资源简介

思维进阶十九　变质量问题　两团气问题
对应学生用书P335
考点一　变质量问题
充气问题：将充入气体与原气体视为整体，利用总质量守恒建立状态方程求解末态参量
【例1】 一个足球的容积是2.5 L。用打气筒给这个足球打气，每打一次都把体积为125 mL、压强与大气压相同、温度与环境温度相同的气体打进足球内。如果在打气前足球就已经是球形并且里面的压强与大气压相同，已知大气压强为p0，已知外界环境温度t0＝27 ℃。
(1)不考虑足球容积变化和气体的温度变化，求打了20次后足球内部空气的压强是大气压的多少倍？
(2)考虑足球容积变化和气体的温度变化，打了20次后，足球的容积比原来增大了1％，温度升高至30 ℃，求足球内部空气的压强是大气压的多少倍？
解析：(1)已知大气压强为p0，根据玻意耳定律有p0V0＝pV
代入数据得p0(2.5＋20×0.125)＝2.5p
解得p＝2p0
则打了20次后足球内部空气的压强是大气压的2倍。
(2)根据理想气体状态方程有
＝
代入数据得
＝
解得p'＝2p0
则足球内部空气的压强是大气压的2倍。
答案：(1)2倍　(2)2倍
角度突破
1.向球、轮胎等封闭容器中充气是一个典型的变质量的气体问题。只要选择容器内原有气体和即将打入的气体作为研究对象，就可把充气过程中的气体质量变化的问题转化为定质量问题。
2.处理变质量问题的一般方法
口袋法 给初状态或者末状态接一个口袋，把变化的气体用口袋收集起来，从而保证质量不变
隔离法 对变化部分和不变部分隔离。只对不变部分进行研究，从而实现被研究的气体质量不变
推论法 利用理想气体状态方程＝，结合数学知识可得＝＋＋…，此式适合变质量问题
漏气过程分析：正确选取研究对象，应用理想气体状态方程分析状态变化
【例2】 (生产生活融通题)保温壶(如图)在壶壁的外表面包裹着保温层，可以有效减少壶壁的散热，从而达到节能保温的效果，通常情况下保温壶的保温性能可以保证24 h内水温下降不高于35 ℃。现有一容积为3 L的保温壶，向壶内倒入2 L热水，然后盖上壶盖，此时壶内气体压强为1.5p0、温度为87 ℃。不计壶内水的蒸发和凝结，壶内气体视为理想气体，已知环境大气压强为p0，温度为27 ℃，热力学温度T＝(t＋273) K。
(1)若保温壶密闭性良好，经24 h后壶内温度下降了30 ℃，求此时壶内气体压强；
(2)若保温壶密闭性不好，求经足够长时间从壶内逸出的气体与剩余气体质量之比。
解析：(1)此过程为等容变化，由查理定律可知＝
其中T1＝360 K，T2＝330 K
解得p2＝1.375p0。
(2)经过足够长时间，壶内气体压强与温度均与环境保持一致，则有＝
其中T3＝300 K
从壶内逸出的气体与剩余气体质量之比为
η＝
解得η＝。
答案：(1)1.375p0　(2)
角度突破
容器漏气过程中气体的质量不断发生变化，属于变质量问题，不能用相关方程求解。如果选漏出的气体和容器内剩余气体为研究对象，便可使问题变成一定质量的气体状态变化，再用相关方程求解即可。
破题路径
教学札记：
抽气问题：将抽气过程等效为多次等温膨胀，对每次抽气应用玻意耳定律进行循环计算
【例3】 汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图所示，刹车助力装置简化如下：左容器(助力气室)和右容器(抽气气室)两个容器用细管相连，K1、K2为单向阀门，只可按图示方向开启。开始时活塞在右容器的最左边，活塞向右拉时K2闭合、K1打开，直至右容器的体积等于左容器的体积V0。活塞向左压时K1闭合、K2开启，将右容器中气体排入大气中。重复这两个过程，使左容器内气体质量不断减小。已知左容器初始压强为p0，外界压强为p0。假设抽气过程中，拉动活塞足够慢，每次可视为等温变化，温度保持不变。求：
(1)第1次抽气后左容器内气体压强p1；
(2)第n次抽气后左容器内气体压强pn；
(3)第n次抽气后，左容器抽出气体的质量和左容器剩余气体的质量之比m抽∶m余。
解析：(1)对第1次抽气过程有
p0V0＝p1·2V0
解得p1＝p0。
(2)根据p1＝p0，第n次抽气后左容器内气体压强
pn＝p0。
(3)设左容器内气体的初始质量为m。
第1次抽气：m抽1＝m，m余1＝m
第2次抽气：m抽2＝m，m余2＝m
第3次抽气：m抽3＝m，m余3＝m
……
第n次抽气：m抽n＝m，m余n＝m
第n次抽气后，左容器抽出气体的质量
m抽＝＝m
第n次抽气后，左容器剩余气体的质量m余＝m
解得m抽∶m余＝(2n－1)∶1。
答案：(1)p0　(2)p0　(3)(2n－1)∶1
角度突破
从容器内抽气的过程中，容器内的气体质量不断减小，这属于变质量问题。分析时，将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，可把抽气过程中的气体质量变化的问题转化为定质量问题。
能力要语
核心在于理解每次抽气都是一次等温膨胀过程，并由此建立压强的递推公式进行求解。
教学札记：
破题路径
教学札记：
气体分装：将分装过程等效为多个独立系统的状态变化，利用质量守恒关联各系统状态
【例4】 医疗常用的金属氧气瓶容积为10 L，瓶内贮存了压强为8×106 Pa的氧气。便携式呼吸器容积为2 L，呼吸器一开始为真空，现用氧气瓶对其充气，当呼吸器内压强变为8.0×105 Pa时充气完成。充气过程中不漏气，环境温度不变，求：
(1)一个呼吸器充完气后的质量占氧气瓶初始质量的比例；
(2)氧气瓶最多可装多少个氧气呼吸器。
题后反思：
解析：(1)设氧气瓶初始压强为p1＝8×106 Pa，体积为V1＝10 L；呼吸器充气完成后的压强为p2＝8.0×105 Pa，体积为V2＝2 L，则一个呼吸器充完气后的质量占氧气瓶初始质量的比例为
＝＝。
(2)设可以分装n瓶，根据玻意耳定律有
p1V1＝np2V2＋p2V1
代入题中数据，解得n＝45。
答案：(1)　(2)45
角度突破
将一个大容器里的气体分装到多个小容器中的问题也是一个典型的变质量问题。分析这类问题时，可以把大容器中的气体和多个小容器中的气体看成整体来作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题。
破题路径
考点二　两团气问题
两团气用活塞分隔于汽缸，温度变化后，结合受力平衡求末态压强与体积
【例5】 如图所示，汽缸内有可自由移动的轻质绝热活塞，把汽缸内理想气体分成体积均为V0的A、B两部分，然后用销子把活塞卡住，此时两部分气体温度均为T0，压强均为p0。现把气体B温度升高到T0。
(1)求升温后气体B的压强p1；
(2)拔去销子，保持A温度为T0、B温度为T0不变，求活塞静止后气体B的压强p2。
解析：(1)气体B，初态压强pB1＝p0、温度T1＝T0，末态压强p1、温度T2＝T0，根据查理定律有＝
解得p1＝p0。
(2)对气体B，初态压强pB1＝p0、体积V1＝V0、温度T1＝T0，末态压强p2，体积VB2，温度T2＝T0，根据理想气体状态方程有
＝
对气体A，初态压强pA1＝p0、体积V1＝V0，末态压强p2、体积VA2，根据玻意耳定律有
pA1V1＝p2VA2
又VB2＋VA2＝2V0
联立解得p2＝p0。
答案：(1)p0　(2)p0
破题路径
能力要语
活塞平衡确保两团气体压强始终相等，且体积变化量之和为零，这是建立方程的核心。
教学札记：
U形管两侧封闭两团气，注入水银后，依压强平衡析气柱长度及状态参量变化
【例6】 如图所示，均匀薄壁U形管竖直放置，左管上端封闭，右管上端开口且足够长，用两段水银封闭了A、B两部分理想气体，下方水银的左右液面高度相差ΔL＝10 cm，右管上方的水银柱高h＝15 cm，初状态环境温度为27 ℃，A部分气体长度l1＝30 cm，B部分气体长度l2＝20 cm，外界大气压强p0＝75 cmHg。现保持温度不变，在右管中缓慢注入水银，使下方水银左右液面等高，求：
(1)右管中注入的水银高度；
(2)此时B部分气体的长度。
解析：(1)设右管中注入的水银高度是Δh，对A部分气体分析，其做等温变化
根据玻意耳定律有p1V1＝p2V2
注入水银前A部分气体压强
p1＝p0＋15 cmHg＋10 cmHg
注入水银后A部分气体压强
p2＝p0＋15 cmHg＋Δh
注入水银前A部分气体体积V1＝l1S
注入水银后A部分气体体积V2＝S
代入数据解得再注入的水银高度Δh＝30 cm。
(2)对B气体分析，其做等温变化
注入水银前B部分气体压强
p3＝p0＋15 cmHg＝90 cmHg
注入水银后B部分气体压强
p4＝p0＋15 cmHg＋30 cmHg＝120 cmHg
注入水银前B部分气体体积V3＝l2S
注入水银后B部分气体体积V4＝lS
根据玻意耳定律有p3V3＝p4V4
解得l＝15 cm。
答案：(1)30 cm　(2)15 cm
能力要语
抓住水银体积守恒和同一水平面压强相等两个核心关系。
破题路径
教学札记：
[思维进阶(十九)]　变质量问题　两团气问题
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.某容积为40 L的氧气瓶装有30 atm的氧气，现把氧气分装到容积为5 L的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为5 atm，若每个小钢瓶中原有氧气压强为1 atm，能分装的瓶数是(设分装过程中无漏气，且温度不变)(　　)
A.40瓶 B.48瓶
C.50瓶 D.60瓶
解析：选C。初态：p1＝30 atm、V1＝40 L；p1'＝1 atm、V1'＝5n L；末态：p2＝5 atm、V2＝(40＋n×5) L(n为瓶数)；由p1V1＋p1'V1'＝p2V2，代入数据解得n＝50，C正确。
2.近期，山东某男子用空压机给篮球打气，轻拍篮球后导致篮球爆炸事件爆红网络。小红新买的篮球，初始时篮球内部空气的压强为一个大气压p0，小红使用打气筒给新买的篮球打气，该打气筒每次可以将压强p0＝1.0×105 Pa、体积V0＝100 cm3的空气打进篮球。已知篮球体积V＝7.5×103 cm3，篮球内部气体的标准压强为1.6×105 Pa，篮球能够承受的最大压强为6.0×105 Pa，打气前球内气体温度与环境温度均为27 ℃，忽略打气过程中篮球体积变化和球内气体温度变化。求：
(1)使篮球内部的气体达到标准气压，小红向篮球打气次数；
(2)小红将篮球气压打到某一未知数值后约同学一起打球，打球过程中球内温度升高到87 ℃时，篮球爆炸，小红打入气体质量与篮球内原有气体质量之比。
解析：(1)打气过程中篮球体积不变，球内气体温度不变，设打气n次，初状态p0＝1.0×105 Pa，V1＝(7.5×103＋100n) cm3
末状态p2＝1.6×105 Pa，V＝7.5×103 cm3
根据玻意耳定律p0V1＝p2V
解得n＝45。
(2)设打入气体体积为V2，打气前初态p0＝1.0×105 Pa，V1'＝(7.5×103＋V2) cm3，T1＝(273＋27) K＝300 K
篮球爆炸时末态p2'＝6.0×105 Pa，V＝7.5×103 cm3，T2＝(273＋87) K＝360 K
由理想气体状态方程＝
解得V2＝3.0×104 cm3
同种气体在压强、温度相同时，密度相同，已知初始时篮球内部空气的压强为一个大气压p0，根据m＝ρV，可得打入气体质量与篮球内原有气体质量之比为＝＝。
答案：(1)45　(2)
3.(生产生活融通题)如图所示的气垫鞋是通过在鞋底内置密闭气垫(通常填充高压氮气或空气)来提供缓震功能的运动鞋。气垫内气体可视为理想气体，气垫导热良好。某款气垫跑鞋在静态未穿着时每个气垫中气体的体积为V1＝20 cm3，压强为p1＝1.2 atm，已知大气压强恒为p0＝1 atm，室温恒为27 ℃。
(1)某同学穿上该跑鞋运动，气垫体积被压缩为原来的，温度升高到37 ℃，求此时气垫内气体的压强；
(2)长时间穿着剧烈运动导致气垫损坏漏气，静置于室内足够长的时间后，体积仍为V1，求漏出气垫的气体和剩余气体的质量之比。
解析：(1)取气垫内气体为研究对象，初态V1＝20 cm3，压强p1＝1.2 atm，温度T1＝300 K
末态V2＝V1，压强为p2，温度T2＝310 K
由理想气体状态方程有＝
联立解得p2＝1.55 atm。
(2)以漏气前气垫内的气体为研究对象，初态V1＝20 cm3，压强p1＝1.2 atm
漏气后p3＝p0＝1 atm，体积为V3
由玻意耳定律有p1V1＝p3V3
解得V3＝24 cm3
漏出气垫的气体和剩余气体的质量之比为
η＝＝。
答案：(1)1.55 atm　(2)
4.甲、乙两个储气罐储存有同种气体。甲罐容积为V，罐中气体压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体压强为0.5p。现通过细管(体积忽略不计)连接两罐，把甲罐中部分气体调配到乙罐中去，调配后两罐中气体的压强相等。然后把两罐分别密封后分开，用抽气筒对乙罐抽气，每次可以抽取体积为0.5V的气体。整个过程两罐气体温度相同且保持不变，求：
(1)调配后两罐中气体的压强；
(2)抽气两次后乙罐中气体的压强。
解析：(1)根据题意，由玻意耳定律可得
pV＋0.5p·2V＝pm·3V
解得pm＝p。
(2)根据题意，由玻意耳定律可得
pm·2V＝p1·(2V＋0.5V)
p1·2V＝p2·(2V＋0.5V)
解得p2＝p。
答案：(1)p　(2)p
5.如图甲所示，一导热性能良好的容器竖直放置在地面上，容器内封闭着一定质量的理想气体，用一面积为S的活塞将气体分成A、B两部分，活塞可在容器内无摩擦移动且不漏气，稳定后A部分气体的压强为p0、体积为2V0，B部分气体的体积为V0。已知活塞的质量m＝ ，环境温度保持不变，重力加速度为g，现将容器水平放置，如图乙所示，求：
(1)容器水平放置稳定后气体的压强；
(2)容器水平放置稳定后，活塞相对容器向左移动的距离。
解析：竖直放置时，研究活塞，由平衡条件得
p0S＋mg＝pBS
代入数据解得pB＝p0
容器由竖直变为水平，A、B两部分气体均做等温变化；对A、B气体分别研究：
A气体有p0·2V0＝pA'VA
B气体有pB·V0＝pB'VB
水平放置稳定后两部分气体压强相等，即pA'＝pB'
由几何关系得VA＋VB＝3V0
联立解得pA'＝pB'＝p0。
(2)由(1)得，容器水平放置时，A部分气体体积为VA＝V0，则活塞向左移动的距离为
d＝
联立解得d＝。
答案：(1)p0　(2)
6.(生产生活融通题)用如图所示的水银血压计测量血压时，先用气囊向袖带内充气7次(开始袖带内无空气)，每次充入压强为p0(p0为外界大气压强)、体积为的空气，充气后袖带内的空气体积为V0，然后缓慢放气，当袖带内空气体积变为时，袖带内空气的压强刚好与大气压强相等。空气可视为理想气体，忽略充气和放气过程中空气温度的变化，求：
(1)充气后袖带内空气的压强p；
(2)袖带放出空气的质量与剩余空气质量的比值k。
解析：(1)充气过程中空气做等温变化，末态压强为p，体积为V0，根据玻意耳定律，有7p0·＝pV0
解得p＝。
(2)设放出压强为p0的空气体积为ΔV，根据玻意耳定律有7p0·＝p0·＋p0ΔV
袖带放出空气的质量与剩余空气质量的比值为
k＝
联立解得k＝。
答案：(1)　(2)(共55张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第十五章
热学
思维进阶十九　变质量问题　两团气问题
考点探究　提升能力
角度突破
变质量问题
考点一
角度突破
破题路径
角度突破
能力要语
破题路径
角度突破
破题路径
两团气问题
考点二
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能力要语
能力要语
破题路径
[思维进阶(十九)]　
变质量问题　两团气问题
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