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2026 年初中学业水平考试数学学科模拟卷答案
一、单选题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1.D．2. C3. D4. C5. A6. B
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7. 2 m 4 m 4 8. 5 9. 35 10.2025 11. 8 12. ( 14,6)或( 8,14)或( 7,7)
三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13. 计算
(1) 3 1 1
1
解：
9 3
3 1 3
3
1 3
2；
2 1 2 x
(2)解：
x2

2x 1 x2 1 x 1
2
2 (x 1)(x 1)
2x

(x 1) x 1
2x 2 2x

x 1 x 1
2
．
x 1
14. 证明：四边形 ABCD是菱形，
∴CB CD，
∵ BE CD于点 E，DF BC于点 F，
BEC DFC 90 ，
∵ C C ，
∴△BEC≌△DFC AAS ，
∴ EC FC，
∴CD EC BC FC，
∴BF DE．
15.
解：如答图①，点 E1，E2 即为所求．
解：如答图②，点 F 即为所求．
16.
17.（1）解：∵过 A点作 x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为 4．
1
∴ k 4
2
∴ k 8，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴ k 8；
y 8∴ ；
x
∵ A 2,a ，△AOC的面积为 4．
1
∴ 2 a 4
2
解得 a 4，
即 A 2,4 ，
把 B b, 1 8 8代入 y ，得 1 ，
x b
解得b 8，
∴ B 8, 1 ；
把 A 2,4 和 B 8, 1 代入 y mx n，
4 2m n
得
1 8m n
1
m
解得 2
n 3
1
∴ y x 3；
2
（2）解：连接OB，如图所示：
由（1）得 A 2,4 ，B 8, 1 y 1， x 3，
2
令 y 0, 0
1
则 x 3，
2
解得 x 6，
则D 6,0
∴OD 6，
则 AOB的面积 S SAOD BOD
1 1
4 6 6 1
2 2
12 3
15；
k
（3）结合图象当mx n 0时 x的取值范围为 x 2或0 x 8，
x
18.
19.（1）
（2）
20.（1）证明：连接 OE、OD，如图，
∵AC 是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点 E是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中
OA OD

1 2

OE OE ,
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD 为⊙O 的半径，
∴DE 为⊙O的切线；
（2）∵⊙O 半径为 1，
∴AB＝2，
∵∠BAC＝90°，BC＝4，
2 2 2 2
∴∠C＝30°，AC＝ BC AB 4 2 2 3，
∴∠B＝60°，
∴∠AOD＝2∠B＝120°，
又∵点 E 是 AC 的中点，
1
∴AE＝ 2 AC＝ 3，
1 120 π 12 π
∴图中阴影部分的面积＝2S ﹣S ＝2× 2 × 3AOE AOD ×1﹣ 360 ＝ 3﹣ 3△ 扇形 ．
21.（1）解：∵乙款软件的分数在 B 等级的百分比为8 20 40％，
∴m％ 1 10％ 30％ 40％ 20％，
∴m 20；
A等级人数： 20％ 20 4，B等级人数：8 人，C 等级人数：30％ 20 6，D等级人数
10％ 20 2．
乙款软件的分数在 B等级的数据为 88，87，85，85，84，84，84，82，
a 84 84所以中位数是第 10，11 个都是84，故中位数为它们的平均数，即 84；
2
甲款软件评分最多的是 80 分，所以众数是b 80；
（2）解：乙款软件评分的中位数高，所以大多数人喜欢乙款软件，所以乙款软件的用户满
意度较高；
4
（3）解： 300 10％ 200 80，
20
所以此次评分中 A等级的用户数一共有 80 人．
22.(1)解：∵点M 的坐标为（2，0），若点 P的坐标为（4，0），根据旋转的性质得，
P M 2,, 2 ∴点 关于点 的正垂旋点坐标是 ；
如图所示，令点 I 为点 P关于点M 旋转60 的正旋点，过点 I 作 IJ x轴于点 J，
∴ MPI 为等边三角形，
MJ 1 MP 1 4 2 1
∴ 2 2 ，
∴OJ OM MJ 2 1 3，
JI MI 2 MJ 2 4 2 2 12 3
由勾股定理得 ，
3, 3
∴点 P 关于点M 旋转60 的正旋点坐标是 ；
(2)解：①如图 1 所示，假设点C关于点 B的“正垂旋点”为点D，过点D作DE x轴于
点 E，
∴ ABD BED AOB 90 ，
∴ ABO D 90 DBE，
∴ ABO∽ BDE，
DE BE

∴ OB OA，
当 x 0时， y 3，
A 0,3
∴ ，
∴OA 3；
当 y 0时，0 3x 3，
解得 x 1，
B 1,0
∴ ，
∴OB 1；
∵D点的横坐标为 6，
∴OE 6，
∴ BE OE OB 6 1 5，
DE 5

∴ 1 3，
∵点C是直线 y 3x 3上一动点，
1 5 2
∴点C的横坐标为 3 3，
x 2
将 3代入 y 3x 3得，
y 3 2

3 5
3 ，
2
, 5

∴点C

的坐标为 3 ；
②如图所示，作CM x轴于点M ，EN x轴于点 N ，
∴ CMB CBE BNE 90 ， BE BC，
∴ BCM EBN 90 MBC，
BCM≌ EBN AAS
∴ ，
∴ BN CM ,EN MB，
C a, 3a 3 M a,0 设点 的坐标是 ，则 ，
∴ EN MB 1 a， BN CM 3a 3，
E 3a 4,1 a ∴ 的坐标为 ，
y 2
∵反比例函数 x 的图象恰好经过点 E，
3a 4 1 a 2
∴ ，
2
∴3a 7a 2 0，
a 2, a 11 2
解得： 3．
1
, 2


∴C的坐标为 3 或 2, 3 ；
③如图 3，过点 B作 BE AB，且 BE AB，连接 AE交抛物线于 P，过点 E作EF x轴
于点 F ，则 BFE ABE AOB 90 ，
∴ ABO BAO ABO EBF 90 ，
∴ BAO EBF ，
ABO≌ BEF AAS
∴ ，
∴OA BF 3,OB EF 1，
∴OF OB BF 1 3 4，
E 4,1
∴ ，
4k b 1
AE y kx b E 4,1 , A 0, 3
b 3
设直线 的解析式为 ，将 代入得： ，
1
k 2

b 3

解得： ，
y 1 x 3
∴直线 AE的解析式为 2 ，
1
y x 3 2

y x2 2x 3

联立解析式得 ，

x
5
2 2
x1 0
y 7y 3 2
解得： 1 （舍去）， 4，
5 7
,
∴点 P的坐标为 2 4 ．
5 2 2AP 7 5 0



3 5
∵ AB 3
2 12 10， 2 4 4 ，
∴ AB AP，
∴点 B不是点 P关于点 A的 45 的“正旋点”．
23.(1)CF BC；证明如下：
∵ EBF∽ ABC，
EB BF

∴ AB BC ， ABC EBF ，
∴ ABC EBC EBF EBC，
∴ ABE CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴ BAE BCF，
在矩形 ABCD中， BAE 90 ，
∴ BCF 90 ，
∴CF BC．
(2)由题意可得CF AB 2．
由（1）得△ABE∽△CBF，
AE AB

∴ CF BC ，
AE 1

即 2 2
解得 AE 1；
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AD∥BC， ABC 90 ，
Rt ABC AC AB2 BC 2 22 42在 △ 中， 2 5 ，
∵ AD∥BC，
∴ EAG ACB，
∴△AEG∽△CBG，
AE AG

∴ BC CG ，
AG 1

即 CG 4，
∴CG 4AG，
∵ AC AG CG 5AG 2 5，
AG 2 5
故 5 ．
tan∠BAC BC 4 2
(3)在Rt△ABC中， AB 2 ，
又∵ EBF∽ ABC，
∴ BEF BAC，∴ tan∠BEF 2．
分两种情况讨论．
情况一：当 BH EH 时， BEH HBE ，如图①，
∵ AD∥BC，
∴ AEB HBE ，
故 AEB BEF ，
∴ tan AEB tan BEF 2，
tan AEB AB 2
在Rt△ABE中， AE ，
2
2
即 AE
解得 AE 1；
情况二：当 BH BE时， BEH BHE ，
过点 H 作HK AD交于点K，过点 B作 BL EH 交于点 L，如图②，
则四边形 ABHK 是矩形，BE BH， EL HL，
∴HK AB 2， AK BH ，
∵ AD∥BC，
∴ DEH BHE，
故 DEH BEH ，
∴ tan∠DEH tan∠BEH 2；
tan DEH KH∠ 2
在Rt△EHK中， EK ，
2
2
即 EK
解得 EK 1；
Rt EHK EH EK 2 HK 2在 △ 中， 1
2 22 5，
EL HL 1 EH 5
2 2 ．
∵ BHE BEH ，
tan BHE BL∠ 2
∴ HL ，
BL
2
5
即 2 ，
解得 BL 5；
2
2 2 2 5 BH BL HL 5 5 2 2
在Rt△BLH 中， ，
AK BH 5
即 2，
AE AK EK 5 3 1
∴ 2 2．
3
综上所述， AE的长为1或 2 ．3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2026 年初中学业水平模拟考试 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
3 3 数学 答题卡 15. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.(1)
姓 名
学 校
条形码粘贴
准考证号
(2)
考生 缺考考生，由监考老师贴条形码，
3 禁填 并用2B铅笔填涂左边缺考标记。
1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、准考证号填写清楚，并认真核准条
填 注 形码上的考生信息。正确填涂
2.客观题必须使用2B铅笔填涂；主观题必须使用黑色字迹签字笔书写，要求 16.(1)
涂 意
字体工整、笔迹清晰。
错误填涂
样 事 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 (3)
例 √ × ● 项 效；在试题卷、草稿纸上答题无效。
√ 4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D (2)
3
4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D (4)
3
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 8.
9. 10.
19.
11. 12.
17.(1)
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1） （2）
(2)
14.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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20.（1） 22.（1） 六、解答题（本大题共12分）
（2）① 23.（1）
②
（2）
（2）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.（1）（右图）
③
(2)
（3）
(3)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2026 年初中学业水平考试数学学科模拟卷 12．吉州窑烧制技艺是国家级非物质文化遗产，本觉寺岭龙窑遗址作为现存罕见的宋代长条龙窑，与古
一、单选题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 朴矗立的本觉寺塔相映成趣，共同见证千年窑火传承。某研学小组在遗址区开展实践活动，如图所示，
1．下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） 以遗址中心广场为坐标原点 O建立平面直角坐标系，测得代表本觉寺塔的点 A 在 x轴上，代表本觉寺岭
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1 42 龙窑遗址的点 B在 y轴上，两点所在观景路线 AB 的表达式为 y x 8。若遗址第二象限内有一处研
2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 3
0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ） 学打卡点 P，使得 PAB 为等腰直角三角形，则打卡点 P 的坐标为 .
A. 3.4 10 8 B. 3.4 10 9 C. 3.4 10 10 D. 3.4 10 11
3. 下列调查中，最适合抽样调查的是 （ ）
A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩
C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量
4. 如图 1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图 2，是它的几何示意图，
下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
图 1 图 2
A. B. C. D. 图
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心 O的光线相交于点 P，点 F 13． 计算
为焦点．若 1 159 ， 2 22 ，则 3的度数为（ ） 1 11 3 1
2 1 2 x
A. 43 B. 45 C. 51 D. 53 （ ）计算： ． （2）化简： ．9 3 x2 2x 1 x2 1 x 1
6. 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图，图像过点 1,0 ，对称轴为直线 x 2，下列结
论：① 4a b 0；②9a c 3b；③b2 4ac 0；④当 x 1时， y的值随 x值的增大而增大；⑤
当函数值 y 0时，自变量 x的取值范围是 x 1或 x 5．其中正确的结论有（ ） 14. 如图，在菱形 ABCD中， BE CD于点 E，DF BC于点 F．求证：BF DE．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第 5题图 第 6 题图 15. 图①、图②均是6 6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点． O经过 A， B，C三个格点，只用无刻度的直尺，在给定
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7. 的网格中按要求画图．分解因式： 2m2 32 ________．
（1）在图①中的圆上找一点 E，使得OE平分 AC；
8. 在平面直角坐标系中，若点 A 1,n 与点 B m, 4 关于 y轴对称，则m n ______． （2）在图②中的圆上找一点 F ，使得CF平分 ACB．
9. 如图， AD、CE分别是 ABC的中线和角平分线．若 AB AC ， CAD 20 ，则 ACE的度
数是______．
10. 若方程 x2 x 2026 0的两个根是 a和b，则 a2 b 2a的值为______． 16．2026 年新年伊始，首届江西省城市篮球联赛（赣 BA）火热开赛，吸引了全省大批篮球爱好者的关
11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图 1）．把洛书用今天的数学符号翻译
注。其中吉安队主场赛区，共进行 5 场比赛，对手依次为：抚州队、景德镇队、鹰潭队、九江队、新
出来，就是一个三阶幻方（如图 2），将 9个数填在3 3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、
余队.
每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图 3的方格中填写了一
（1）开赛前，学校球迷小贤准备随机抽取 1 场吉安队主场的比赛观看，他恰好抽到对手为景德镇队的
些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 nm ______． 概率为多少；
（2）在即将进行的第三轮比赛开始前，吉安队主教练已经确定了 3名首发上场队员，剔除伤病队员，
只有甲、乙、丙、丁四名队员可以上场，现欲从这 4人中抽取 2人参赛，用列表法或树状图求抽到甲、
丙两名队员的概率.
第 9 题图 第 11
（九年级数学 第 1页，共 4页） （九年级数学 第 2页，共 4页）
17．如图所示，一次函数 y mx n m 0 k 65，60．的图象与反比例函数 y k 0 的图象交于第二、四象限的
x 乙款软件的分数在 B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82．
点 A 2,a 和点 B b, 1 ，过 A点作 x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为 4． 甲、乙两款 AI软件评分统计表
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； 甲款软件 乙款软件
(2)求 AOB的面积．
平均数 81 81
中位数 80 a
众数 b 84
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 根据以上信息，解答下列问题：
18 a m．某学校为落实立德树人，传承井冈山精神，厚植青少年家国情怀，组织入学新生开展“我的井冈行” (1)直接写出上述图表中 ，b， 的值；
红色研学活动，需要租赁客车。现有两家租赁公司可供选择：A公司：每辆车限载 45人，租金每辆每 (2)根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）；
天 900元，另收一次性调度费 300元（不分车辆数）。B公司：每辆车限载 30人，租金按实际乘车人数 (3)若此次评分中有 300名用户对甲款软件打分，有 200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中 A
计算，每人每天 25元，无其他费用。 等级的用户数一共有多少？
设某日参加专线游的游客总人数为 x人，x是 45和 30的公倍数，且 120≤x≤270。
（1）分别写出选择 A、B 两公司所需总费用 yA、yB与人数 x之间的函数关系式。
（2）若该日游客人数为 180 人，通过计算说明选择哪家公司更省钱。 22． 定义：对于平面直角坐标系中的点M 和点 P，若将点 P绕点M 顺时针旋转 0 180 后
（3）当游客人数 x 在什么范围内时，选择 A公司比选择 B公司更划算？（结果用不等式表示，不必 得到对应点Q，则称对应点Q为点 P关于M 旋转 的“正旋点”，特别的，当 90 时，点Q为点 P
取整） 关于点M 的“正垂旋点”．
（4）文旅集团计划将每日租车费用控制在 4500元以内。若选择 A公司，最多能接待多少名游客？（结
果取整数）
19.2026年春晚的机器人表演令人印象深刻，这些高科技的机器人，其一举一动都蕴含着精确的数学计
算，如图，机器人分开两脚站立，两脚间距 CD=60cm，上半身 AB⊥地面 MN，且 AB=40cm。机器人 （1）已知点M 的坐标为（2，0），若点 P的坐标为（4，0），点 P 关于点M 的正垂旋点坐标是_________；
两腿与地面的夹角分别为 60°、45°，(1) 求 A点到地面的距离（结果保留整数）(2) 若机器人手臂从 点 P关于点M 旋转60 的正旋点坐标是_________；
A点伸出，手臂长 40cm，手臂末端 E到地面MN的垂直距离为 112.64cm，求 （2）直线 y 3x 3的图象与 y轴交于点 A，与 x轴交于点 B．
手臂与竖直方向的夹角.（参考数据： 3≈ 1.732， 2 ≈ 1.414，cos30°≈ ①如图 1，点C是该直线上一动点，若点C关于点 B的“正垂旋点”横坐标为 6，此时点C的坐标为
0.866，tan30°≈0.577，cos40°≈0.766） _________；
2
②如图 2，若该直线上动点C关于点 B 的“正垂旋点”为点 E，反比例函数 y 的图象恰好经过点 E，
x
请你求出此时点C的坐标；
20.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为 A，BC交⊙O于点 D，点 E是 AC的中点．
2
（1）求证：直线 DE是⊙O的切线； O③如图 3，小明发现在第一象限的抛物线 y x 2x 3的图象上存在一点 P，连接 PA，当∠PAB=45
（2）若⊙O半径为 1，BC＝4，求图中阴影部分的面积．
时，请你判断点 B是否为点 P关于点 A旋转 45 的“正旋点”，并说明理由．
六、（本大题共 12 分）
23．综合与探究【问题情境】如图，在矩形 ABCD中， AB 2，BC 4，点 E是 AD边上的一动点，
五（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21．近年来 AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙 连接 BE ，以 BE 为直角边在其右侧作Rt△EBF，使△ ∽△ ，其中 AC与 BE 交于点G，
两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取 20名用户的评分（满分 100 EF 与 BC交于点 H ，连接CF．
分，评分为不小于 60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评 【猜想证明】（1）判断CF与 BC的位置关系，并加以证明；
分用 x表示，共分成四个等级：（A．90 x 100，B．80 x 90，C． 70 x 80，D． 60 x 70）下面 【深入探究】（2）当 AB CF时，求线段 AG的长；
给出了部分信息： （3）当△BEH是以 BH 为腰的等腰三角形时，请直接写出 AE的长.
甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，
（九年级数学 第 3页，共 4页） （九年级数学 第 4页，共 4页）

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