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（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版七年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是（ ）
AI
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．垂线段最短
3．一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出3个黄球 B．摸出3个红球
C．摸出2个黄球，1个红球 D．摸出2个红球，1个黄球
4．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（ ）
A．和 B．、或、
C．都是 D．、或、
5．下列语句中，正确语句的个数是（ ）
①互余的角一定不相等；②多项式中每一项的次数均为正数；③延长线段至点，得到射线；④两点确定一条直线；
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
8．如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（ ）．
A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和
B．图中阴影部分面积保持不变
C．阴影部分周长保持不变
D．阴影部分面积和周长都不确定
9．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________．
12．如果，那么的结果是_____．
13．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ．
14．如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为_____．
15．如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有________．（填①、②、③、④）
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
三、解答题
16．先化简，再求值
，其中．
17．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
18．若，求的值．
19．（1）利用三角板画，并使得射线与射线在公共边的两侧．
（2）用直尺和圆规画的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）计算的度数．
20．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数
指针落在“谢谢参与”区域的次数
指针落在“谢谢参与”区域的频率
(1)完成上述表格：_____，_____；
(2)若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1）
(3)顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与”
21．已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，．
(1)如图2，若与重合，其中，，则________；
(2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角，
①依题意，在图3中画出射线及的平分线；
②求的度数（用含α的式子表示）；
(3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）．
22．根据以下素材，探索完成任务．
荡秋千问题
素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．
问题解决
任务1 与全等吗？请说明理由．
任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？
23．图形是一种重要的数学语言，它能直观形象地表达一些代数中的数量关系，如完全平方公式的推导就利用了这种方法．
在一次数学活动课上，同学们准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．他们用一张甲种纸片、一张乙种纸片、两张丙种纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
(1)观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积，可得到的一个等式是______；
(2)利用（1）中的等式解决下列问题：
①已知图1中甲、乙、丙的面积分别为，，，若，，求的值；
②若，求的值．
《（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学北师大版七年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B D C D C C C
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶
①②③④
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，解题的关键是识别出点到直线的垂线段并理解其性质．
观察图形可知，，，根据垂线段最短的性质，村庄到河流的最短路径为垂线段，因此村民选择垂足处取水．
【详解】解：A、两点确定一条直线，与题意无关，此选项不符合题意；
B、两点之间，线段最短，描述的是两点间距离，与点到直线的距离无关，此选项不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，与题意无关，此选项不符合题意；
D、垂线段最短，与题意相符，此选项符合题意．
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意；
B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意；
C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意；
D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意；
故选：A．
4．B
【分析】此题考查了角度计算，平行线的性质，一元一次方程的解法．解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补及方程思想的应用；
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为，由其中一个角的比另一个角少，得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案．
【详解】解：设其中一角为，
∵其中一个角的比另一个角少，
∴另一个角为，
∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
①若这两个角相等，如下图，

则，
解得：，
∴这两个角的度数是和；
②若这两个角互补， 如下图，

则，
解得：，
∴这两个角的度数是和．
∴这两个角的度数是、或、．
故选：B．
5．D
【分析】根据余角的定义判断①，多项式的次数判断②线段和射线的定义，判断③，直线的性质判断④．
【详解】解：①互余的角可能相等，如两个角都是，它们的和是，即这两个角互余，故错误；
②多项式中常数项的次数是0，故错误；
③延长线段至点，得到线段，故错误；
④两点确定一条直线，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查余角，多项式的次数，线段和射线以及直线的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于．
【详解】解：和互补，
，
的余角为．
①，直接是余角，正确．
②，是余角，正确．
③，不一定等于，错误．
④，是余角，正确．
∴正确的有3个．
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，故选项是随机事件，不符合题意；
B、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三条线段可以组成一个三角形，故选项是随机事件，不符合题意；
C、一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，不可能摸出一个白球，故选项是不可能事件，不符合题意；
D、任何一个三角形的内角和都为，故选项是必然事件，符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长，据此可判断C，根据完全平方公式得到，据此可判断A、B、D．
【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，
则阴影部分的周长为：，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，故A、D说法错误，不符合题意；
∵正方形3和正方形4的面积与的长有关，
∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．C
【分析】根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义，互余，互补定义解答即可．
本题考查了角的和，角的平分线，平角的定义，互余，互补，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴与互余；
故①正确；
根据题意，得，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与互补；
故②正确；
∵，
∴，
∴与不是互补；
故③错误；
，
故④正确；
故选：C．
10．C
【分析】由得，推出，进一步推出，得，继而得到，根据角平分线的定义得，再根据可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
即的度数是．
11．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答．
先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答．
【详解】解：参加扎染社团的学生数为：，
八年级2班学生参加扎染社团的频率是．
故答案为．
12．6
【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而根据，即，代入可得答案．
【详解】解：，
，
由得，
∴原式．
故答案为：6．
13．
【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键．
根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：，
，
，
，共有24种，
恰好两名拿对：共有6种情况，
不存在恰好有三名同学拿对书包的情况，
恰好有四名同学拿对书包的情况有1种，
∴符合条件的情况数为种，
概率为，
故答案为：．
14．
【分析】本题结合翻折变换考查平角的性质以及角的和差计算，关键是利用翻折前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角之间的等量关系．
【详解】解：根据翻折的性质，得，；
，
，
；
又，
，整理得．
故答案为：．
15．①③④
【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、多项式乘多项式等知识点，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合n为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为、宽为，小长方形的宽为，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的长为、宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若n为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④．
故答案为：①③④．
16．；．
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
17．(1)
(2)4
(3)
(4)
【分析】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用单项式乘法和积的乘方计算后合并同类项即可；
（2）利用乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂计算后进行加减法即可；
（3）利用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则展开后进行合并同类项即可；
（4）利用幂的运算法则计算后再合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
18．
【分析】把变形为，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
…
．
【点睛】本题考查了平方差公式，把变形为是解题关键．
19．（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查利用三角板作角，角平分线的作法，角度的计算．
（1）画射线，以三角板的一条直角边和射线重合，直角顶点和O点重合，以O为端点过三角板的另一条直角边画射线，既得，以三角板的角的边和射线重台，顶点和O点重台，在的同侧以O为端点过角的另一条边画射线，即得；
（2）以O为圆心以任意长为半径画弧，分别与，相交于点D、E， 以D、E为圆心以大于，为半径画弧相交于点P，连接即可；
（3）根据图可知，据此解答．
【详解】解：（1）如图所示，为所求；
（2）如图所示，为所求；
（3）是的角平分线，
，
，
，
，
．
20．(1)，
(2)，
(3)大概有人转到“谢谢参与”．
【分析】（1）根据频率和频数的关系求得和的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）用参加活动的总人数乘指针落在“谢谢参与”区域的频率，即可求解．
【详解】（1）解：，．
（2）解：若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是．
（3）解：（人）
答：大概有人转到“谢谢参与”．
21．(1)
(2)见解析
(3)或或180°或
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据图根据题意得到，则问题可解；
（2）①根据题意画图即可；
②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可；
（3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：
（2）①由题意，画图如下，
②∵，平分，
∴，
∴,
∵,平分，
∴,
∴
（3）如图，当，在直线同侧时，
由题意，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则
综上，的角度为或或或
22．任务1：见解析；任务2：
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
任务1：由垂直的定义得到，由余角的性质推出，即可证明．
任务2：由全等三角形的性质推出，求出，即可求出的长．
【详解】解：任务1：与全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
任务2：如图：∵，
∴，
∴，
∴．
∴小丽距离地面的高度为．
23．(1)
(2)①；②4056
【分析】（1）图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积两个正方形的面积和，即可得到等式；
（2）①根据，得出，，再根据（1）中的公式，得出，最后求出结果即可；
②令，根据题意得出，，再根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：图2中阴影部分的面积，图2中阴影部分的面积，
∴等式为；
（2）解：①∵，，
∴，，
由（1）知，，
∴；
②∵，
∴，
令，
∴，，
∴
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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