
①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形
【活动二】
(4)新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号．
《（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C A D A D C A
1．D
【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可．
【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴．
2．B
【分析】本题考查平移变换，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据点A与点D的坐标得到平移规律，即可求出点F的坐标．
【详解】解：∵向右平移2个单位，向下平移1个单位得到，
∴向右平移2个单位，向下平移1个单位得到．
故选：B．
3．C
【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，求出的取值范围，再根据图示即可求解．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，解得，，
解集表示在数轴上，如图所示，

故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，解一元一次不等式的综合，掌握以上知识是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且，
故选：C．
5．A
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得到，，最后利用平角的定义表示出和，代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴在中，，
由折叠的性质可得，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴
．
6．D
【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，选项A错误，不符合题意；
同理：，即，
∴，选项B错误，不符合题意；
∴，，
∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和所对的直角边等于斜边的一半，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先得出的长，再证明，得出，根据，得出的长度，最后运用所对的直角边等于斜边的一半即可求解出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，，
由得：，故A选项错误，不符合题意；
由①得：，
将代入②得：，
整理得：，故B选项错误，不符合题意；
为非负实数，
，，故C选项错误，不符合题意；
，
，
，
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。
先证明,推断出,,,，继而证明是等边三角形，推导出,则，即可解答.
【详解】解：∵平分，
∴,
∵是等边三角形，
∴,,
∴,
∴,
∴，
∵，
∴,
∴是等边三角形，
∴,
∵
∴,
∴.
故选C.
10．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证①结论正确；根据可证是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质可证，根据角之间的关系可知，可得②结论正确；当点与点重合时，点与点重合，可得，当时，，可得：，可证③结论正确；的长度随的变化而变化，所以的周长是变化的，可知④结论错误．
【详解】解：，，为中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故①结论正确；
，
，
，
，
是的外角，
，
，故②结论正确；
，
当点与点重合时，点与点重合，此时取得最大值，即最大，
此时与重合，
则，
当时，，此时取得最小值，即最小，
此时，，
则，
，故③结论正确；
，
，
，
的周长，
，，即为等腰直角三角形，
斜边的长度随长度的变化而变化，
即的周长是变化的，故④结论错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．4
【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得．
【详解】解：分式方程两边都乘，得
．
解方程，得
．
因为分式方程有增根，可得
．
解方程，得
．
所以．
解方程，得
．
12．16
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长，由作图可知垂直平分线段，得，，，根据三角形的周长公式即可解答．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴的周长为．
故答案为：16．
13．
【分析】过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得，再次运用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据等腰三角形的三线合一性质，得到，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角和定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】先根据方程组的整数解，确定a的组，再求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再确定整数解求解即可．
【详解】解：，把②变形，得，把③代入①，得，解得，由关于x、y的方程组的解为整数，
故或或，
解得，，，，，；
∵，
解①得，解②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有4个整数解，分别为，
∴，
解得，
由，，，，，，
符合题意，a的值为，
故所有满足条件的整数a的和为．
15．/
【分析】连接，推出，，进而得到，，则，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，，则有，，再利用含30度直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，进而得到和的长，最后利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∵与互相平分交于点O，，
∴，平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查因式分解：
（1）提取公因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；
（4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．
【分析】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
18．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
，
原式．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂直平分线，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
（1）根据尺规作图—作垂直平分线的方法和步骤，进行作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，再根据垂直平分线的性质得出，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，

（2）解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作轴对称图形，线段垂直平分线性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题关键；
（1）找到关于x轴对称点，连接即为所求；
（2）关于x轴对称，则x轴为的垂直平分线，可得到与x轴交点即为所求；
（3）连接，，根据勾股定理算出，，即可得到关系．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵关于x轴对称，则x轴为的垂直平分线，
根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可知，与x轴交点即为．
（3）解：连接，，
，，
∴．
21．(1)A，B两款帆布袋的单价分别为元，元
(2)购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元
【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由题意得：，据此即可求解；
（2）设购买A款帆布袋m件，购买B款帆布袋件.设总费用为w元，确定与之间的函数关系式即可求解
【详解】（1）解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得：.
∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元.
（2）解：由题意，设购买A款帆布袋m件，
∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元，
∴.
∵，
∴w随m的增大而增大.
∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，
∴.
∴且m为正整数.
∴当时，w有最小值，最小值为.
此时.
∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元.
22．
【分析】在直角三角形中，根据三角形内角和定理，求得的度数；再在中求的度数即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，
，
∴．
所以的度数是．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，结合图形灵活解答问题．
23．(1)
(2)正六边形（答案不唯一）
(3)②④
(4)见解析
【分析】（1）每个拼接点处各个角的和正好等于一个周角，即可求解；
（2）只需要满足正多边形的内角能整除即可；
（3）先求出每个正多边形的内角，然后根据拼接点处内角和为求解即可；
（4）根据题意作图即可．
【详解】（1）解：拼接点处各个角的和为；
（2）解：除了正方形和正三角形之外，小明还可以用正六边形来实现平面镶嵌（答案不唯一），
∵正六边形的每个内角为，，
∴3个正六边形即可实现平面镶嵌；
（3）解：①正六边形每个内角为，正方形每个内角为，
设需要个正六边形，个正方形，
则，
整理得，，此方程无正整数解，故①不符合题意；
②正八边形每个内角为，正方形每个内角为，
设需要个正八边形，个正方形，
则，
整理得，，
符合题意的正整数解只有，故需要个正八边形，1个正方形，故②符合题意；
③正五边形每个内角为，正三角形每个内角为，
设需要个正五边形，个正三角形，
则，
整理得，，此方程无正整数解，故③不符合题意；
④正五边形每个内角为，正十边形每个内角为
设需要个正五边形，个正十边形，
则，
符合题意的正整数解只有，故需要个正五边形，1个正十边形，故④符合题意；
（4）解：如图，即为所求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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