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湘潭大学附属实验学校2025年创新人才实验班自主招生考试
数学试题
亲爱的同学，欢迎你参加湘潭大学附属实验学校自主招生考试，为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话：
1、试卷分试题卷和答题卷两部分，满分为 120 分，考试时间为 120 分钟.
2、请在答题卡上写好姓名、初中毕业学校.
3、选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹.
4、非选择题部分请按题号用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效.
5、所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上.
6、请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.祝你成功！
一、单选题(每个小题只有一个答案是正确的，每小题 4分，共32 分.)
1.在右图中，根据尺规作图的痕迹判断点C表示的数为( )
A. B.
C. D.
2.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球(除元素符号外无其他差别)，从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“C”的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知a、b、c为△ABC的三边,且满足 则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.设a、b为 的两个实数根，则
A. 2024 B. - 2024 C. 2025 D. - 2025
5.如右图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点E为AD的中点,连接CE交对角线BD于点F,则CF=( )
A. B. C. D.
6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元 设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为( )
A.
B. C. D.
7.定义一种新运算:当a>b时,a*b= ab+b;当a0,则x的取值范围是( )
A. - 1C. - 21 D. x<-2或x>2
8.一次技能比赛中(满分100分)，A，B，C，D，E五人的成绩都大于90分，且互不相同(均为整数)，A成绩第一名;E成绩96分,排第三名;A,B,C平均分为95分;B,C,D平均分为94分.则D成绩为( )分.
A. 97 B. 95 C. 94 D. 93
二、多选题(每个小题有2个或者3个答案是正确的，每小题 6分，共18分.每个小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)
9.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图(四次参加体育模拟测试的学生人数不变)，下列四个结论中正确的是( )
A.10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人
B.9月体育测试中学生的不及格率为18%
C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数逐渐增长
D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
10.某学校用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间t(h)成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如右图所示.当空气中的含药量低于0.25mg/m 时对身体无害.则下列选项正确的是( )
A.药物释放过程中，y与t的函数表达式是
B.药物的释放过程需要2h
C.从开始消毒，6h后空气中的含药量低于0.
D.空气中含药量不低于0.25mg/m 的时长为6h
11.如右图,四边形ABCD为菱形,BF∥AC,DF交AC的延长线于点E,交BF于点F,且CE:AC=1:2.则下列结论正确的有( )
A.△ABE≌△ADE B.∠CBE=∠CDF
C.DE=FE
三、填空题(每小题 4分，共12 分.)
12.如右图所示，两个半径相等的半圆按放置，半圆O'的圆心落在半圆O的圆弧上，半圆O'的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为1，则阴影部分的面积是 .
13.如右图所示，图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成,A,B,C为顶点,则tan∠BAC的值为 .
14.任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1(结果为1时停止计算)，每一次计算称为一次变换.根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为 .
四、解答题(每本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.)
15. (10分)右图中正五边形ABCDE内接于⊙O中,连结AC,AD,CE,CE交AD于点F.
(1)求证:AE=AF；
(2)求证：F点为AD的黄金分割点.
16. (10分)[阅读材料]:因式分解:
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式
再将“A”还原，原式
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
[问题解决]：(1)因式分解： ；
(2)证明：若n为正整数，则代数式 的值一定是某个整数的平方.
17.(12分)如右图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线 的对称轴是 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点 B.
(1)求二次函数 的表达式；
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
18.(12分)[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法.对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)x.类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数(1111)x中，右起第一位上的1表示 第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15.
[问题解决]：
(1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为 个.(用十进制数表示)
(2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，(黑色代表1，白色代表0).其中第一行代表二进制的数字(11000) ，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20.
(i)图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是 ，转化成十进制后可知他的考场号是 ；(直接写出答案.)
(ii)若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形.请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整.
19. (14分)[问题提出]:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,求 的最小值.
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则 又∠PCD=∠BCP,所以△PCD∽△BCP.所以
所以 所以
请你完成余下的思考，并直接写出答案：
的最小值为 .
(2)在[问题提出]的条件不变的前提下，求 的最小值.(请在图①备用图中画出相应的辅助线，并写清理由和计算过程.)
(3)拓展延伸:如图②,已知在扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是弧CD上一点,求2PA+PB的最小值.(请在在图②中画出相应的辅助线，并写清理由和计算过程.)

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