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高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第九章
静电场
思维进阶八　静电场中的功能关系及图像问题
角度突破
破题路径
破题路径
能力要语
角度突破
破题路径
角度突破
破题路径
思维进阶八　静电场中的功能关系及图像问题
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谢谢观看思维进阶八　静电场中的功能关系及图像问题
对应学生用书P184
电场中的功能关系，明确功与能的对应关系
【例1】 (2023·全国乙卷改编)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷静电力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球(　　)
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在P点的电势能小于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中，静电力始终不做功
题后反思：
【例2】 (2025·福建高考)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，｜CQ｜＝2｜BP｜，a粒子入射动能为Ek，则(　　)
A.B点的电场强度E＝
B.P点场强大于C点场强
C.b粒子在P点动能小于Q点动能
D.b粒子全程克服电场力做功小于2eU
题后反思：
角度突破
1.静电力做功的计算方法
2.电场中常见的功能关系
(1)合力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他＝E机2－E机1＝ΔE机。
破题路径
【例1】 解析：选C。画出O点处点电荷过M、N两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中静电力先做正功，后做负功，电势能先减少后增加，A错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，则φN＞φP，根据电势能计算公式Ep＝qφ，结合小球带负电可知EpN＜EpP，B错误；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，并相互转化，M、N两点在点电荷的等势面上，因此小球在M、N两点上的电势能相等，又机械能为动能与重力势能之和，则小球在M、N两点上的机械能相等，C正确；结合图像可知小球从M点运动到N点的过程中静电力先做正功后做负功，D错误。
【例2】 解析：选D。a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有Ek＝m，又粒子恰好做圆周运动，则eE＝，联立解得E＝，故A错误；由图可知，P点电场线密度较稀疏，则场强小于C点场强，故B错误；已知｜CQ｜＝2｜BP｜，因为B、C在同一等势线上，且沿着电场方向电势逐渐降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误；由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则BP之间平均电场强度大小大于CQ之间的平均电场强度大小，根据U＝d，则UCQ＜2UBP，则b粒子全程克服电场力做功W＝eUCQ＜2eUBP＝2eU，故D正确。
电场中的v-t图像，从图像斜率出发分析静电力
【例3】 两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点由静止释放，其运动的v-t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。下列说法正确的是(　　)
A.小物块带负电
B.A、B两点间的电势差UAB＝500 V
C.小物块由C点到A点电势能先减小再增大
D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m
破题路径
能力要语
根据v-t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
【例3】 解析：选D。根据物块运动的v-t图像可知，小物块带正电，故A错误；由v-t图像可知，A、B两点的速度分别为vA＝6 m/s、vB＝4 m/s，再根据动能定理得qUAB＝m－m，解得UAB＝－500 V，故B错误；从v-t图像可知，由C到A的过程中，物块的速度一直增大，静电力对物块一直做正功，电势能一直减小，故C错误；小物块在B点的加速度最大，为am＝ m/s2＝2 m/s2，所受的静电力最大为Fm＝mam＝0.001×2 N＝0.002 N，则电场强度最大值为Em＝＝ N/C＝100 V/m，故D正确。
电场中的φ-x图像，重在应用图像斜率
【例4】 (2025·海南高考)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度方向沿x负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
题后反思：
【例5】 (2024·重庆高考)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受电场力。则其将(　　)
A.不能通过x3点
B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点
D.在x1点两侧往复运动
题后反思：
角度突破
1.φ-x图线切线斜率的绝对值等于电场强度的大小。
2.由φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而判断静电力方向。(如图)
破题路径
【例4】 解析：选D。在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。
【例5】 解析：选B。带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV，电势能为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2～x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到零，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为－0.5 V处减速到零又反向，不会运动到x0、x1点处，即试探电荷在x3点两侧往复运动，故B正确。
电场中的E-x图像，重在应用图像面积
【例6】 某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为电场强度正方向，其中x1、 x2、x3、x4是间隔相等的四点，x1到x4范围内的E-x图像与横轴所包围的面积为S，对于电荷量为q，质量为m的正点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.x3处电势最高
B.x2和x4处电势相等
C.由x1静止释放仅在静电力作用下运动到x4时的动能Ek＝qS
D.由x1静止释放仅在静电力作用下运动到x4过程中，电势能先增大后减小
题后反思：
角度突破
E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场强度方向判定。
破题路径
【例6】 解析：选C。x1～x4处电场强度方向沿x轴正方向，根据沿着电场方向电势逐渐降低，可知x1处电势最高，且从x1处到x4处电势逐渐降低，所以x2和x4处电势不相等，故A、B错误；根据U＝Ex可知，E-x图线与x轴所围的面积表示电势差，则x1、x4两点之间的电势差可以用S表示，根据动能定理可得正点电荷由x1静止释放仅在静电力作用下运动到x4时的动能Ek＝qU＝qS，故C正确；正点电荷由x1静止释放仅在静电力作用下运动到x4的过程中，静电力始终做正功，所以电势能一直减小，故D错误。
[思维进阶(八)]　静电场中的功能关系及图像问题
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(2025·云南高考)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
解析：选C。由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为等差等势线，由题图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功为Wbc＝qUbc，又q＝－e，Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
2.(2025·南京模拟)静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受静电力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60 eV，各等势线的电势高低标注在图中，则(　　)
A.a、d两点的电场强度相同
B.电子从a到b运动时，静电力做负功
C.电子从c到d运动时，电势能逐渐减小
D.电子在经过等势线c点时的动能为80 eV
解析：选D。电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，根据对称性可知，a、d两点的电场强度大小相等，但方向不同，故a、d两点的电场强度不同，故A错误；电子带负电，且从a到b电势升高，根据Ep＝qφ可知，电子从a到b运动时电势能减小，静电力做正功，同理，从c到d电势降低，故电子从c到d运动时，电势能逐渐增大，故B、C错误；电子在经过a点时动能为60 eV，电势能为－40 eV，动能和电势能总和为20 eV，因只有静电力对电子做功，故电子动能和电势能的总和保持不变，电子在经过等势线c点时的电势能为－60 eV，故动能为80 eV，故D正确。
3.A、B是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示，t＝0时刻，一个电子从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，该过程中其速度v随时间t的变化图像如图乙所示。关于该电场，下列说法正确的是(　　)
A.可以判断出电场线的方向是由A到B
B.A点的电场强度大小小于B点的电场强度大小
C.该电子在A点的电势能大于在B点的电势能
D.该电子在A点的电势能小于在B点的电势能
解析：选C。电子带负电，向右做加速运动，说明受静电力向右，电场强度方向由B到A，故A错误；根据v-t图像可知，斜率越来越小，即电子加速度越来越小，根据F＝Eq＝ma可得，A点的电场强度大小大于B点的电场强度大小，故B错误；电子速度增大，动能增大，根据动能定理，可知静电力做正功，故电子电势能减小，故C正确，D错误。
4.假设空间某一静电场的电势φ随x的变化情况如图所示，根据图中信息可以确定下列说法中正确的是(　　)
A.空间各点电场强度的方向均与x轴垂直
B.电荷沿x轴从0移到x1的过程中，一定不受静电力的作用
C.正电荷沿x轴从x2移到x3的过程中，静电力做正功，电势能减小
D.负电荷沿x轴从x4移到x5的过程中，静电力做负功，电势能增加
解析：选D。由图看出，x轴上各点电势随着x值的变化也会发生变化，说明随着x的变化有静电力在x轴方向上做功，所以空间各点电场强度的方向不全与x轴垂直，故A错误。在x轴上从O移到x1，各点电势相等，任意两点间电势差为零，静电力做功为零，但静电力不一定为零，也可能静电力与x轴垂直，故B错误。正电荷沿x轴从x2移到x3的过程中，电势升高，电荷的电势能增加，静电力做负功，故C错误。负电荷沿x轴从x4移到x5的过程中，电势降低，电荷的电势能增加，静电力做负功，故D正确。
5.如图所示为x轴上一段电场线的电场强度E随位置x的变化图像(电场强度正方向与x轴正方向相同)。下列说法正确的是(　　)
A.若仅考虑静电力作用，试探电荷在x2处的加速度最大
B.若仅考虑静电力作用，试探电荷在x3处的加速度最大
C.若该电场由x轴上的两个不等量异种电荷产生，则带正电的电荷在带负电的电荷的右侧
D.若该电场由x轴上的两个不等量异种电荷产生，则电荷量小的电荷在电荷量大的电荷的右侧
解析：选D。电场强度越大，根据Eq＝ma可知试探电荷的加速度越大，由图像知x1处加速度最大，故A、B错误；若该电场由两个x轴上的不等量异种电荷产生，x2处的电场强度为0，可知这是电荷量小的这一侧的电场分布，由于O到x2的电场强度指向x轴负方向，可知位于x2的左侧且靠近x2的电荷带负电，且电荷量小的负电荷在电荷量大的正电荷的右侧，故C错误，D正确。
6.如图所示，固定点电荷A、B分别带正、负电荷，A的电荷量大于B的电荷量，粗细均匀、光滑且绝缘的直杆竖直固定，与AB的垂直平分线重合。将带正电的小环套在杆上，让小环从杆上P点(图中未标出)由静止释放，若小环能从P点运动到AB中点O，则从P到O的过程中(　　)
A.小环的速度一定不断增大
B.小环的加速度一定不断增大
C.小环的电势能一定不断增大
D.小环的机械能一定不断增大
解析：选C。点电荷A与B的电荷量不相等，若将两个电荷看成等量异种电荷和一个在左侧的正电荷，等量异种电荷在中垂线的电场强度方向向右，左侧的正电荷在OP之间的电场强度的方向指向右上方，所以带正电的小环从P向O运动的过程中，电场力对小环一直做负功，因此小环的机械能不断减小，电势能不断增大，故C正确，D错误；从P到O竖直向上的电场强度的分量有可能先增大后减小，若小环受到的向上的最大静电力大于环的重力，则小环就是向下先加速后减速再加速，故A、B错误。
7.(2024·广西高考)如图所示，将不计重力、电荷量为q、带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上，半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为27Q和64Q的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放，小圆环先后经过图上P1点和P2点，已知sin θ＝，则小圆环从P1点运动到P2点的过程中(　　)
A.静电力做正功
B.静电力做负功
C.静电力先做正功再做负功
D.静电力先做负功再做正功
解析：选A。设小圆环在P1、P2间的任意一点P，PM与MN的夹角为α，根据几何关系可得37°≤α≤53°，选无穷远处电势能为0，带负电的小圆环在两个负点电荷电场中的电势能Ep＝＋，根据数学知识可知在37°≤α≤53°范围内，随着α的增大，小圆环的电势能一直减小，所以静电力做正功，故A正确。
8.某仪器两极间的电场线分布如图所示，中间的一条电场线是直线，其他电场线对称分布，一正电荷从O点沿直线OA以某一初速度仅在静电力作用下运动到A点。取O点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向。从O到A运动过程中，下列关于该电荷运动加速度a和速度v随时间t的变化、运动轨迹上各点的电势φ和电荷的动能Ek随位移x的变化图线中可能正确的是(　　)
解析：选D。根据电场线的疏密程度可知，从O到A电场强度先增大后减小，电荷受到的静电力先增大后减小，则加速度先增大后减小，故A错误；v-t图像的切线斜率表示加速度，则v-t图像的切线斜率先增大后减小，故B错误；电场线的疏密表示电场的强弱，从O到A电场强度先增大后减小，由于φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，则从O到A的电势随位移的变化图线的切线斜率的绝对值先增大后减小，故C错误；根据动能定理可得qEx＝ΔEk＝Ek－m，可知Ek-x图像的切线斜率表示静电力，由于电荷带正电 ，从O到A静电力做正功，电荷的动能增大，且Ek-x图像的切线斜率先增大后减小，故D正确。
9.如图所示，在x轴坐标原点O左右两侧对称固定安放等量的同种电荷＋Q，t＝0时刻在原点O左侧离O较近的A点(x＝－x0)静止释放＋q的点电荷，以下关于点电荷速度v、加速度a随时间以及合力F、电势能Ep随坐标x变化的关系图像可能正确的是(　　)
解析：选A。坐标原点O为等量同种正点电荷连线的中点，两正点电荷在坐标原点O的电场强度大小相等，方向相反，即坐标原点O的合电场强度为零，由对称性可知，电场强度方向都是从两正点电荷指向原点O，从点电荷到原点O场强逐渐减小，可知t＝0时刻在原点O左侧离O较近的A点(x＝－x0)静止释放＋q的点电荷，试探电荷向正x轴方向先做加速度减小的加速运动，经过原点O继续向正x轴方向做加速度增大的减速运动，到达原点O右侧对称点A'(x＝x0)速度减为零，之后试探电荷在A'、A之间周期性地运动，A正确，B错误；假设两点电荷＋Q离坐标原点O的距离都为L，当试探电荷＋q与坐标原点O距离x时，该位置的合电场强度大小为E＝－，可知合电场强度E与x不是线性关系，故试探电荷＋q受到的静电力与x不是线性关系，C错误；Ep-x图像的切线斜率等于试探电荷＋q受到的静电力，当试探电荷＋q与坐标原点O距离x时，该位置的合电场强度为E＝－，可知合电场强度随x的变化而变化，故试探电荷＋q受到的静电力随x的变化而变化，D错误。
10.如图所示，空间存在平行于xOy平面的匀强电场，电场强度大小为E＝10 N/C，与x轴正方向的夹角为θ＝37°，规定O点电势为零，若x轴和y轴上电势分别用φx和φy表示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下图的φx-x，φy-y图像正确的是(　　)
解析：选D。沿x轴方向的电场强度的大小为Ex＝Ecos 37°＝8 N/C，结合φx-x图像的斜率即为电场强度Ex的大小，可知φx-x的斜率大小为8，由于O点电势为零，电势沿着电场线的方向逐渐降低，故在x＜0区域，其电势φx＞0，在x＞0区域，其电势φx＜0，故A、B错误。同理可知，沿y轴方向的电场强度的大小为Ey＝Esin 37°＝6 N/C，即φy-y图像的斜率大小为6，且在y＜0区域，其电势φy＞0，在y＞0区域，其电势φy＜0，C错误，D正确。
11.一带正电的粒子在电场中由静止释放，仅在静电力作用下沿直线由A点运动到B点，如图甲所示。这个过程中粒子的电势能Ep与位移x的关系如图乙所示。用φ表示A、B间各点的电势，a表示粒子的加速度大小，v表示粒子的速度大小，Ek表示粒子的动能。下列图像中合理的是(　　)
解析：选D。由ΔEp＝qEΔx可知，Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小，根据图乙可知，沿直线由A点运动到B点，静电力逐渐减小，则加速度逐渐减小，故A错误；由Ep＝qφ可知，带正电的粒子的电势能与电势成正比，即φ-x图像与Ep-x图像相同，故B错误；结合上述，Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小，根据图乙可知，沿直线由A点运动到B点，静电力逐渐减小，则加速度逐渐减小，则在相邻相等位移之内的速度变化量减小，可知v-x图像不是一条直线，而是一条曲线，且图像斜率逐渐减小，故C错误；根据动能定理有W电＝Ek－0，根据功能关系有W电＝EpA－Ep，解得Ek＝EpA－Ep，可知粒子的动能与粒子的电势能成线性关系，则Ek-x图像的斜率与Ep-x图像斜率的绝对值相等，Ep-x图像的斜率为负值，Ek-x图像的斜率为正值，结合上述可知，Ek-x图像的斜率逐渐减小，故D正确。
12.(2025·黑吉辽蒙卷)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A.EkA＜EkB＜EkC B.EkB＜EkA＜EkC
C.EkA＜EkC＜EkB D.EkC＜EkA＜EkB
解析：选C。由题意可知弹簧的原长为2r，则物块在A点时弹簧的伸长量为r，物块在B点和C点时弹簧的压缩量为r，则弹簧在A、B、C三点的弹性势能相等，设弹簧在这三点处的弹性势能为Ep，小球从A点到B点的过程，由功能关系得EkA＋Ep＋W电＝EkB＋Ep，则有EkA＋W电＝EkB，由于W电＝FxAB＞0，解得EkA＜EkB，又F＝mg，xAB＝＝2r，则有W电＝2mgr；物块从B点到C点的过程，由功能关系得EkB＋Ep－W重＝EkC＋Ep，则有EkB＝EkC＋W重，即EkB＞EkC，又W重＝mg·2r，由以上可知W电＞W重，则有EkA＜EkC，综上所述得EkA＜EkC＜EkB，故C正确。

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