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2026年中考数学北师大版一轮复习模拟基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程只有一个实数根 D．方程没有实数根
2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3
C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3
4．在同一平面直角坐标系中，若反比例函数（a为常数，）与正比例函数（b为常数，）的图象有公共点，则下列关于a、b之间的关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数（m为常数），其图象上有两点，，如果，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为（ ）

A．1 B．2 C． D．
7．如图，四边形是圆内接四边形，，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
9．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位后经过点，且，则平移后的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，已知二次函数（，，为常数）的图象经过点，，且顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为_____．
12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________．
13．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为___________．
14．如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则___________．
15．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④，其中正确结论序号是___________．
三、解答题
16．（1）解方程：
（2）用配方法解方程：．
17．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)图1中，在边上找一点，作线段，使得；
(2)图2中，在边上找一点，作线段，使得．
18．小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题：
(1)列表：
0 1 2 3 4
0 0 3 0 0 3
表格中， ， ．
(2)在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象．

(3)观察图象并解答：
①当 时，y有最小值；
②求函数与直线的交点坐标．
19．今年小亮家的苹果大丰收，小亮在假期里利用视频直播帮助爸妈卖苹果．第一天他实现了出售苹果的目标，第三天实现了出售苹果的目标．
(1)如果第二天、第三天出售苹果重量的增长率相同，求出售苹果重量的平均增长率；
(2)按照（1）中增长率，他期望第四天的出售量达到，请通过计算说明他的目标能否实现？
20．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：．
21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：．
22．庆城中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
(1)若苗圃园的面积为平方米,求的值;
(2)求这个苗圃园的面积的最大值
《2026年中考数学北师大版一轮复习模拟基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A C B C C A
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键；计算判别式的值，再确定根的情况即可．
【详解】，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．连接，先根据勾股定理可得三边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据正弦的定义即可得结论．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质求解．
【详解】解：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故选项A是错误的；
根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为，故选项B是正确的；选项D是错误的；
根据图象当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故选项C是错误的；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的图象与性质，根据两函数的图象与性质即可作出判断．
【详解】解：当a，b同为正数时，两函数图象分别在第一、三象限，则两函数图象必有公共点；
当a，b同为负数时，两函数图象分别在第二、四象限，则两函数图象也必有公共点；
综上，当时，两函数图象必有公共点；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．
由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点到对称轴的距离分别为，结合，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上，
∴点到对称轴的距离分别为，
，
，
即，
解得：，
故选：A．
6．C
【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，
∴，，
∵的周长为2，即，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．B
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知，然后根据角平分线的定义来求的大小．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
8．C
【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解．
【详解】解： ，
，
四边形与四边形位似，位似中心是，
则四边形与四边形位似比是，
四边形的周长四边形的周长，
四边形的周长为，
四边形的周长，
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质、求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
根据平移后的抛物线经过点且得出，进而根据顶点公式求得顶点坐标为，然后判断顶点坐标的符号即可求解．
【详解】解：将抛物线向下平移4个单位后得到，
∵经过点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵平移后的抛物线的顶点坐标为即，
∵，则，
又∵，
∴，
∴平移后的抛物线的顶点坐标在第三象限．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先根据二次函数的图象与坐标轴分别交于点、点，求出，，再求出，顶点位置和抛物线开口方向得到，即可得到结论．
【详解】解：抛物线过点、点，
，，
∴，
∴
顶点在第一象限，
，
又，
，
，即，
∴，
，
即：．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解,根与系数的关系．依题意，得，再代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，
，即
．
故答案为：．
12．
【详解】解：，
方程两边同除以3，得，
移项，得，
配方，得，，
∴．
13．26
【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：26．
14．/
【分析】作于点F，根据折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一，可得，设，则，，进而可证，设，，求出，再用勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】解： D为边上的中点，
，
由折叠知，，
，
，
如图，作于点F，
，，
，，
设，则，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，涉及知识点较多，能够正确作出辅助线，并综合应用上述知识点是解题的关键．
15．①③④
【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．
根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可．
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，，
∵对称轴在轴左边，
∴，
，
，故①正确；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
，故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：，
∴，故③正确；
对称轴为直线，
，
当时，，
．
，即，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
16．（1）（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法的方法步骤是解决此题的关键．
（1）去分母，去括号，因式分解解方程，即可得解；
（2）移项，系数化为1，配方，开方，即可得解．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
或，
解得，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取线段的中点，连接，则点即为所求．
（2）取格点，，使，且，连接，交于点，连接，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图1，取线段的中点，连接，
则得，
则点即为所求；
（2）解：如图2，取格点，，使，且，
连接，交于点，连接，
则，
则，
，
，
则点即为所求．
18．(1)3；
(2)见解析
(3)①；②交点坐标为，，．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，含有绝对值的解析式，分类讨论是关键．
（1）将和分别代入即可求出、的值；
（2）描点，画出图象即可；
（3）①根据图像可得时，函数有最小值即可；②根据的取值范围分解为两个解析式，再与直线解析式联立求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：3；；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：①由图象可知，当时，函数有最小值为；
故答案为：；
②，
当时，联立方程组 解得或，
此时 与的交点坐标为和；
当时，，解得或 （舍去），
综上， 与直线的交点坐标为，，．
19．(1)
(2)目标能实现，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设出售苹果重量的平均增长率为，根据题意列方程即可求解；
（2）计算即可判断．
【详解】（1）解：设出售苹果重量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：出售苹果重量的平均增长率为．
（2）解：．
因为，
所以他的目标能实现．
20．见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答．
【详解】证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．证明见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证．
【详解】证明：、，
，
又，
，
．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用,矩形面积公式,解一元二次方程．
(1)根据题意用含的代数式表示出苗圃园的长,再利用矩形面积公式列出方程,正确计算即可得到本题答案;
(2)根据题意列出苗圃园面积的方程,利用二次函数求最值方法判断最值并求出即为本题答案．
【详解】（1）解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米,
∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,
∴苗圃园的长为米,
∵苗圃园的面积为平方米,
∴,解得:,
∵墙长为米,
∴,即,
∴；
（2）解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米,面积为平方米,
∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,
∴苗圃园的长为米,
∴,
∵,开口向下,
∴面积有最大值,当时,面积有最大值为(平方米),
答:这个苗圃园的面积的最大值为平方米．
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