资源简介

（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A． B． C． D．
2．已知矩形的长为，宽为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
4．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的图象与二次函数（为常数）的图象有两个交点，且交点的横坐标均满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点，在半圆上，， 相交于点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
8．在半径为的中，一条弦把另一条弦分为1和5，两条弦相交成，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）．
①；
②（t为任意实数）；
③函数在和x＝﹣2处的函数值相等；
④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点；
⑤函数在内既有最大值又有最小值．
A．①②⑤ B．①②③ C．①③⑤ D．②③④⑤
10．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：，，，…，（n为正整数）．若，当d为（ ）时，这组抛物线中存在顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形的抛物线．
A． B．或 C．或 D．或
二、填空题
11．二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为_____．
12．如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，正确的是________．
①；②；③；④；⑤．
13．二次函数（）的图象过点，，．若，则的取值范围是________．
14．抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当是等腰直角三角形时，点D的坐标为________；
（2）当是直角三角形时，a的值为________．
15．如图，正方形，，，，求的长______．

三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．（1）解方程:；
（2）计算: ．
18．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出绕点顺时针旋转后的；
(2)边绕点旋转到扫过的面积为_________．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点为抛物线与轴的另一交点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图1，点在线段上（点与点，不重合），过点作，交直线于点，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
(3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，是否存在点使得四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标．
20．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米．
(1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域：
(2)当直道为________米时，足球场的面积最大．
21．如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点．
(1)若，用含的代数式表示；
(2)如图2，连结，，若，求证：．
22．如图，抛物线上的点、的坐标分别为、，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的坐标．
23．综合与实践
【问题发现】（1）如图①，和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为；
②线段、之间的数量关系为；
【拓展探究】
（2）如图②，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．试求的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图③，和均为等腰三角形，，点B、D、E在同一条直线上，请直接写出的度数及线段，，之间的数量关系．
《（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D C B D C A D
1．B
【分析】本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式：，根据题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是根据实际意义确定自变量的取值范围．
根据矩形面积公式即可求出与之间的函数关系式，其中．
【详解】解：由题意得：，
∴能表示与之间函数关系的是选项C．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得到对应的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出a的取值范围即可，注意二次函数的二次项系数不能为0．
【详解】解：由题意，得：且，
∴且；
故选A．
4．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，同弧所对的圆周角相等，连接，根据正方形的性质得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，方程与函数的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题关键．联立一次函数与二次函数，根据一元二次方程根的判别式，求得，由题意可知，当时，，求得，即可得到的取值范围．
【详解】解：联立，
整理得：，
时，方程有两个不相等的解，函数图象有两个交点，
，
解得：，
当时，，
交点的横坐标均满足，
当时，，即，
解得：，
的取值范围是，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断．
【详解】解：顶点坐标为，
，，
，，
，
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
，
，即，
，
综上所述，结论错误，结论正确，
故选：．
7．D
【分析】如图所示，连接，连接交于M，先证明，则，由圆周角定理得到，进而证明是等腰直角三角形，推出，进一步证明是等腰直角三角形，则，设，则，，，证明，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，连接交于M，
∵，
∴，
∴，，
∵是直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
分两种情况：
先作，，连接，根据垂径定理得，可得，再根据勾股定理求出，即可说明是等腰直角三角形，然后求出，接下来结合题意得，进而求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得；
仿照上述做法：可得，根据，可得，进而求出，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理求，此题可解.
【详解】解：如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴；
如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得.
在中，，
∴.
所以的长为或.
故选：C.
9．A
【分析】根据顶点坐标得到抛物线对称轴，结合与x轴交点判断出a，b，c的符号，再利用二次函数的图像与性质逐一判断各结论即可解答．
【详解】解：∵顶点坐标为，，抛物线与轴交于点，
∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线，
∵对称轴公式为，
∴，
，
，
把代入得，将代入得，
∴，
，
；
①，，，，即①正确；
②∵抛物线开口向下，顶点是最高点，即对任意实数，都有
，
两边减得，即，即②正确．
③∵对称轴为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，距离不相等，
∴两处函数值不相等，即③错误；
④联立，整理得，
判别式，代入得
，
当时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点，
∴函数的图像与的函数图像不总有两个不同交点，即④错误；
⑤∵对称轴在区间内，抛物线开口向下，
∴时函数取得最大值，
又∵到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴当时取得最小值，
∴在区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确．
综上，正确结论为①②⑤，即选项A符合题意．
10．D
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，再结合一次函数求出各顶点坐标即可解答．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴直线．
∵抛物线关于其对称轴对称，
∴抛物线顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必是等腰直角三角形，
∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高为其底边的一半．
∵，
∴此时构成的等腰直角三角形的斜边长小于2，
∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高小于1，即抛物线顶点的纵坐标小于1．
∵抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，
∴，，，…，
∴只有，两点满足．
当为顶点时，；
当为顶点时，．
故选D．
【点睛】本题为一次函数与二次函数的综合题，考查抛物线的对称性，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识．理解抛物线顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必是等腰直角三角形是解题关键．
11．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，
∵二次函数的图象开口向下，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
12．①②③④
【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键，根据垂径定理，圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可以得到，故①正确；
∵是的直径，
∴，故②正确；
∵，
，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
∵，
，
不能判断，故⑤错误；
故答案为：①②③④．
13．
【分析】先求出二次函数对称轴，代入各点横坐标得到，，关于的表达式，根据判断的符号，结合得到，分情况列不等式组求解，即可得到的取值范围．
【详解】解：对二次函数，由对称轴公式可得对称轴为：
，
分别代入三点横坐标计算函数值：
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，，即
，解得，
②当时，，即
，不等式组无解，
综上，的取值范围是．
14．
【分析】（1）根据题意得出，即可求出；
（2）设，结合勾股定理求出点坐标，结合计算即可；
本题主要考查二次函数及图象，勾股定理，根与系数关系，采用数形结合的方法是解题的关键．
【详解】（1）当是等腰直角三角形时，
,
，
,
,
在第四象限，
,
对称轴为,
点坐标为
（2）设
是直角三角形，，
解得：
在负半轴
15．12
【分析】先根据解直角三角形的知识，求出，过F点作于点P，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得 ，再根据，可得，结合，可得，即，进而有，再利用，问题得解．
【详解】如图，在中，平分，，且，，
即有：，
设，，
根据角平分线的性质定理有：，
∴结合，有，
∴，
∴，
根据三角形的面积有：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，（，舍去），
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，，
∴，
如图，过F点作于点P，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知识，求出，是解答本题的关键．
16．(1)
(2)，
【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算，解一元二次方程：
（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：
（2）解：，
，
或，
解得，．
17．（1）；（2）．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算等知识点，掌握相关运算方法以及牢记常见特殊角的三角函数值成为解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：（1），
∵，
∴．
．
（2）
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转作图，扇形面积公式，正确作出旋转后的图形是解题的关键．
（1）分别作出三点绕点O顺时针旋转后的对应点，依次连接即可得顺时针旋转后的；
（2）可得圆环的面积即为边绕点旋转到扫过的面积，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，圆环的面积即为边绕点旋转到扫过的面积，
∴边绕点旋转到扫过的面积．
19．(1)
(2)，其中
(3)当点的坐标为时，四边形为平行四边形
【分析】（1）利用待定系数法解得函数解析式即可；
（2）首先求得点的坐标，进而可得，，，由三角形面积公式可得，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理，即可获得答案；
（3）首先求得直线的解析式，进而可得点、点的坐标，根据平行四边形的性质可得要使四边形为平行四边形，只需，带入数值并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵点，在抛物线的图像上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）对于抛物线中，令，
则，解得，，
∴点的坐标为，
∵，，，的长为，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，其中；
（3）设直线的解析式为，
∵点，在直线的图像上，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵的长为，其中，
∴，
∵轴，交抛物线于点，
∴点的坐标为，
∵轴，交直线于点，
∴点的坐标为，，
∴，
要使四边形为平行四边形，只需，
即，解得（舍去），，
∴当点的坐标为时，四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数综合用、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
20．(1)；定义域为
(2)当直道为100米时，足球场的面积最大
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解；
（2）根据（1）中的函数关系式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
；
∵，
∴；
∴S关于的函数关系式为；定义域为；
（2）解：由（1）可知：
，
∵，
∴当直道为100米时，足球场的面积最大．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用垂径定理得即可求解；
（2）由得，再通过圆周角定理的推论证得即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，且由（1）得，
，
，
，且由（1）得，
，
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键．
22．(1)抛物线的解析式为
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，则点，利用点的坐标求得线段的长度，利用三角形的面积公式求得与，进而得到关于的方程，解方程即可得出结论；
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，，二次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，如图，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
设点的横坐标为，
则，点，
，
∵点，的坐标分别为，，
，，
，
，
，，
，
．
解得：，
∴点的横坐标为2；
把代入，
则，
∴．
23．（1）① ② （2）， （3），
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）①由“”可证根据全等三角形的性质求出的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系；
（3）根据，即可得到，，然后根据求出度数和，再过点作于点，得到，解答即可．
【详解】（1）①∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴， 即，
∴，
∴，
故答案为： ；
②∵，
∴，
故答案为： ；
（2）， 理由如下：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
由（1）得，
∴， ，
∵，
∴，
∵都是等腰直角三角形， 为中边上的高，
∴，
∴；
（3）∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是等腰三角形， ，
∴，
∴，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

展开更多......

收起↑