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（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径相交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）

A．7 B．7.4 C．8 D．9.2
3．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ）
A． B． C． D．
8．如图：已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
10．如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．上午时，一条船从海岛出发，以海里/时的速度向正北航行，时到达海岛处，从、望灯塔，测得，点在点的正西方向，海岛与灯塔之间的距离是______海里．
12．如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为__．
13．如图，在中，，，，点是边上一点（点不与点重合），过点作交于点．将沿翻折，点的对应点落在直线上，若是直角三角形，则______．
14．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：①菱形的面积为；②点的坐标是；③双曲线的解析式为；④．其中正确的结论有__________．
15．如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形，点B的坐标为________，点B、C、D按顺时针方向排列．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为________．

三、解答题
16．计算：．
17．计算
(1)
(2)
18．已知：且，求的值
19．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
20．小东参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．
因为，所以可以对比反比例函数来探究．
【取值列表】如表列出了y与x的几组对应值，则______，______．
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 m 0 n …
【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数的图象，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，已描出了一些点，请再描出点和，并绘制函数的图象．
【观察探究】观察图象并分析表格，解决下列问题：
（1）判断下列命题的真假，真命题打“√”，假命题打“×”．
①函数随x的增大而增大______
②函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到______
③函数的图象关于点（0，1）成中心对称______
④函数的图象与直线没有公共点______
（2）利用函数的图象直接写出当时，x的取值范围．

21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________．
(2)在图（1）中，在线段上作出点，而且；
(3)在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
22．渭华起义纪念馆位于陕西省渭南市华州区高塘镇，是集红色旅游、红色教育、红色文化于一体的红色基地，被命名为全国重点文物保护单位、全国爱国主义教育示范基地、全国中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，玥玥和妍妍两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，玥玥在点处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点处时，眼睛位于点处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶的像，妍妍拿来一根标杆立于点处，玥玥发现地面上的点、标杆顶端和塔的顶端恰好在一条直线上，已知点、、、在一条水平直线上，点、、在一条竖直线上，，，经测量，米，米，玥玥的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助玥玥和妍妍计算渭华起义纪念塔的高度．
23．如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：．结合图①，写出完整的证明过程；

如图②，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长．

方法拓展：如图③，在四边形中，，，，点P、Q分别在、边上，，，则_________．（不用写过程．直接写结果）

24．【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是 ，的值是 ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．
《（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D B A B B C
1．B
【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，把代入计算求解即可．
【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】根据字模型相似三角形证明，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
，，
∴，
，
，
解得：，
答：古井水面以上部分深度的长为米，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，如图，连接，求出的度数，得到为等边三角形，再根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，与边相切于点，连接，
则：，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
4．C
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．
先求出关于的函数解析式，再求出时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出P的取值范围，即可判断．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为，
代入点得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，；
∵，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键，
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【详解】，
，
，，
，，
，
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，相似三角形的性质与判定等等，根据题干的条件可得出为直角的中线，则，再由角平分线的定义和等边对等角得到，则，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于点F，D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解．
【详解】解：如图所示：过点C作于点E，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：；
故选：A．
8．B
【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理，正确理解“对应线段”的概念并且准确找出图中的对应线段是解题的关键．通过已知线段比例关系来判断选项．
【详解】解：A．、不是对应线段 ，无法得出，故A不符合题意；
B． ，
．
，
，故B符合题意；
C．、不是对应线段 ，无法得出，故C不符合题意；
D． ，
．故D不符合题意；
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了三角形重心的有关性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案．
【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴ ，
∴四边形的面积，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得，得到，作，交的延长线于点，可得，即得，最后由得到即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：．
11．
【分析】本题考查直角三角形的运用，解题的关键是根据题意，则，，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可．
【详解】由题意得，是直角三角形，
∵上午时，一条船从海岛出发，以海里/时的速度向正北航行，时到达海岛处，
∴（海里），
∵，
∴，
∴（海里）．
故答案为：．
12．5
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设，则，，根据列方程并解方程即可．
【详解】解：∵在中，，，
，；
过点D作交延长线于点E，
，，
，
，
，
设，
则，，
∵，
即，
解得，
即的长为，
故答案为：5．
13．或
【分析】根据题意，求出，根据折叠的性质，得到，，，根据相似三角形的判定和性质，可得，设，可得，，，分类讨论：当时，，当点在的延长线上时，时，，利用勾股定理，一元二次方程，解出，最后根据，即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴
∵沿翻折，点的对应点落在直线上
∴，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴，，
∴，，
∴，
当时，
∴
∵
∴
∴
解得：
∴；
当点在的延长线上时，时，
同理，，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
解得：，
当时，
∵点不与点，重合
∴不符合题意；
当时，
综上所述，的值为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查相似三角形，直角三角形，折叠的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，折叠的性质，进行解答，即可．
14．①②/②①
【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的面积计算方法可判定结论①；根据题意可得的长且为的中位线，由此求出点的坐标可判定结论③；用待定系数法求出双曲线解析式可判定结论②；在中，，，根据勾股定理可判定结论④，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵四边形是菱形，点的坐标为，，
∴，
故结论①正确；
∴根据题意可知，，即，
∴，
∵相互垂直，
∴，为的中位线，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∵点在双曲线的图像上，
∴，则，
∴双曲线的解析式为，
故结论③错误；
∵点是的中点，
∴，
∵点在双曲线的图像上，
∴点的纵坐标为，
∴，解得，
∴点的坐标为，
故结论②正确；
∵轴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即，
故结论④错误；
综上所述，正确的有①②．
故答案为：①②．
【点睛】主要考查几何图形与函数的综合，掌握几何图形的性质，待定系数法求反比例函数及反比例函数图像的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的计算方法等知识是解题的关键．
15．
【分析】连接，证明，从而证得，所以点在定直线上运动，设与的交点是，连接，作交于，证得，从而可以证得，进而证得点在过点与轴夹角是的直线上，从而得出结果．
【详解】解：如图，连接，

和是等边三角形，
，，，，
，
即：，
在和中，
，
，
，
，
，
点在与轴正半轴成的直线上运动，
设与的交点是，连接，作交于，
，
，，
，平分，
垂直平分，
与关于对称，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
点、、、共圆，
，
连接，
可得：四边形是菱形，
，
，
直线过点，
点，，
点，，
直线的关系式是：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称性质，确定点的轨迹，求一次函数的关系式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
16．
【分析】本题考查实数的运算，根据负整数指数幂、特殊角三角函数将原式化简，再进行乘法运算，最后进行加减运算，掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
．
17．(1)
(2)1
【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键．
（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解；
（2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，，．
【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答．
【详解】解：设，
∴，，．
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，
则
当时，；当时，．
解得：
（2）当时，．
20．取值列表：5，；描点连线：见解析；观察探究：（1）①×；②√；③√；④√；（2）或
【分析】取值列表：在中求出当和当时的函数值即可得到答案；
描点连线：根据表格中的数据，先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
观察探究：根据所画的函数图象进行求解即可．
【详解】解：取值列表：在中，当时，；当时，；
∴，
故答案为： 5，；
描点连线：绘制函数的图象，如图：

观察探究：
（1）①由函数图象可知，当或时，函数随x的增大而增大，故原说法错误；
②由函数图象可知，函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到，原说法正确；

③由函数图象可知，函数的图象关于点成中心对称，原说法正确；
④由函数图象可知，函数的图象与直线没有公共点，原说法正确；
故答案为：①×；②√；③√；④√；
（2）由函数图象可知，当或时，，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数函数值等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
21．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）构造直角三角形ACW，直接根据正切的定义求解即可；
（2）取格点，、连接，交点，该点就是所求的点；
（3）取格点、，连接，平行于，取格点，连接交于一点，连接，连接，交于点，连接并延长交于点，则线段即为所求作线段，点即为所求的点．
【详解】（1）解：如图，在中，，
故答案为：；
（2）解：如图，点为所求作图形，
理由如下：如图，连接，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：作图如下：
理由如下：取格点、，，连接、、，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点、、三点共线，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，与关于直线成轴对称，即点与点关于直线成轴对称，
∴，
∴，
∴将绕点顺时针旋转，得到线段，
∵点与点关于直线成轴对称，
∴与关于直线成轴对称，
∴点与点关于成轴对称．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关键．
22．渭华起义纪念塔的高度为32米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握是解答本题的关键．由题意可得，，据此判断，可得，再证，即可求出．
【详解】解：根据题意，可得，，
，
，
即，
，
，，
，
，
即，
，
，
，
渭华起义纪念塔的高度为32米．
23．见解析；；
【分析】如图①，利用中位线定理得到，，由得到，即可得到结论；
方法探究：如图②，连接，取的中点，连接，，由三角形中位线定理得到，，，则，，进一步得到，根据勾股定理即可得到；
方法拓展：如图③，连接，在上取一点，使，则，证明，则，，则，同理可得，，，则，则，求得，过点作于，则，，则,即可得到，根据勾股定理得，即可得到．
【详解】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
；
方法探究：如图②，连接，取的中点，连接，，
点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
，
同理：是的中位线，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
方法拓展：解：如图③，
连接，在上取一点，使，则，
，
，
，
，
，
，，
，
同理：，
，，
，
，
，
，
过点作于，则，，
,
，
根据勾股定理得，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，适当添加辅助线是解题的关键．
24．（1），；（2）的值是定值，；（3），．
【分析】（）连接，交于点，由，，得垂直平分，是等边三角形，故有，，然后证明即可求解；
（）连接交于点，交于点，证明四边形是菱形 ，得，，，再证即可；
（）连接交于点，交于点，与（）（）同理．
【详解】（），．
如图，连接，交于点，
∵，，
∴垂直平分，是等边三角形，
∴，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
则，
故答案为：，；
（）的值是定值， ，理由，
如图，连接交于点，交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形 ，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）正确， ，理由，
连接交于点，交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
由（）得，是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理和等面积法，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
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