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辽宁省名校联盟2026届高三下学期5月联合考试数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数据，，，，的平均数为2，则数据，，，，的平均数为( )
A. B. C.0 D.1
2．若，则( )
A. B. C. D.
3．不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4．已知集合，，若，则a的取值不可能为( )
A. B. C. D.
5．如图，某旅游景点两个山顶M，N之间架有一条长的索道，在山顶M处测得山顶N的仰角为，其中，在地面上一点C处测得山顶M，N的仰角均为，且，则山顶M相对于地面的高度约为( )
A. B. C. D.
6．现有一笔简，其形状可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，该笔简最细处直径为，上、下口直径均为，笔筒高，则对应双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
7．若两个等差数列，的前n项和分别为，，，与是关于x的方程的两根，则( )
A. B. C. D.
8．已知，，则( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列是等比数列，若，则( )
A. B.与的等比中项为5
C.的最小值为10 D.数列是等比数列
10．已知函数是R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A.当时，
B.曲线在处的切线方程为
C.对任意，都有
D.若的解集为M，则
11．已知圆和椭圆，直线l与圆M相切于点D，与C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，则下列说法正确的是( )
A.存在b，使圆M和C有4个公共点
B.若圆M与C有2个公共点，则或
C.若，则直线l的斜率不存在
D.若点D的横坐标为，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，则b在a上的投影向量的模长为____________________.
13．已知是函数的极大值点，则的极小值为____________.
14．已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱PA与底面ABC所成角为，侧棱PC与底面ABC所成角为，则三棱锥体积的最小值为____________；假如恰有一块这样的三棱锥宝石（体积最小时对应的三棱锥），则此块宝石_______________（填“能”或“不能”）打磨出一个半径为的球形饰品.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数（，，）图象上的一个最高点为，该最高点与相邻的最低点之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若方程在区间上有6个根，求t的取值范围.
16．（15分）已知点在抛物线上，F为C的焦点，过点F的直线l交C于M，N两点（M在第一象限），.
（1）求直线l的方程；
（2）B为C上一点（介于点A，N之间），线段AN与线段BM交于点P，的面积与的面积相等，求点B的坐标.
17．（15分）如图（1），在以AB为直径的半圆O中，C，D为弧AB的两个三等分点，将扇形AOC沿CO折起到扇形POC的位置，连接PB，PD，BD，如图（2）所示.
（1）设平面POC与平面PBD的交线为l，求证：平面BOC；
（2）若，平面平面BOC，求平面POB与平面PBD夹角的正弦值.
18．（17分）已知函数，.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有极值点，求a的取值范围；
（3）若有三个零点，求a的取值范围.
19．（17分）某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定目标或移动目标一次.其中每轮中出现固定目标的概率为，此人击中固定目标的概率为，出现移动目标的概率为，此人击中移动目标的概率为，每轮是否击中目标互不影响.若此人连续两轮射击均未击中目标，则被淘汰出局.设为此人第n轮射击后，未被淘汰出局的概率.
（1）求此人在一轮射击中击中目标的概率；
（2）求，；
（3）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
参考答案及解析
1．答案：C
解析：由题意得，所以数据，，，，的平均数为0.故选C项.
2．答案：B
解析：由题意得，所以.故选B项.
3．答案：A
解析：因为，所以，所以原不等式可化为，解得.故选A项.
4．答案：D
解析：因为，所以，显然.若，则解得若，则不可能.若，则①若方程有两个相等的根2，则②若方程的两根分别为1，2，则故选D项.
5．答案：C
解析：如图，过M作，垂足为H，设山顶M相对于地面的高度，在中，，所以，在等腰直角中，，在等腰直角中，，在中，由余弦定理得，因为，所以，解得或（舍）.故选C项.
6．答案：B
解析：不妨设对应双曲线的方程为，因为笔筒最细处直径为，所以，即，且点在双曲线上，所以，解得，所以，所以，故.故选B项.
7．答案：D
解析：由题意得，，则.故选D项.
8．答案：C
解析：因为，所以，因为，所以，则，所以，所以，所以，又，所以，故.故选C项
9．答案：AC
解析：因为，所以，故A项正确；与的等比中项为，故B项错误；因为，，同号且，所以，，所以，当且仅当时取等号，故C项正确；当的公比时，，此时不是等比数列，故D项错误.故选AC项.
10．答案：ABD
解析：当时，，且是奇函数，所以，所以当时，，设，则，所以，则，故A项正确；当时，，所以，，所以曲线在处的切线方程为，即，故B项正确；当时，，所以在区间上单调递增，在区间内单调递减，当时，，且时，，因为为奇函数，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的值域为，则对任意，，有，且，故C项错误；由C项知在区间上单调递增，当时，，所以，所以，所以，即，故D项正确.故选ABD项.
11．答案：ACD
解析：当b趋向于0时，显然C与圆M有4个公共点，故A项正确.若圆M与C有2个公共点，则方程组有两组解，即在区间内有唯一解，令，因为，所以，所以的图象开口向下，又对称轴方程为，，，所以由，得，解得或.当，即时，由得，解得；当，即时，由得，解得.故B项错误.联立得，因为，所以方程无解，所以圆M与C无公共点，设直线l的斜率存在，，，，由得，即①，又，所以②，由①②得，解得，又，得，矛盾，所以直线l的斜率不存在，故C项正确.设，则，所以，解得，由图形的对称性求时不妨取，由得③，又，即④，由③④得，即，直线l的方程为，即，联立得，所以，所以或，不妨取，，所以，故D项正确.故选ACD项.
12．答案：
解析：因为，所以，因为，所以，故b在a上的投影向量的模长为.
13．答案：1
解析：，因为是的极大值点，所以，所以.当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，不合题意；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，的极小值为.
14．答案：4；不能
解析：如图，过P作平面ABC于点H，连接AH，HC，
则，，在中，，在中，，所以，又，所以，所以（当A，H，C三点共线时取等号），所以，，所以三棱锥体积的最小值为4，此时点H在AC上，如图所示：
，，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，在中，，在中，，，所以，在中，，，所以，，，设三棱锥内切球的半径为r，则，所以，则，所以此块宝石不能打磨出一个半径为的球形饰品.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为图象上的一个最高点为，
所以，
因为该最高点与相邻的最低点之间的距离为，设的最小正周期为T，
所以，
解得，所以.
又点在的图象上，所以，
所以，，即，，
又，所以，
所以.
（2）由，得，
因为，
所以，
因为方程在区间上有6个根，
所以，
所以，
故t的取值范围是.
16．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为点A在C上，所以，
所以C的方程为，，
由题意易知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为，，，
联立得，，，
则
，
所以，解得，
所以l的方程为，
即或.
（2）当l的方程为时，
由题意知线段AN与线段BM无交点，不符合题意，
故l的方程为.
因为的面积与的面积相等，
所以的面积与的面积相等，
所以A，B两点到直线l的距离相等，
因为B介于点A，N之间，
所以，所以，
所以直线AB的方程为，设，
联立得，
所以或（舍），
所以，
由，得.
故.
17．答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：（1）证明：因为C，D为弧AB的两个三等分点，AB为圆O的直径，
所以在中，.
又，所以，
因为平面，平面PBD，
所以平面PBD.
又平面POC，平面平面，
所以，
因为平面，平面BOC，
所以平面BOC.
（2）取OC的中点E，连接PE，DE，PC，CD，OD，
因为，为等边三角形，所以，，
因为平面平面BOC，平面平面，，平面POC，所以平面BOC，
又平面BOC，所以.
以E为坐标原点，以EO，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面POB的法向量为，
则
令-1，则，，所以.
设平面PBD的法向量为，
则
令，则，，所以.
设平面POB与平面PBD的夹角为，
则，
所以，
故平面POB与平面PBD夹角的正弦值为1.
18．答案：（1）在区间内单调递减
（2）
（3）
解析：（1）当时，，，，
设，
则.
当时，，单调递增，即单调递增，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，即，
所以在区间内单调递减.
（2），
若有极值点，则的图象穿过x轴，即有变号零点.
由，得，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
当时，，当时，，结合单调性易知当时，，
所以的值域为，有变号零点等价于，所以，
故a的取值范围是.
（3）有三个零点等价于有三个根.
设，
则.
当时，，在区间内单调递增，不可能有三个零点.
当时，设，，
①当时，，则，
所以，在区间内单调递减，不可能有三个零点；
②当时，，有两个正根，（），
由知，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
注意到，且当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，当时，，又，所以在区间内有唯一的零点，
同理当时，单调递减，时，，又，所以在区间内有唯一的零点.
综上，有三个零点分别为，，1，所以a的取值范围是.
19．答案：（1）
（2），
（3）
解析：（1）设出现固定目标为事件A，则出现移动目标为，击中目标为事件B，
由题意，，，，
所以，
所以此人在一轮射击中击中目标的概率为.
（2）设此人在第n轮击中目标为事件，显然，
，
，
.
（3）设此人第n轮比赛结束时，未被淘汰出局为事件，
当时，第n轮比赛结束时，未被淘汰出局有两种情况：
情况一：第n轮击中目标，且第轮结束时未被淘汰出局；
情况二：第n轮未击中目标，且第轮击中目标，且第轮结束时未被淘汰出局.
所以，
所以
，
所以当时，，
即当时，.
设存在实数，使得为等比数列，且公比为q，
则，
所以，
与式对照得
解得或
当时，，，
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，①
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，②
由①②得，
所以
，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以，所以是递减数列，
所以当时，不等式，
故的取值范围是.辽宁省名校联盟2026届高三下学期5月联合考试
16.(15分)
数学试卷
姓名：
班级：
考号：
考场/座位号：
准考证号
条形码粘贴处
[01C0[0][0][o1[0[0][o][01
[11[1]
[10
[2
2
[3
3
[3]
注意：1.答题前将个人信息，填写清楚：2.客观题答题修改时用
3
[
[3]
[3
橡皮擦干净：3主观遐必须使用黑色签字笔书写：4请在对应
[4
[4
[4]
[41
[4
[
[4
[4]
[4
答愿区作答，超出书写无效，
[5
5
[5]
[51
[5
[57
[66
[6]
[6
C6
[6
[6]
填涂样例
正确填涂■
[7
[7J
7
错误填涂刀X
缺考标记
c8-
[8]
回
[9[9[9]
[9
[9
[9
[9]
[9
[9
选择题18题为单选题。911题为多选题。共计58分
1 CA]CB]CC-CD]
6 CA]CB]CC CD]
11 CA][B]CC CD]
2 CA]CB]CC CD]
7 CA]CB]CC CD]
3「A7「B1「C「DT
8「A7「BT「CTD7
4「A7「B7「C「D7
9「A7「BTTC TDT
5[A][B][C[D]
10[A][B][C[D]
填空题每小题5分，共15分
12.
13.
14.
解答题本题共5小题，共77分。
15.(13分)
■
■口■
■
■
■
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
口■口
■

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