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(共40张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第十一章
磁 场
思维进阶十二　磁场中的“圆”模型
角度突破
破题路径
能力要语
角度突破
思维链
能力要语
角度突破
能力要语
思维进阶十二　磁场中的“圆”模型
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谢谢观看
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3
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轨
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N思维进阶十二　磁场中的“圆”模型
对应学生用书P237
　　带电粒子在有界匀强磁场的运动问题中，“圆” 模型是核心解题工具，其中平移圆、放缩圆、旋转圆三类动态模型更是解决临界、极值、多解问题的关键。
平移圆：分析粒子以相同速度从不同位置入射时，轨迹圆整体平移的规律
【例1】 如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC区域范围内(包含边界)存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直磁场边界射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点(图中未画出)，AD＝EO＝0.5d，不计粒子重力，则(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.粒子在距A点(＋1)d处射入，恰好不从AC边界射出
C.从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D.从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
题后反思：
【例2】 如图所示，在平面等腰直角三角形ACO区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量带正电的粒子先后以速度v0垂直OC边从不同位置射入磁场，有些粒子能在边界AO上相遇。已知OC＞。粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力，不考虑各粒子之间的相互作用。下列判断正确的是(　　)
A.磁场方向垂直于纸面向外
B.磁场方向垂直于纸面向里
C.相遇粒子的入射时间差的最大值为
D.相遇且入射时间差最大的两粒子入射点之间的距离为
题后反思：
角度突破
图示
模型 同种带电粒子进入磁场的速度大小、方向相同，但入射点在同一直线上的不同位置，它们做匀速圆周运动的轨道半径相同，在磁场中的轨迹向一边平移
特征 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，轨迹圆心在同一直线上沿该直线平移
技法 保证轨迹圆圆弧的半径大小、朝向、圆心所在直线不变，将整个轨迹向一边平移作轨迹，但在磁场中最终的轨迹长短(或所对圆心角)可能受磁场边界的影响，根据切点、直径或半径的端点，或出磁场边界的顶点等探究临界或极值条件
破题路径
能力要语
固定半径的轨迹圆整体平移，利用圆心共线规律及与边界相切条件确定临界状态。
【例1】 解析：选D。
由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m，解得r＝＝d，A错误；粒子恰好不从AC边界射出时运动轨迹如图甲所示，轨迹恰好与AC相切，根据几何关系可得，此时入射点到A的距离为x＝(－1)d，B错误；从D点射入的粒子，运动轨迹为半圆，如图乙所示，则时间为t＝＝，在E点射入的粒子运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知cos θ＝＝0.5，则圆心角为60°，在磁场中运动的时间为t'＝T＝，C错误，D正确。
【例2】 解析：选B。
由题知，有些粒子能在边界AO上相遇，说明带正电的粒子向AO偏转，根据左手定则知，磁场方向垂直于纸面向里，A错误，B正确；粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子在P点相遇，做圆周运动的半径为r，当粒子轨迹在AO处相切时，时间差有最大值，此时两轨迹对应的圆心角分别为θ＝45°和α＝135°，设θ＝45°时运动时间为t1，α＝135°时运动时间为t2，则时间差最大值为Δtm＝t2－t1＝＝，C错误；由几何关系知，r＝OP，则相遇且入射时间差最大的两粒子入射点之间的距离为Δx＝OD－OE＝OO'＋O'D－OE＝＋r－r＝，D错误。
放缩圆：研究粒子速度变化时轨迹半径的连续变化，确定边界临界条件
【例3】 如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(包括边界处)，三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a垂直bc方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从d、e、c点离开磁场，d、e为ac边的三等分点，不考虑三个粒子间的相互作用。则下列说法正确的是(　　)
A.粒子3的轨道半径大于三角形的边长
B.粒子1、2、3进入磁场的速度之比为1∶2∶3
C.离开磁场时，粒子3的偏转角最大、粒子1的偏转角最小
D.若仅将磁场的磁感应强度变为原来的，粒子2从c点离开磁场
【例4】 一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　)
A.从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间不相等
B.从a点射入的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C.粒子在磁场中的最长运动时间不大于
D.粒子在磁场中的最长运动时间不大于
题后反思：
角度突破
图示
模型 同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的同一点，以方向相同、大小不同的速度射入磁场，做轨道半径不同的匀速圆周运动
特征 速度越大，轨道半径越大，不同的轨迹圆相内切于开始运动的那个公共点，轨迹圆的圆心共一条直线，这条直线与射入的速度方向垂直
技法 以入射点P为定点(切点)，不同的轨迹圆圆心位于直线PP'上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界或极值条件
思维链
能力要语
抓住圆心共线、半径连续变化的特点，通过“放缩”找到与边界相切的临界圆，是求解范围问题的核心。
【例3】 解析：选B。粒子运动的轨迹如图所示，
粒子由顶点a沿垂直于bc边的方向射入磁场，进入磁场的瞬间粒子速度与ac边的夹角为30°，在同一直线边界，根据对称性，可知粒子射出磁场的速度与ac边的夹角也为30°，因而运动轨迹所对应的圆心角为60°，圆心、入射点以及出射点的连线构成等边三角形，可判断出三个粒子的速度偏转角相等，粒子3的轨迹半径等于三角形abc的边长，A、C错误；假设三角形abc的边长为L，则粒子1，2，3的轨迹半径r分别为，，L，根据洛伦兹力提供向心力，得r∝v，则速度之比为1∶2∶3，B正确；由qvB＝m，解得r＝，若仅将磁场的磁感应强度变为原来的，则粒子的轨迹半径变为原来的3倍，可知粒子2的轨迹半径变为2L，粒子2将从bc之间的某点离开磁场，D错误。
【例4】 解析：选D。画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图所示，当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆，运动时间都相等，为，A、B错误；当粒子从bc边射出时，运动时间大于，C错误；设ab为l，当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，D正确。
旋转圆：考查粒子入射方向变化时，轨迹圆绕固定点的旋转特征
【例5】 如图所示，AOC区域内(OC、OA足够长)有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为B，∠AOC＝60°。边界OA上有一距O为d的粒子源S，现粒子源在纸面内以等大速度向不同方向发射大量带正电的同种粒子(不计粒子重力及粒子间相互作用力)，粒子质量均为m、电荷量均为q，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是OC边界上的D点(图中未标出)。已知SD＝d，T为粒子在磁场中圆周运动的周期。下列说法正确的有(　　)
A.粒子的速度大小为
B.O点是粒子的轨迹圆心
C.OC边界射出的粒子在磁场中的运动时间可能是
D.OC边界有粒子射出的长度为1.5d
【例6】 如图所示，水平直线边界PQ的上方空间内有方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，长为2d、与PQ平行的挡板MN到PQ的距离为d，边界PQ上的S点处有一电子源，可在纸面内向PQ上方各方向均匀地发射电子。已知电子质量为m、电荷量为e，速度大小均为，N、S的连线与PQ垂直，不计电子之间的作用力，则挡板MN的上表面没有被电子击中部分的长度为(　　)
A.d　 　B.(－1)d　 　C. (2－)d　 　D. (3－)d
角度突破
图示
模型 同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的同一点，以大小相同、方向不同的速度在磁场中开始运动，做轨迹半径相同的匀速圆周运动
特征 轨迹圆的圆心共圆，运动轨迹随着开始运动的速度方向不同而在磁场中旋转，这些轨迹共点(开始运动的那个点为各轨迹的公共点)。不同的轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
能力要语
认识到所有圆的圆心在一个半径为r的“隐形圆”上，通过旋转寻找临界条件是解决该类问题的核心。
【例5】 解析：选C。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子在磁场中射出点和射入点的连线即为轨迹的弦。运动轨迹如图甲，已知SD＝d，由几何关系可知轨迹半径R＝，由牛顿第二定律可知Bqv＝m，联立可得v＝，A错误；所有粒子的轨迹圆心在以S为圆心，半径为R的半圆弧上，如图乙中虚线圆弧④，此圆弧恰好在O2点处与OC相切，故O不可能是粒子的轨迹圆心，B错误；当出射点在图乙中的O2时，SO2垂直于OC，SO2为最短的轨迹的弦长，粒子运动轨迹如图乙中的轨迹③，所对应圆心角最小，粒子在磁场中运动时间最短，由几何关系得SO2＝R，故最小轨迹圆心角为60°，最短时间为tmin＝T＝，所以运动时间可能为，C正确；D点是所有粒子从OC射出磁场时离S最远的位置，同时D点是从OC射出的粒子距O最远的点，由几何关系得2R＞O2S，故轨迹圆不会与OC相切，粒子能够从O点射出，故OC上有粒子射出的位置为OD＝＝2d，D错误。
【例6】 解析：选D。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝m，可得r＝＝d，作出粒子从不同方向射出的轨迹，如图所示，则挡板MN的上表面被电子击中部分为CD，根据几何关系可得DN＝＝d，CN＝d，故没有被电子击中部分的长度为s＝2d－(d－d)＝(3－)d，故D正确。
[思维进阶(十二)]　磁场中的“圆”模型
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为(　　)
A.2∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.∶
解析：选C。
画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝；由P点运动到M点，可求得轨迹圆心角θ＝60°，在磁场中的运动时间t2＝，＝＝，C正确。
2.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，则FE要最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm＝·，解得tm＝，C正确。
3.如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A.粒子可能从B点射出
B.若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C.若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D.所有从AB边射出的粒子，其在磁场中运动的时间都不相等
解析：选C。带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，A错误；粒子垂直于BC边射出，如图甲所示，
则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即R1＝Lsin 60°＝，故B错误；若粒子从C点射出，如图乙所示，根据几何关系有r2＝＋，解得r＝L，由几何关系可得sin ∠O＝＝，则∠O＝60°，则粒子在磁场中运动的时间为t＝×＝，C正确；若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示，由几何知识可知，所有粒子从AB边射出时的圆心角均相同，可知其在磁场中运动的时间均相同，D错误。
4.P处有一个粒子源，与虚线的距离为l，在纸面内向各个方向发出质量为m、带电荷量为q、速度为v的粒子。虚线右侧有无穷大匀强磁场区，磁感应强度为B＝，不计粒子重力。则射出磁场的粒子在磁场中能够运动的最长时间为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D。粒子所受的洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，磁感应强度为B＝，代入解得r＝l，粒子沿360°方向发射，构成旋转圆，各个粒子的轨迹如图所示，其中圆心为O1，轨迹与边界相切于N点的圆弧，圆心角最大为，在磁场中运动时间最长为tmax＝＝，D正确。
5.如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是(　　)
A.所有粒子做匀速圆周运动的半径均为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.所有粒子运动的区域面积为πL2
D.所有粒子运动的区域面积为(π＋1)L2
解析：选D。由洛伦兹力提供向心力解得r＝L，A错误；粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，B错误；所有粒子运动的区域为图中阴影部分，其面积S＝πr2＋π(2r)2－＝，C错误，D正确。
6.如图所示为一圆形区域，O为圆心，半径为R，P为边界上的一点，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带正电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v＝射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角，已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＞R
B.θ＝60°
C.b粒子在磁场中的运动时间为运动周期的
D.a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
解析：选C。粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r＝＝R，A错误；粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
粒子a在磁场中的运动时间为ta＝T，粒子b在磁场中的运动时间为tb＝T，＝，可得θb＝120°，则有θ＝90°－(180°－θb)＝30°，b粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝T，由图中轨迹可以看出a、b粒子离开磁场时的速度方向都与OP方向垂直，即a、b粒子离开磁场时的速度方向平行，C正确，B、D错误。

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