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湘教版数学八年级下册期末仿真模拟题（二）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55， 64， 51， 50， 61， 55，则这组数据的是(　　)
A．51 B．55 C．58 D．64
3．将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线 y=2下方的点的横坐标x满足0A．-4≤b≤-2 B．-6≤b≤2 C．-4≤b≤2 D．-8≤b≤-2
4．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DF于点F和G，连接AF，AG.则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD=BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB=FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF=BG时，则四边形AGBF为菱形
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB=10，OE=6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
10．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
11．点在二，四象限的角平分线上，则的值为　 　.
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是　 　。
13．如图，已知点A（-4，0），B（-1，0）．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为　 　 ．
14．已知一次函数的图象与的图象平行，而且经过点，则该一次函数的解析式为　 　．
15．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是　 　.
16．已知数据，，的平均数是3，数据，的平均数是5，则，，，，这组数据的平均数是　 　．
17．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
18．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。
（1）求证：BD=EC。
（2）若 求 的度数。
20．已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表：
变换前
变换后
（1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出；
（2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ；
（3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ．
21．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
22．2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售
售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半．
（1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润．
23．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数。
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 100 120 100 100 160 230 240
（1）把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接写出这个样本的中位数、众数和平均数。分析表中数据还可得到一些信息，如双休日的参观人数远远高于平时等，请你再写出两条相关信息。
（2）如图所示为该历史景点的门票价格。若“十一”假期期间有甲、乙两个旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数据的中位数，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W元，甲团的人数为x人。
①求W关于x的函数表达式。
②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元。
24．【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 ﹣2 a 2 …
（1）a＝　 　；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【拓展应用】
若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系：　 　；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集：　 　．
25．如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数．
（2）如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：商家关注的是卖出的这种运动鞋中哪种尺码销量最多，
因此关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的众数．
故答案为：C．
【分析】根据众数的定义求解即可。
2．【答案】A
【知识点】百分位数
【解析】【解答】解：由题知，
将6个数据从小到大排序得： 50， 51， 55， 55， 61， 64，
则i=6×0.25=1.5，
所以
故选： A.
【分析】根据百分位数的计算方式进行计算即可.
3．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：当x=3时，
当x=0时，-b≥2即
∴b的取值范围为
故选： A.
【分析】根据x满足04．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点，
令，则，解得，
，
令，则，
，
，
，
如图，取的中点，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
，
．
，，
，
，
如图，分两种情况考虑：
①当点在轴正半轴上时，，
；
②当点在轴负半轴上时，，
．
故选：D．
【分析】
首先根据直线解析式，分别令x=0和y=0，求出点B和A的坐标，利用三角函数或勾股定理逆定理求出的度数，进而得到的度数，根据点C是x轴上的一点且OC=2，所以要分情况：情况一：当点C再x轴正半轴上，得出一种结果为75°；情况二：当点C在负半轴上，得出结果为165°.
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：延长交轴于，
由题意得：平分，
，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，
，
，
，
∵的顶点在轴上，，
∴轴，，
，
，
点点坐标为，
故答案为：D．
【分析】由作法得OP平分∠AOC，由平行四边形的对边平平行得出BC∥OA，由二直线平行，内错角相等得∠CPO=∠AOP，则可得，由等角对等边得出；延长交轴于，可得轴，由角的构成得，由含30°角直角三角形的性质得出CH=OC=1，根据勾股定来算出OH的长，再根据线段和差求出HP的长，从而即可得到点P的坐标.
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，
∵∠MBC=180°，
∴∠GBF=90°，
∵GE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC， ∠DGB=∠GBM，
∴∠DGB=∠DBG， ∠DFB=∠DBF，
∴DG=DB=DF，
当AF∥BG时， ∠FAD=∠DBG，
∵∠ADF=∠BDG，
∴△ADF≌△BDG(AAS)，
∴AF=BG，
∴四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；
当AD=BD时， ∵DG=DF，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵∠GBF=90°，
∴四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；
当AB=FG时，
∴AD=BD，
∴四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；
当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，
∴AB⊥FG，
但不能证得四边形AGBF是平行四边形，
∴当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBG= 求得∠DBG+∠ 得到∠GBF=90°，推出DG=DB=DF，当AF∥BG时，∠FAD=∠DBG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，推出四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；当AD=BD时，由DG=DF，得到四边形AGBF为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；当AB=FG时，由 得到 求得AD=BD，得到四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，得到AB⊥FG，但不能证得四边形AGBF是平行四边形，当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故D符合题意.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC， OB=OD， AC⊥BD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠AOB=90°，
∴AC=2OA=16，
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：C.
【分析】由Rt△BED中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OE=6，则 根据勾股定理求出AO=8，得出AC=16，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出点B的坐标，再利用待定系数法求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标，则直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即．
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A（2，4），B（6，0）代入y=mx+n，得：，解得
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
∴直线OD的解析式为：y=x，
∵点A（2，4），
∴点M的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点M（2，2），
∵点O（0，0），A（2，4），B（6，0），点F，E分别为AB，OB的中点，
∴点F（4，2），点E（3，0），
设直线OF的解析式为：y=cx，
将点F（4，2）代入y=cx，得：4c=2，解得：c=，∴直线OF的解析式为： y=x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A（2，4），点E（3，0）代入y=px+q， 得，解得，
∴直线AE的解析式为：y=-4x+12，
解方程组，得∴点N的坐标为 （，），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
将点M（2，2），N（，） 代入y=kx+b，得，解得，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=-x+4．
故答案为：C．
【分析】作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=-x+6，进而得直线OD的解析式为y=x，由此可求出点M（2，2），再分别求出点F（4，2），点E（3，0），进而再求出直线OF的解析式为y=x，直线AE的解析式为：y=-4x+12，由此可得点N（，），由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC=8，EH=EF，∠HGF=∠EFG=∠EHG=90°；由“AAS”证△DGM≌△EFM，由全等三角形的性质得DG=EF，∠GDM=∠FEM，DH=BF，DG=CF，∠DHA=∠BFC=90°，则EH=CF，由“SAS”证△DHE≌△BFC，由全等三角形的性质得DE=BC=8，∠HDE=∠FBC，由等量代换及对顶角相等推出∠FBC=∠BEN，由等角对等边得BN=NE，设BN=NE=x，则，，最后在Rt△CDN中利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可得出EN的长.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵ 点在二，四象限的角平分线上 ，
∴，解得x=，
故填：.
【分析】由二、四象限角平分线上点特征分析得出等量关系，解之即可.
12．【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
13．【答案】（3，3）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A(-4，0)，B(-1，0)，AB=3，AO=4.
设点D的纵坐标为a.
∵四边形ABCD的面积为9，
解得a=3，
∴点D的坐标为(0， 3)，
∵点A到点D是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点B到点C也是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点C的坐标为((-1+4，0+3)， 即(3， 3)；
故答案为： (3， 3).
【分析】先求AB的长度，再根据平行四边形面积公式求点C的坐标，最后根据平移的性质求出点D的坐标即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴该一次函数的解析式为，
故答案为：．
【分析】先根据两个一次函数的图象平行可得，再利用直线上点的坐标特征得出的值即可．
15．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的组内离差平方和：；
计算第二组的平均数：，
第二组的组内离差平方和：；
总的组内离差平方和为．
故答案为：4 .
【分析】先计算两组数据的组内离差平方和，然后相加解答即可.
16．【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是3，数据x4，x5的平均数是5，
∴x1+x2+x3=3×3=9，x4+x5=2×5=10，
∴x1，x2，x3，x4，x5这组数据的平均数是==.
故答案为：.
【分析】直接根据平均数的计算方法进行计算即可.
17．【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
18．【答案】
【知识点】一次函数的性质；用代数式表示图形变化规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵在直线上
∴的坐标为
在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标
∴的纵坐标也为1，即，且(1，1)
又∵在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标，的横坐标等于的横坐标，
∴的纵坐标为，的纵坐标为2，即，
的横坐标为=1+2=3，(3，2)
同理，的横坐标等于的横坐标
∴的纵坐标为，， 即的纵坐标为4，即，
的横坐标为+=1+2+4=7，(7，4)
以此类推，点的纵坐标是.
故答案为：
【分析】
先求出的坐标，进而得到的纵坐标，再根据与的横坐标的关系求出的纵坐标，以此类推找出的纵坐标的规律，从而求出的纵坐标。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD。又∵BE=AB，∴BE=CD。
∴四边形BECD是平行四边形。∴BD=EC。
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE。
∴∠ABO=∠E=50°。
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 （1）只需要证明四边形DBEC是平行四边形即可证明BD=EC；
（2）先根据平行线的性质得到∠ABO=∠E=50°，由菱形的性质得到AC⊥BD，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
20．【答案】（1）解：点C坐标为，
如图，如图所示：
（2）
（3）平行四边形；20
【知识点】平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
【分析】（1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可；
（2）由平移的性质可得答案；
（3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可；
（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
如图，如图所示：
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
21．【答案】（1）84；72；30
（2）八
（3）解：人
【知识点】扇形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图
【解析】【解答】（1） 将七年级数据按从小到大排序：D 组（2 人）→ C 组（5 人）→ B 组（7 人）→ A 组（6 人），共 20 个数。第 10、11 个数都在 B 组中，B 组数据为：83， 84， 84， 84， 85， 87， 88，即 B 组是第 8~14 个数。
第 10 个数是 84，第 11 个数是 85，因此中位数：；
八年级 20 名学生成绩已按从小到大排序：63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86， 86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99
b是下四分位数（第 25% 分位数，即第20×25%=5个数）：第 5 个数是 72，因此b=72；c是中位数（第 10、11 个数的平均数）：第 10 个数是 82，第 11 个数是 84，因此：；
扇形统计图中B组人数为7，占比为35%，所以m=100-35-25-10=30；
综上，a=84.5，b=72，c=83，m=30；
（2）已知七年级方差为 278.9，八年级方差为 134.7。
因为134.7<278.9，八年级的方差更小，说明八年级成绩波动更小、更稳定。
因此，选八年级更合适。
【分析】（1）本题考查中位数、扇形统计图、箱线图的相关知识，核心是利用样本数据的分布特征，计算中位数和百分比。
中位数：将数据从小到大排序后，第 10、11 个数的平均数（20 个数据，中位数为第 10、11 位的平均值）。扇形统计图：通过各组百分比之和为 100%，计算 A 组的百分比m%。箱线图：b为下四分位数（第 25% 分位数，即第 5 个数），c为中位数（第 10、11 个数的平均数）；
（2） 本题考查方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。只需比较七、八年级的方差大小即可；
（3） 本题考查用样本估计总体：用样本中成绩不低于 90 分的百分比，估计总体中对应人数，再求和。
22．【答案】（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于掌握一次函数的基本性质。
（1）利润的计算公式为：售价减去进价，根据此关系可建立相应的函数表达式。
（2）解题时需要先确定自变量的取值范围：由于最多只能对600千克羽衣甘蓝进行加工处理，因此可以得出。在此基础上，利用一次函数的性质求出最优解。
（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
23．【答案】（1）解：中位数是120；众数是100；平均数是150人。相关信息：双休日的参观人数之和与平时参观人数之和相差110；有三天的参观人数相等
（2）解：由题意得0<120-x≤50，解得70≤x<120。
①W关于x的函数表达式：
W=6x+8(120-x)，即 W=-2x+960(70≤x≤100)；
或W=4x+8(120-x)，即 W=-4x+960(100②两团合起来购票是120×4=480(元)，
当甲团有70人，乙团有50人时，此时节约的最多，节约了70×6+50×8-480=340(元)
【知识点】统计表；平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）把人数排列为100，100，100，120，160，230，240，居于中间的数据为120，故中位数为120；
在这组数据中100出现3次，次数最多，故众数为100；
平均数为(100+120+100+100+160+230+240)÷7=150人，
故答案为：120；100；150；
【分析】（1）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义解答，然后根据表中数据写出相关信息即可；
（2）①分为两种情况，根据门票价格乘以旅游团人数列函数关系式；
②根据中位数求出甲团最多人数，然后代入计算即可.
24．【答案】（1）0
（2）解：如图：
当x<2时，y随着x的增大而减小
（3）m+n=4
（4）x<1或x>5
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当x=3时，y=2|3-2|-2=0
∴a=0
故答案为：0
（3）由图象可得，y＝2|x﹣2|﹣2的图象关于直线x=2对称
∵点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上
∴点A，B关于x=2对称
∴m+n=4
故答案为：m+n=4
（4）如图，作出y=x-1的图象
由图象可得，不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集为x<1或x>5
故答案为：x<1或x>5
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据函数图象可得y＝2|x﹣2|﹣2的图象关于直线x=2对称，则点A，B关于x=2对称，结合对称性质即可求出答案.
（4）作出y=x-1的图象，当y＝2|x﹣2|﹣2的图象在y=x-1的图象上方时，有2|x﹣2|﹣2＞x﹣1，结合函数图象即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形ABCD的边长是，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∴
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用正方形性质得AB=BC，∠BAC=∠ABD=45°，由轴对称性质得BF=BC=AB，从而由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAF=67.5°，最后根据角的构成，由∠CAF=∠BAF-∠BAC可算出答案；
（2）DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：延长BE交CF于G，由轴对称的性质可得，，进而由二直线平行，内错角相等得，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BCG=∠CDF，从而利用“AAS”证△BCG≌△CDF，由全等三角形的对应边相等得CG=FD，从而即可得出结论；
（3）作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD交AC于O；不妨设正方形ABCD的边长是2，由正方形的性质得BD⊥AC，∠ACB=45°，OB=OD=BD，利用勾股定理及等腰直角三角形性质算出BD；由轴对称的性质得，，，，由三角形面积公式及等底等高三角形面积相等推出BG=OB，又由平角定义推出∠HFB=45°，则△BHF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质可求出BH，进而再利用勾股定理算出DH，利用线段构成求出DF，最后再利用三角形面积公式分别表示出S1与S2，即可求出S1与S2的比值.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形的边长是，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先求点 C 坐标：已知 A (-2，0)，AC=6，C 在 x 轴正半轴，所以从 A 往右数 6 个单位，横坐标就是 - 2+6=4，纵坐标是 0，所以 C (4，0)。再求直线 BC 解析式：已知 B (0，4) 和 C (4，0)，用待定系数法，把两点代入 y=kx+b，算出 k=-1，b=4，所以解析式是 y=-x+4。
（2）先算出△ABO 的面积，然后利用 “同底等高的三角形面积相等” 来做。
第一步，先求直线 AB 的解析式，把 A、B 坐标代进去，得到 y=2x+4。
第二步，△ABG 和△ABO 面积相等，说明点 G 到直线 AB 的距离，等于点 O 到直线 AB 的距离。
分两种情况：① G 在线段 BC 上：过 O 作和 AB 平行的直线（斜率相同），和 BC 的交点就是 G。联立两条直线方程，算出交点坐标（ ，)。
② G 在 CB 延长线上：因为距离相等，所以 G 和 G' 关于 B 对称，算出 G' 的坐标 (-，)。
（3）先求直线 AG 的解析式，把 A (-2，0) 和 G (，) 代进去，得到 y= x +。
然后分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为边，CN 为边：过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 的坐标，再根据平行四边形对边相等，BM=CN，算出 N 的坐标 (7，0)。
② BC 为对角线，CN 为边：同样过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，算出 N 的坐标 (1，0)。
③ BC 为边，CN 为对角线：过 M 作 x 轴垂线，证明三角形全等，得到 M 的坐标，再算出 N 的坐标 (-11，0)。
最后汇总所有情况，得到 N 的三个坐标。
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，将代入，
∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）由和，同理得直线解析式为，
①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
1 / 1湘教版数学八年级下册期末仿真模拟题（二）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：商家关注的是卖出的这种运动鞋中哪种尺码销量最多，
因此关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的众数．
故答案为：C．
【分析】根据众数的定义求解即可。
2．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55， 64， 51， 50， 61， 55，则这组数据的是(　　)
A．51 B．55 C．58 D．64
【答案】A
【知识点】百分位数
【解析】【解答】解：由题知，
将6个数据从小到大排序得： 50， 51， 55， 55， 61， 64，
则i=6×0.25=1.5，
所以
故选： A.
【分析】根据百分位数的计算方式进行计算即可.
3．将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线 y=2下方的点的横坐标x满足0A．-4≤b≤-2 B．-6≤b≤2 C．-4≤b≤2 D．-8≤b≤-2
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：当x=3时，
当x=0时，-b≥2即
∴b的取值范围为
故选： A.
【分析】根据x满足04．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点，
令，则，解得，
，
令，则，
，
，
，
如图，取的中点，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
，
．
，，
，
，
如图，分两种情况考虑：
①当点在轴正半轴上时，，
；
②当点在轴负半轴上时，，
．
故选：D．
【分析】
首先根据直线解析式，分别令x=0和y=0，求出点B和A的坐标，利用三角函数或勾股定理逆定理求出的度数，进而得到的度数，根据点C是x轴上的一点且OC=2，所以要分情况：情况一：当点C再x轴正半轴上，得出一种结果为75°；情况二：当点C在负半轴上，得出结果为165°.
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：延长交轴于，
由题意得：平分，
，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，
，
，
，
∵的顶点在轴上，，
∴轴，，
，
，
点点坐标为，
故答案为：D．
【分析】由作法得OP平分∠AOC，由平行四边形的对边平平行得出BC∥OA，由二直线平行，内错角相等得∠CPO=∠AOP，则可得，由等角对等边得出；延长交轴于，可得轴，由角的构成得，由含30°角直角三角形的性质得出CH=OC=1，根据勾股定来算出OH的长，再根据线段和差求出HP的长，从而即可得到点P的坐标.
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DF于点F和G，连接AF，AG.则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD=BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB=FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF=BG时，则四边形AGBF为菱形
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，
∵∠MBC=180°，
∴∠GBF=90°，
∵GE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC， ∠DGB=∠GBM，
∴∠DGB=∠DBG， ∠DFB=∠DBF，
∴DG=DB=DF，
当AF∥BG时， ∠FAD=∠DBG，
∵∠ADF=∠BDG，
∴△ADF≌△BDG(AAS)，
∴AF=BG，
∴四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；
当AD=BD时， ∵DG=DF，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵∠GBF=90°，
∴四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；
当AB=FG时，
∴AD=BD，
∴四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；
当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，
∴AB⊥FG，
但不能证得四边形AGBF是平行四边形，
∴当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBG= 求得∠DBG+∠ 得到∠GBF=90°，推出DG=DB=DF，当AF∥BG时，∠FAD=∠DBG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，推出四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；当AD=BD时，由DG=DF，得到四边形AGBF为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；当AB=FG时，由 得到 求得AD=BD，得到四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，得到AB⊥FG，但不能证得四边形AGBF是平行四边形，当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故D符合题意.
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB=10，OE=6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC， OB=OD， AC⊥BD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠AOB=90°，
∴AC=2OA=16，
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：C.
【分析】由Rt△BED中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OE=6，则 根据勾股定理求出AO=8，得出AC=16，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出点B的坐标，再利用待定系数法求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标，则直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即．
9．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A（2，4），B（6，0）代入y=mx+n，得：，解得
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
∴直线OD的解析式为：y=x，
∵点A（2，4），
∴点M的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点M（2，2），
∵点O（0，0），A（2，4），B（6，0），点F，E分别为AB，OB的中点，
∴点F（4，2），点E（3，0），
设直线OF的解析式为：y=cx，
将点F（4，2）代入y=cx，得：4c=2，解得：c=，∴直线OF的解析式为： y=x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A（2，4），点E（3，0）代入y=px+q， 得，解得，
∴直线AE的解析式为：y=-4x+12，
解方程组，得∴点N的坐标为 （，），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
将点M（2，2），N（，） 代入y=kx+b，得，解得，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=-x+4．
故答案为：C．
【分析】作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=-x+6，进而得直线OD的解析式为y=x，由此可求出点M（2，2），再分别求出点F（4，2），点E（3，0），进而再求出直线OF的解析式为y=x，直线AE的解析式为：y=-4x+12，由此可得点N（，），由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式。
10．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC=8，EH=EF，∠HGF=∠EFG=∠EHG=90°；由“AAS”证△DGM≌△EFM，由全等三角形的性质得DG=EF，∠GDM=∠FEM，DH=BF，DG=CF，∠DHA=∠BFC=90°，则EH=CF，由“SAS”证△DHE≌△BFC，由全等三角形的性质得DE=BC=8，∠HDE=∠FBC，由等量代换及对顶角相等推出∠FBC=∠BEN，由等角对等边得BN=NE，设BN=NE=x，则，，最后在Rt△CDN中利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即可得出EN的长.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
11．点在二，四象限的角平分线上，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵ 点在二，四象限的角平分线上 ，
∴，解得x=，
故填：.
【分析】由二、四象限角平分线上点特征分析得出等量关系，解之即可.
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是　 　。
【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
13．如图，已知点A（-4，0），B（-1，0）．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为　 　 ．
【答案】（3，3）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A(-4，0)，B(-1，0)，AB=3，AO=4.
设点D的纵坐标为a.
∵四边形ABCD的面积为9，
解得a=3，
∴点D的坐标为(0， 3)，
∵点A到点D是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点B到点C也是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点C的坐标为((-1+4，0+3)， 即(3， 3)；
故答案为： (3， 3).
【分析】先求AB的长度，再根据平行四边形面积公式求点C的坐标，最后根据平移的性质求出点D的坐标即可.
14．已知一次函数的图象与的图象平行，而且经过点，则该一次函数的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴该一次函数的解析式为，
故答案为：．
【分析】先根据两个一次函数的图象平行可得，再利用直线上点的坐标特征得出的值即可．
15．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是　 　.
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的组内离差平方和：；
计算第二组的平均数：，
第二组的组内离差平方和：；
总的组内离差平方和为．
故答案为：4 .
【分析】先计算两组数据的组内离差平方和，然后相加解答即可.
16．已知数据，，的平均数是3，数据，的平均数是5，则，，，，这组数据的平均数是　 　．
【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是3，数据x4，x5的平均数是5，
∴x1+x2+x3=3×3=9，x4+x5=2×5=10，
∴x1，x2，x3，x4，x5这组数据的平均数是==.
故答案为：.
【分析】直接根据平均数的计算方法进行计算即可.
17．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
18．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质；用代数式表示图形变化规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵在直线上
∴的坐标为
在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标
∴的纵坐标也为1，即，且(1，1)
又∵在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标，的横坐标等于的横坐标，
∴的纵坐标为，的纵坐标为2，即，
的横坐标为=1+2=3，(3，2)
同理，的横坐标等于的横坐标
∴的纵坐标为，， 即的纵坐标为4，即，
的横坐标为+=1+2+4=7，(7，4)
以此类推，点的纵坐标是.
故答案为：
【分析】
先求出的坐标，进而得到的纵坐标，再根据与的横坐标的关系求出的纵坐标，以此类推找出的纵坐标的规律，从而求出的纵坐标。
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。
（1）求证：BD=EC。
（2）若 求 的度数。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD。又∵BE=AB，∴BE=CD。
∴四边形BECD是平行四边形。∴BD=EC。
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE。
∴∠ABO=∠E=50°。
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】 （1）只需要证明四边形DBEC是平行四边形即可证明BD=EC；
（2）先根据平行线的性质得到∠ABO=∠E=50°，由菱形的性质得到AC⊥BD，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
20．已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表：
变换前
变换后
（1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出；
（2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ；
（3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ．
【答案】（1）解：点C坐标为，
如图，如图所示：
（2）
（3）平行四边形；20
【知识点】平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
【分析】（1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可；
（2）由平移的性质可得答案；
（3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可；
（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
如图，如图所示：
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
21．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
【答案】（1）84；72；30
（2）八
（3）解：人
【知识点】扇形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图
【解析】【解答】（1） 将七年级数据按从小到大排序：D 组（2 人）→ C 组（5 人）→ B 组（7 人）→ A 组（6 人），共 20 个数。第 10、11 个数都在 B 组中，B 组数据为：83， 84， 84， 84， 85， 87， 88，即 B 组是第 8~14 个数。
第 10 个数是 84，第 11 个数是 85，因此中位数：；
八年级 20 名学生成绩已按从小到大排序：63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86， 86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99
b是下四分位数（第 25% 分位数，即第20×25%=5个数）：第 5 个数是 72，因此b=72；c是中位数（第 10、11 个数的平均数）：第 10 个数是 82，第 11 个数是 84，因此：；
扇形统计图中B组人数为7，占比为35%，所以m=100-35-25-10=30；
综上，a=84.5，b=72，c=83，m=30；
（2）已知七年级方差为 278.9，八年级方差为 134.7。
因为134.7<278.9，八年级的方差更小，说明八年级成绩波动更小、更稳定。
因此，选八年级更合适。
【分析】（1）本题考查中位数、扇形统计图、箱线图的相关知识，核心是利用样本数据的分布特征，计算中位数和百分比。
中位数：将数据从小到大排序后，第 10、11 个数的平均数（20 个数据，中位数为第 10、11 位的平均值）。扇形统计图：通过各组百分比之和为 100%，计算 A 组的百分比m%。箱线图：b为下四分位数（第 25% 分位数，即第 5 个数），c为中位数（第 10、11 个数的平均数）；
（2） 本题考查方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。只需比较七、八年级的方差大小即可；
（3） 本题考查用样本估计总体：用样本中成绩不低于 90 分的百分比，估计总体中对应人数，再求和。
22．2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售
售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半．
（1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润．
【答案】（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于掌握一次函数的基本性质。
（1）利润的计算公式为：售价减去进价，根据此关系可建立相应的函数表达式。
（2）解题时需要先确定自变量的取值范围：由于最多只能对600千克羽衣甘蓝进行加工处理，因此可以得出。在此基础上，利用一次函数的性质求出最优解。
（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
23．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数。
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 100 120 100 100 160 230 240
（1）把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接写出这个样本的中位数、众数和平均数。分析表中数据还可得到一些信息，如双休日的参观人数远远高于平时等，请你再写出两条相关信息。
（2）如图所示为该历史景点的门票价格。若“十一”假期期间有甲、乙两个旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数据的中位数，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W元，甲团的人数为x人。
①求W关于x的函数表达式。
②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元。
【答案】（1）解：中位数是120；众数是100；平均数是150人。相关信息：双休日的参观人数之和与平时参观人数之和相差110；有三天的参观人数相等
（2）解：由题意得0<120-x≤50，解得70≤x<120。
①W关于x的函数表达式：
W=6x+8(120-x)，即 W=-2x+960(70≤x≤100)；
或W=4x+8(120-x)，即 W=-4x+960(100②两团合起来购票是120×4=480(元)，
当甲团有70人，乙团有50人时，此时节约的最多，节约了70×6+50×8-480=340(元)
【知识点】统计表；平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）把人数排列为100，100，100，120，160，230，240，居于中间的数据为120，故中位数为120；
在这组数据中100出现3次，次数最多，故众数为100；
平均数为(100+120+100+100+160+230+240)÷7=150人，
故答案为：120；100；150；
【分析】（1）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义解答，然后根据表中数据写出相关信息即可；
（2）①分为两种情况，根据门票价格乘以旅游团人数列函数关系式；
②根据中位数求出甲团最多人数，然后代入计算即可.
24．【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 ﹣2 a 2 …
（1）a＝　 　；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【拓展应用】
若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系：　 　；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集：　 　．
【答案】（1）0
（2）解：如图：
当x<2时，y随着x的增大而减小
（3）m+n=4
（4）x<1或x>5
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当x=3时，y=2|3-2|-2=0
∴a=0
故答案为：0
（3）由图象可得，y＝2|x﹣2|﹣2的图象关于直线x=2对称
∵点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上
∴点A，B关于x=2对称
∴m+n=4
故答案为：m+n=4
（4）如图，作出y=x-1的图象
由图象可得，不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集为x<1或x>5
故答案为：x<1或x>5
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据函数图象可得y＝2|x﹣2|﹣2的图象关于直线x=2对称，则点A，B关于x=2对称，结合对称性质即可求出答案.
（4）作出y=x-1的图象，当y＝2|x﹣2|﹣2的图象在y=x-1的图象上方时，有2|x﹣2|﹣2＞x﹣1，结合函数图象即可求出答案.
25．如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数．
（2）如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形ABCD的边长是，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∴
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用正方形性质得AB=BC，∠BAC=∠ABD=45°，由轴对称性质得BF=BC=AB，从而由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAF=67.5°，最后根据角的构成，由∠CAF=∠BAF-∠BAC可算出答案；
（2）DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：延长BE交CF于G，由轴对称的性质可得，，进而由二直线平行，内错角相等得，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BCG=∠CDF，从而利用“AAS”证△BCG≌△CDF，由全等三角形的对应边相等得CG=FD，从而即可得出结论；
（3）作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD交AC于O；不妨设正方形ABCD的边长是2，由正方形的性质得BD⊥AC，∠ACB=45°，OB=OD=BD，利用勾股定理及等腰直角三角形性质算出BD；由轴对称的性质得，，，，由三角形面积公式及等底等高三角形面积相等推出BG=OB，又由平角定义推出∠HFB=45°，则△BHF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质可求出BH，进而再利用勾股定理算出DH，利用线段构成求出DF，最后再利用三角形面积公式分别表示出S1与S2，即可求出S1与S2的比值.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形的边长是，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先求点 C 坐标：已知 A (-2，0)，AC=6，C 在 x 轴正半轴，所以从 A 往右数 6 个单位，横坐标就是 - 2+6=4，纵坐标是 0，所以 C (4，0)。再求直线 BC 解析式：已知 B (0，4) 和 C (4，0)，用待定系数法，把两点代入 y=kx+b，算出 k=-1，b=4，所以解析式是 y=-x+4。
（2）先算出△ABO 的面积，然后利用 “同底等高的三角形面积相等” 来做。
第一步，先求直线 AB 的解析式，把 A、B 坐标代进去，得到 y=2x+4。
第二步，△ABG 和△ABO 面积相等，说明点 G 到直线 AB 的距离，等于点 O 到直线 AB 的距离。
分两种情况：① G 在线段 BC 上：过 O 作和 AB 平行的直线（斜率相同），和 BC 的交点就是 G。联立两条直线方程，算出交点坐标（ ，)。
② G 在 CB 延长线上：因为距离相等，所以 G 和 G' 关于 B 对称，算出 G' 的坐标 (-，)。
（3）先求直线 AG 的解析式，把 A (-2，0) 和 G (，) 代进去，得到 y= x +。
然后分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为边，CN 为边：过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 的坐标，再根据平行四边形对边相等，BM=CN，算出 N 的坐标 (7，0)。
② BC 为对角线，CN 为边：同样过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，算出 N 的坐标 (1，0)。
③ BC 为边，CN 为对角线：过 M 作 x 轴垂线，证明三角形全等，得到 M 的坐标，再算出 N 的坐标 (-11，0)。
最后汇总所有情况，得到 N 的三个坐标。
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，将代入，
∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）由和，同理得直线解析式为，
①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
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