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2026年中考数学北师大版一轮复习模拟进阶卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将抛物线向右平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在的正方形网格图中，的顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．不能确定
5．如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在边长是4的菱形中，，点P从B出发，沿折线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B．

C．
D．

8．已知在中，，，若点为的内心，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
10．已知整式，其中，且，，，，…，均为整数，为正整数．则下列说法：
①若，，则满足条件的整式共有2个；
②若，，则满足条件的整式共有9个；
③若，，且当为任意实数时，整式的值都是正数，则满足条件的整式共有12个．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________．
12．如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________．
13．如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为______．
14．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是__________．
15．如图，正方形的对角线交于点O，的平分线交于点E，若，则的长为______．

三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．计算：．
18．如图，已知中，，．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
19．小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）
20．某果农销售每箱成本为40元的红富士苹果，市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，若每箱苹果售价每降低5元，平均每天多销售10箱．
(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(2)每箱苹果的销售价为多少元时，该果农每天获得利润最大，最大利润是多少元？
21．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
… 0 1 …
… 0 0 …
(1)的值是_____；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
22．如图1，的直径，C为直径下方半圆上一点，的平分线交于点D，连接．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，点F是弧上一点，交于点E，求证：
(3)在（2）的条件下，若，求的长.
23．学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空：
已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；
②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点；
③连接，直线即为圆的切线；
(1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）；
(2)将下面的证明过程补充完整．
求证：是的切线
证明：连接
∵为的直径，
∴①______（直径所对的②______）（填写推理依据）
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端与半径③______的直线是圆的切线）
《2026年中考数学北师大版一轮复习模拟进阶卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B B A C B B D
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得．
故选C．
2．B
【分析】本题考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
过A作交的延长线于D，根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图：过A作交的延长线于D，
所以．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解．
【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦，
∵的半径是3，
∴两点间的最长距离是6．
故选：B ．
5．B
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：在中，，
则，
在中，点是的中点，
则，
为等边三角形，
，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的自变量系数与其图象位置的相对关系，解题的关键是从一次函数图象与y轴的交点入手，用排除法得到正确的答案．
先根据一次函数与y轴相交于正半轴上可排除选项C与选项D，再根据二次函数图象的开口向上可得到，再判断出一次函数的图象经过第一、二、四象限，从而得出答案．
【详解】对于一次函数，令，得，
所以一次函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，排除C选项与D选项．
∵选项A与选项D的二次函数的图象开口均向上，
∴二次函数的二次项系数大于0，即：，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意可以分别得到各段与的函数解析式，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函数的图象，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：在点从点运动到点的过程中，如图，过点作交的延长线于点，则，

∵，
∴，
，
在点从点运动到点的过程中，如图，过点作于点，过点作 于点， 则

∵在菱形中，，
，
在点从点运动到点的过程中，如图，过点作于点，则，

，
综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是C选项，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接并且延长交于点，作于点，∵点为的内心，∴平分，得到，设，根据推出，进而求解．
【详解】解：如图：连接并且延长交于点，作于点，则，
∵点为的内心，
∴平分，
∵，，
∴，
设,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．
故选：B ．
9．B
【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
10．D
【分析】本题主要考查整式的规律类探索，一元二次不等式与二次函数的关系，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键．根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答．
【详解】解：①当，时，，，
∵，
∴或，
∴满足条件的整式共有2个，故①正确；
②当，时，∴，
当整式有两项时，存在两项的系数分别为：共四种情况，
当整式有三项时，存在三项的系数分别为：共四种情况，
当整式有四项时，存在四项的系数分别为：共一种情况，
∴此时满足条件的整式共有9个，故②正确；
③当，时，，，
∵整式的值都是正数，
∴，
根据二次函数性质可知，
∴，
∵，
∴当时，的解可以为：共四种情况，
当时，的解可以为：共四种情况，
当时，的解可以为：共三种情况，
当时，的解可以为：共一种情况，
∴综上此时满足条件的整式共有12个，故③正确．
故选：D．
11．或
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：
，
化为一般形式为：．
故选：或．
12．70
【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴的度数为，
故答案为：．
13．
【分析】设，则，可得，由轴对称的性质可得：，，求解，利用，可得，利用，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
由轴对称的性质可得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用三角函数解决问题是关键．
14．①②③
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键．①由等腰直角和等腰直角三边比，根据相似三角形的判定2证明；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，是等腰直角三角形，，
，，
．
∵，
∴，
∴，
所以①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
，
∴，
所以②正确；
设与相交于，
则，
∵，
∴，
∴．
是等腰直角三角形，
，
，
所以③正确；
综上分析可知，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
15．2
【分析】由正方形，可得，，，由是的平分线，可得，则，进而可得，然后作答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，三角形外角的性质，等角对等边．熟练掌握正方形的性质，角平分线，三角形外角的性质，等角对等边是解题的关键．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
（1）先求得的值，再利用公式法，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
，，，，
∴，
∴，；
（2）解：移项得，，
因式分解得，
∴，，
∴，．
17．
【分析】此题主要考查了特殊角三角函数混合运算，二次根式的混合运算；正确化简各数是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可；
（2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：连接交于点D．
设．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：
∴圆O的半径为：．
19．此时台灯最高点到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解．
【详解】解：由已知，，
在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，
在图2中，过点作于点，
∴
∵灯柱高，
点到桌面的距离为
答：此时台灯最高点到桌面的距离为．
20．(1)
(2)每箱苹果售价为55元时，该果农每天获得利润最大
【分析】（1）根据“每天销售量=20+降价后多销售的箱数”列出函数关系式即可解答，理解题意是解答本题关键；
（2）设该果农每天获得的利润为w元，再根据“利润=每箱利润×销售量”列出关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答，掌握运用二次函数的性质求最值成为解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为．
（2）解：设该果农每天获得的利润为w元，根据题意可得：
∵，
∴w有最大值，即当时，w有最大值为450元．
答：每箱苹果售价为55元时，该果农每天获得利润最大．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象等知识，掌握二次函数的图象与性质、数形结合是解题的关键．
（1）把，代入二次函数解析式即可求解；
（2）描点、连线即可；
（3）求出当时的函数值，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中，得；
故答案为：；
（2）解：画图如下：
（3）解：由（1）知
当时，，由表知，当时，，
又当时，函数取得最小值，
∴当时，由图象知．
22．(1)等腰直角三角形，见解析
(2)见解析
(3)0.6
【分析】（1）利用圆周角定理得，再根据是的平分线，得，则，即可得出结论；
（2）利用两个角相等，说明，得即可；
（3）由，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】（1）是等腰直角三角形，
为的直径，
，
是的平分线，
，
，
是等腰直角三角形；
（2），，
，
，
（3）等腰，，
，
，
设，
，
，
在中，
解得：
解得：,
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，得出的相似比是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①；②圆周角是是直角；③垂直
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）根据题意作图即可；
（2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论；
【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线；
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴ ，
又∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：①；②圆周角是是直角；③垂直．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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