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（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版七年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．x轴正半轴上 B．y轴负半轴上 C．x轴负半轴上 D．y轴正半轴上
2．如图，将沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即）．当小球出发后第1次碰到正方形边上的点为，第2次碰到正方形边上的点为，…，第n次碰到正方形边上的点为，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．某班共有位学生，近期由于诺如病毒感染，该班有一位男生因病请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为，女生人数为，则依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的共有（ ）个．
（1）对顶角相等；
（2）同位角相等；
（3）邻补角是互补的角；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下面命题中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②对于所有自然数，的值都是质数；
③同位角相等，两直线平行；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
9．若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
10．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，将沿方向平移后得到，若，则______．
12．如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.

13．请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为_______．
14．如图，点在线段上，点在线段上，平分，点、点在直线上，连接，设且无论取何值，均有，若为的角平分线，点是线段上一点，，则与的数量关系是_____．
15．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：①，②；③设，则，④，其中，正确的有______．
三、解答题
16．计算．
(1)
(2)
17．计算：
(1)解方程组：；
(2)解不等式：．
18．（1）解一元一次不等式：，小明同学解答过程如下：
解：去分母，得．……第①步
去括号，得．……第②步
移项，得．……第③步
合并同类项，得．……第④步
系数化为1，得．……第⑤步
小明同学开始出现错误在第______步；请写出正确的解答过程．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点为格点（小正方形的顶点均为格点）．在方格纸中，完成下列作图（不写作法）．
(1)过点画的垂线，与的交点为
(2)过点画的平行线．并标出平行线中一个格点．
20．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，求公鸡、小鸡各买几只．
21．南湖公园为美化环境，计划购进菊花和绿萝共29盆，菊花每盆20元，绿萝每盆8元．
(1)若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则至少需要购买绿萝多少盆？
(2)在满足总费用不超过400元的条件下，菊花的购买数量最多可以是多少盆？
22．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点．
求证：平分．
证明：（已知），
（ ）．
∴（ ）．
（ ），
（ ）．
∵（已知），
（ ）．
平分（ ）．
23．在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”，
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象．
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线，则直线就是方程的图象．
(1)请你判断在方程的图象上的点有______（填序号）；
①；②；③；④．
(2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______；
(3)已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简
小明思考后的解题思路为：①+②得，
…请将过程补充完整．
《（培优篇）2025-2026学年下学期初中数学人教版七年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B A C A A B C
1．C
【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．根据x轴上的点的纵坐标为零判断即可．
【详解】解：点位于平面直角坐标系的x轴上．
故选：C．
2．B
【分析】由平移的性质可得，结合已知条件求出的长度，进而求得的长度．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．A
【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题， 按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案即可．
【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，

由图中可知，，，，，最后再反射到，
由此可知，每6次循环一次，
，
∴点的坐标与相同，
．
故选：A．
4．B
【分析】此题中的等量关系有：该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；男生人数女生人数，据此列方程即可．
【详解】解：设该班男生人数为，女生人数为，
根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得，即；根据某班共有学生人，得，
列方程组．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据题意可知第一次运算的结果要小于等于13，则，第二次运算的结果要大于13，则，据此建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：A．
6．C
【分析】根据对顶角、同位角、邻补角、点到直线的距离的概念逐一判断每个命题的真假，即可得到真命题的个数．
【详解】解：（1）对顶角相等，故（1）是真命题；
（2）只有两直线平行时，同位角才相等，命题缺少两直线平行的前提，故（2）是假命题；
（3）邻补角的和为，符合互补角的定义，故（3）是真命题；
（4）点到直线的距离的定义是：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，命题中将距离说成垂线段本身，不符合定义，故（4）是假命题；
综上，真命题一共有2个，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了命题，根据平行公理、质数的定义、平行线的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题错误，不合题意；
②∵，
∴当自然数是的整数倍时，的值不是质数，原命题错误，不合题意；
③同位角相等，两直线平行，该命题是真命题，符合题意；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题错误，不合题意；
∴真命题有个，
故选：．
8．A
【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键．
根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵ ，
∴ ．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵ ，
∴．
……
可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解．
【详解】解：，
，
，
当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，
则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化确定变化的规律，结合，即可求解．
【详解】解：设第次跳动至点，
观察发现：，，，，，，，，，，..．
∴，，，，（为自然数），
∵，
∴，
即．
故选：C．
11．8
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质得到，根据题意计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，
∵平移的距离为3
，
，
故答案为：8．
12．①
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角．
【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确；
与构成同位角的角的是，有1个，故②错误；
与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误；
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念．
13．55
【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：；
；
；
，…，
∴，
∴
．
故答案为：55．
【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．
14．
【分析】先证明，则，设，，根据平分，得出，，结合，平分，得出，根据，得出，又，联立即可得出，即．
【详解】解：∵且无论取何值，均有，
∴题目中无论位置如何，都有，
根据“垂线段最短”，点到直线的所有连线中，垂线段最短，得，
即，
∴，
设，，
∵平分，
∴，，
∵共线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
代入，得，
∵，
∴，即，
又∵，
联立得：，
整理得，
即．
15．①②④
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，分别对四个结论进行推导验证即可．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
故①正确；
，
，
平分 ，
，
，
故②正确；
如图，过点作，
∴，，
∵，
∴，
，
，
，
平分 ，
，
故③错误；
，
，
平分 ，
，
由③知 ，
，
，
点 在直线 上，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
16．(1)2
(2)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先去分母，去括号，最后移项合并即可．
【详解】（1）解：，整理得，，
得，，
解得，，
将代入②得，，
解得，，
∴；
（2）解：，
，
，
解得，．
18．（1）②；过程见解析；（2）；作图见解析
【分析】（1）根据题干中解不等式的步骤进行判断并改正即可；
（2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．
【详解】解：（1）小明同学开始出现错误在第②步，正确的解答过程如下：
原不等式去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
故答案为：②；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；
将其解集在数轴上表示如下图所示：
．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图－基本作图：熟练掌握基本作图是解题的关键．
（1）直接以为底，作垂线交于点A即可；
（2）根据平行线的作图方法作图即可；
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
20．公鸡买4只，小鸡买78只
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
设公鸡买x只，小鸡买y只，由题意列出方程组，即可求解．
【详解】解：设公鸡买x只，小鸡买y只，
依题意，得，
解得：，
答：公鸡买4只，小鸡买78只．
21．(1)15盆.
(2)14盆
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
（1）设需要购买绿萝x盆，则需要购买菊花盆，根据“购买菊花和绿萝的总费用不超过400元”列出不等式并解答．
（2）设购买的菊花数量为m盆，绿萝数量为n盆，，根据题意得，解不等式求解即可．
【详解】（1）解：设购买绿萝x盆，由题意可得：，
解得，
答：至少需要购买绿萝15盆；
（2）解：设购买的菊花数量为m盆，绿萝数量为n盆，，
由题可得，即,
解得.
菊花的购买数量最多可以是14盆．
22．见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
结合图形利用平行线的判定和性质解答即可．
【详解】∵，，
∴（垂直的定义）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴平分（角平分线的定义）．
23．(1)②④
(2)画图见解析；，
(3)
【分析】（1）取x的值，求出对应的y值即可判断；
（2）利用两点确定一条直线，画直线，利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组；
（3）根据二元一次方程组的解的定义，得出，根据绝对值的性质化简，即可求解．
【详解】（1）解：在中，
令，则，故①不在方程的图象上；
令，则，故②在方程的图象上；
令，则，故③不在方程的图象上；
令，则，故④在方程的图象上；
故答案为：②，④；
（2）解：如图所示，取点，作出的图象，
取点，作出的图象；
观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：；．
（3）解：将中两方程相加得：，
∴，
由题知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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