资源简介

数学
（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1.下列各数中，比-2小的数是（ ）
A. B. C. D.
2.我国“天问二号”探测器成功发射，将对小行星进行伴飞探测．已知该小行星距地球最远距离约为46000000千米，将46000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.由7个大小相同的正方体拼成的几何体如下，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A.-6 B.6 C. D.
6.某智能仓库共有5个储物箱，编号分别为1，2，3，4，5，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.定义：若一个三角形的三个内角的度数是正整数，且满足最大角是最小角的两倍，则称这个三角形为“二倍角三角形”．在中，三个内角的度数是正整数，给出以下命题：
①若，则一定是“二倍角三角形”；
②若且，则一定是“二倍角三角形”；
③若最大角与最小角的差为40°，则一定是“二倍角三角形”；
④若三个内角的比为，则一定是“二倍角三角形”．
其中是真命题的是（ ）
A.①④ B.②④ C.①③④ D.②③④
9.平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为-1，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论：
①；②将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度可得到新的二次函数图象；③平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；④平移后的二次函数图象与y轴的交点纵坐标为19．其中结论正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图，在矩形中，，，点E为中点，点F在边上运动（包括C，D两个端点），连接，将绕点E逆时针旋转得到，则以下四个结论错误的是（ ）
A.的最小值为3 B.的最大值为
C.若与相交于点G，则的最小值为 D.的最小值为
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.因式分解：___________．
12.有一正六边形的内切圆半径为R，则R与这个正六边形的外接圆半径之比为___________．
13.如图，，，则的长为___________．
14.在量子计算科普活动中，某兴趣小组设计了如下数字游戏：对正整数n，反复将当前数的各位数字求和作为新数，直到得到一个一位数为止，称该一位数为n的“量子态”，记为，例如：，，则，，，，则．若两个正整数x，y满足，则称x与y“量子纠缠”．
（1）___________；
（2）下列说法中，正确的有___________（写出所有正确结论的序号）：
①对任意正整数n，若n是9的倍数，则；
②若，，则；
③若x是两位数，且，则所有这样的两位数x共有5个；
④若，且y是三位数，满足，则与x“量子纠缠”的y共有11个．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.先化简，再求值：，其中．
16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，．
（1）利用无刻度直尺作出中边的中线；
（2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.【情境】2026年，某校新建校园文化广场，广场中央矗立着一座主题雕塑．数学兴趣小组的同学利用周末时间，用测角仪和皮尺对雕塑高度进行测量．
【数据】
●观测点B，C距地面的高度均为1.62米，
●观测点B距雕塑底座中心的距离为8.88米，，
●观测点C在B的正后方，
●在B处测得雕塑顶端的仰角为，
●在C处测得雕塑顶端的仰角为，
（参考数据：，，，，，．）
根据已知数据计算雕塑的高度及观测点B与C的距离（精确到0.1米）．
18.某工厂用合肥本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现：
加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：，
加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：，
（1）若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式；
（2）如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.某市为了解中学生使用辅助学习工具的情况，从全市随机抽取100名中学生进行抽样调查，统计他们每周使用工具的时长（单位：小时），得到如下频数分布表和扇形统计图：
组别 A B C D E
使用时长（小时）
频数（人） 18 28 15 7
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）_________；
（2）在扇形统计图中，求D组对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果全市有15000名中学生，估计每周使用工具3小时及以上的学生有多少人？
20.如图，在等腰中，，为的中线，D为边上一点，以为直径作交于点E，与相切于点G．
（1）求证：；
（2）若，的半径为，求的长．
六、（本题满分12分）
21.某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计．
机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式．
【项目启动·基础探究】
机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有n个机器人．
（1）当时，这个方阵共有机器人 ① 个；
（2）用含n的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 ② 个；
【项目深入·规律探究】
第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有n个机器人，中间留出一个空心区域．
（3）当空心区域为，且时，空心方阵的机器人总数为 ③ 个；
（4）当空心区域为，且时，用含n的代数式表示空心方阵机器人总数为 ④ 个；
【项目拓展·实际应用】
学校共有150个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求：
（i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列），
（ii）最外层每边机器人数不少于12个且不超过20个，
（5）满足条件的方阵方案共有 ⑤ 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 ⑥ 个机器人．
请根据项目要求完成以下问题：
①_________，②________，③________，④________，⑤________，⑥________．
七、（本题满分12分）
22.已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）已知点在该抛物线上．
（i）若，求a的值；
（ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标．
八、（本题满分14分）
23.如图1，正方形中，E，F分别是射线，上的点（点E不与点A，B重合），，垂足为点P，与交于点O，与交于点M，与交于点N．
（1）求证：；
（2）若，
（i）如图2，当点E为中点时，求的值；
（ii）当，求的值．
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D A C D B B C
10.C
解析：如图1，过点作交AD于点H，则（AAS），所以为定值，则点的运动轨迹为一条与AB垂直且到AD的距离为1的直线．如图2，设这条直线与AB相交于点K，则的最小值为，选项A正确；如图3，当点F与点C重合时，取到最大值为，选项B正确；如图3，若与AB相交于点G，则当点F与点C重合时，AG取到最小值，此时，则，所以AG的最小值为，选项C错误；如图4，作点C关于轨迹直线的对称点，，最小值为，选项D正确．故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 12. 13.10
14.（1）1；（2分） （2）①②④．（3分）
解析：（1）根据“量子态”的定义当时，有，，∴；
（2）对任意正整数n，若n是9的倍数，则，因为9的倍数的各位数字之和也是9的倍数，反复求和最终会得到9，故①正确；若，，则，根据性质，∵，∴，故②正确；∵，∴x的各位数字和为5或14，数字和为5的两位数：14，23，32，41，50；数字和为14的两位数：59，68，77，86，95，共10个，故③错误；∵，x与y“量子纠缠”，∴，∵，设，即，∴或16，当时，，此时的组合为，，，，，，，共7个，当时，，此时的组合为，，，共4个，∴总计个，故④正确．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解：原式，
当，原式．
16.解：（1）如图所示，中线AM即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.解：由题可知，米，米，
在Rt△AOB中，（米），
在Rt△AOC中，，则（米），
（米），
（米），
答：雕塑的高度约为9.6米，观测点B与C的距离约为4.9米．
18.解：（1）若用x吨钢材加工甲产品，则加工乙产品用吨钢材，
；
（2），
∵，∴当时，W取最大值，
但，所以当时，W取最大值，最大值为60000元，
∴20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.解：（1）32；
（2）D组频数为15人，占总人数的比例为，
扇形统计图中，D组对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人），
∴估计每周使用AI工具3小时及以上的学生有7500人．
20.解：（1）∵△ABC为等腰三角形且，AF为△ABC的中线，∴AF⊥BC，
∵AF与⊙O相切于点G，∴AG⊥GO，
∴GO∥BC；
（2）∵，∴可设，则，
∵⊙O的半径为，由GO∥BC得△AGO∽△AFC，
则，即，则，
在Rt△AGO中，，即，解得，
∴．
六、（本题满分12分）
21.解：①64；②；③80；④；⑤5；⑥144；
七、（本题满分12分）
22.解：（1）当时，抛物线，
当，则，解得或，
所以，；
（2）（ⅰ）已知点在该抛物线上，∴，
若，则，解得或；
（ⅱ）当时，抛物线，点，顶点，
，
点在对称轴上，设抛物线的顶点为P，△PMQ是等腰三角形，分三种情况讨论：
情形一：，
，，
，；
情形二：，
，
，，，
∴或，
当时，，
当时，，与顶点P重合，舍去；
情形三：，
，即，
解得，此时；
综上所述，满足条件的点Q共有4个，，，．
八、（本题满分14分）
23.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，AC⊥BD，
∴，，
∵DE⊥AF，∴，
∵，∴，
在△NAO和△MDO中，∵，∴△NAO≌△MDO（ASA），
∴；
（2）（ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，AB∥CD，
∴△AEM∽△CDM，∴，
∵点E为AB中点，∴，，
∴，
∵，∴，，
∵AF⊥DE，∴，
∴，
即，解得，
在Rt△AEP中，，即，解得，
∵，∴，
∴；
（ⅱ）如图1，当点E在线段AB上（不与点A，B重合）时，
∵，∴，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，，，
∴，，，
∵AF⊥DE，∴，∴△DOM∽△DPN，
∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，不存在，则这种情况舍去；
当点E在线段AB的延长线上时，
∵，∴，
∵△DPN∽△DOM，∴，
∴，∴，
∵，，∴△DPA∽△DAE，
∴，即，∴，
∴，，
∵△AME∽△CMD，∴，即，
又∵，∴，
∴，
∴，
综上所述，．

展开更多......

收起↑