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河南省青桐鸣2026届高三下学期大联考5月质量检测数学试卷
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3．已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
4．如图，在矩形ABCD中，，O为CD的中点，为等边三角形，G为的中心，则( )
A. B. C. D.
5．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆的左、右顶点，和左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点和左、右顶点，P是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分别为，，，和分别为直线和的斜率，则( )
A. B. C. D.
7．若实数x，y满足，对于以下各式：①；②；③；④，其中不可能成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交BC于点D，，则( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9．一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的( )
A.中位数是3 B.第80百分位数是4
C.平均数是3.5 D.方差是11
10．已知4个正数a，b，c，d成等比数列（公比），则( )
A.
B.
C.
D.若，，则的最小值为5
11．已知，且，则的取值可能在以下哪个区间( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的图象的对称中心为____________________.
13．函数的最大值为____________________.
14．过点可向曲线作三条切线，则实数b的取值范围为____________________.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在数列中，，当时，.
（1）证明：为等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
16．（15分）如图，在三棱台中，，，，.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的正弦值.
17．（15分）现有1，2，3号三名运动员投篮，命中率分别为，，，每次投篮命中与否相互独立，1号先投，接下来按以下规则，若n号投进，则下次由号投，若n号投不进，则下次由号投，4号就是指1号，5号就是指2号，6号就是指3号，7号就是指1号，依次类推.
（1）求第3次由3号投篮的概率；
（2）每进1球记1分，不进球记0分，三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结束，设投篮总次数为X，求X的数学期望.
18．（17分）抛物线上一点到焦点F的距离为2.
（1）求抛物线的方程.
（2）过的直线交此抛物线于A，B（A，B不与原点O重合）两点，的外接圆圆心为Q.
（ⅰ）证明：为锐角；
（ⅱ）求直线OQ的斜率的最大值.
19．（17分）已知函数，函数，m为实数.
（1）证明：.
（2）若.
（ⅰ）证明：有两个零点，，且若，则；
（ⅱ）证明：.
参考答案及解析
1．答案：C
解析：，，故.故选C.
2．答案：C
解析：设，，则，故解得故.
故选C.
3．答案：B
解析：恰有1次摸到红球的概率是.
故选B.
4．答案：A
解析：由，得，以A为原点，，分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，，，，故.
故选A.
5．答案：C
解析：设其外接球的半径为R，则，解得.故此长方体外接球的表面积为.故选C.
6．答案：B
解析：由题意，得，，由，得，，且，设，由，得，所以.易得，，
故.
故选B.
7．答案：B
解析：，令，显然为减函数.若，则，故，则②不可能成立；若，则，故，则④不可能成立；当时，，则，①可能成立；当时，，则，③可能成立.
故选B.
8．答案：D
解析：由，得，故，故，故，得.由，即，易知，故，，设，，则，由，得，故，而，故.故选D.
9．答案：AB
解析：易知中位数是，A正确；
，故第80百分位数是，B正确；
平均数是，C错误；
方差是，D错误.
故选AB.
10．答案：BCD
解析：由等比数列性质，知，A错误；
，B正确；，C正确；，，因为，故在上单调递减，，即当时，取得最小值5，，符合题意，D正确.
故选BCD.
11．答案：BCD
解析：，故，或，，即，或，.
当，时，或1，或，
因为，
所以，
且，
所以；
因为，而，
所以，
且，
所以，即；
当，时，，，.
故选BCD.
12．答案：
解析：由，得，故函数的定义域为，又，即，故函数的图象的对称中心为.
13．答案：
解析：当时，；当时，，可变形为，即（其中），故，故或.综上所述，函数的最大值为.
14．答案：
解析：设切点为，由，得，切线方程为，由点在切线上，得，整理，得，令，则，在上，，；在上，，；在上，，，由题意知解得.所以b的取值范围为.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：当时，，
故是以为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
所以，故，
故，
故，
故.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：易求得，取AB的中点M，连接，，故，
又且，
故四边形是平行四边形，故，
同理，取BC的中点N，连接，，
故由且，得四边形是平行四边形，
，故，又，，且平面，所以平面，
又平面，所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，所以，所以，
又，，所以平面ABC.
（2）以C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则有故
令，则，
设平面的法向量为，
则有故
令，则.
则，
故二面角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）“第3次由3号投篮”，即第1次由1号投进，第2次由2号投进，概率为.
（2）X的所有可能取值为3，4，5.
，
当时，有一次未投进，分以下三种情况：
第一次未投进，概率为，
第二次未投进，概率为，
第三次未投进，概率为，
故，
，
故.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）到准线的距离为，故，
所以抛物线的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设直线，代入抛物线方程，得，故，
设，，
则，则，
又A，B，O不共线，故为锐角.
（ⅱ）设，的中点为，即，易知，
，
将代入化简，得，
同理，，
，得，
由，
得，，
故，
故，
当时，易知，；
当时，AB的中点为，故由，得，得，
故，当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）证明见解析
解析：证明：（1），
令，则，
故为减函数，在上.，在上，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故.
（2）（ⅰ）要证有两个零点，即证有两个解，
即证有两个解，
令，则，对，，
则有不同的两个解，，则，，
不妨令，则，
在上，，在上，，在上，，其中，在上，单调递增，
又，故，，在上，当时，，
又，故在上存在唯一零点；
在上，当时，，又，故在上存在唯一零点.
综上所述，有两个零点，，且若，则.
（ⅱ），即，
由，得，故，
即，即.
，即，
由，得，故，
即，
，得，
所以.河南省青桐鸣2026届高三下学期大联考5月质量
16.(15分)
检测数学试卷
姓名：
班级：
考号：
考场/座位号：
准考证号
条形码粘贴处
CoC0.[o][o]Co1E0[0][0][01
[11[1]
[1]
[2
c2
[2
[3
3
[3]
注意：1.答题前将个人信息，填写清楚：2.客观题答通修改时用
[3
[3
[
[3]
[3]
橡皮擦干净：3主观遐必须使用黑色签字笔书写：4请在对应
[4
[4
[4]
[4
[4
[
[4]
[4]
[4
答愿区作答，超出书写无效，
[57
[5]
[5
[57
[66
[6]
6
C6
[6
[6]
6
填涂样例
正确填涂■
[7
7
[7]
错误填涂
缺考标记
/8
[8]
回
[9[9[9]
[9
[9
[9
[9]
[9]
[9
选择题18题为单选题。911题为多选题。共计58分
1 CA]CB]CC-CD]
6 CA]CB]CC-CD]
11 CA][B]CC CD]
2 CA]CB]CC CD]
7 CA]CB]CC CD]
3「A7「B1「C「DT
8「A7「BT「CTD7
4「A7「B7「C「DT
9「A7 TBTTC TDT
5[A][B][C[D]
10[A][B][C[D]
填空题每小题5分，共15分
12
13
14
解答题本题共5小题，共77分。
15.(13分)
■口■
■
■
■
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
口■
口
■

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