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二○二六年初中学业水平模拟考试
数学试题
试卷说明：
本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．下列四个选项中，无理数的是
A．-1 B． C．0 D．3
2．小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
3．下列运算结果为的是
A． B、 C． D．
4．如图所示的几何体的主视图是
A． B．
C． D．
5．用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的度数为
A．5° B． C．25° D．35°
6．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数，则下列一定不变的是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．一元二次方程的两根之和为，两根之积为，则点在平面直角坐标系中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为
A．12 B．14 C．16 D．18
10．下表记录了二次函数中两个变量与的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是
… -3 1 5 …
… m 3 m …
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为__________．
12．已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简__________．
13．已知是方程的解，则的值是__________．
14．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕原点按顺时针方向旋转，所得直线的解析式为__________．
15．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是__________．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分10分）（1）解不等式组；
（2）计算．
17．（本题满分10分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有__________人，条形统计图中的值__________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________．
（2）若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为__________人．
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
18．（本题满分10分）某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比函数关系．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度．
（1）求耗电量（度/小时）与速度（米/秒）的函数关系式；
（2）为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）．
19．（本题满分10分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门与东门之间的距离．如图，无人机从西门处垂直上升至处，在处测得东门的俯角为，然后沿方向飞行60米到达处，在处测得西门的俯角为．求校园西门与东门之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
20．（本题满分12分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个纪念品和一个纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）．
（1）分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本；
（2）求当为何值时，每天的利润最大．
21．（本题满分12分）已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点．
（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
22．（本题满分13分）问题情境：如图1，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
23．（本题满分13分）平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
（1）若轴，求抛物线的对称轴；
（2）点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．
①求的取值范围；
②若，点，在抛物线上，当时，都有，求的值．二 0 二六年初中学业水平模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 4分，共 40分）
1---10 BACAB BACBB
二、 填空题（每小题 4分，共 20分）
-5 1 4 211. 7.4×10 12. a 13.-1 14. y x 15. 2 1
3 3
三、解答题（共 90分）
16.（本题满分 10分）
2x 1 x 1①
解：（1）
x 8 4x 1②
解不等式①得： x 2
解不等式②得： x 3
所以原不等式组的解集为 x 2；……………………………………（5分）
3 a 3 a 3 a 3
（2）原式
a 3 a 6
a 6 a 3 a 3

a 3 a 6
a 3 ……………………………………（10分）
17.（本题满分 10分）
（1）解：80，16，90 ；……………………………………（6分）
（2）解：50人；……………………………………（8分）
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有 12种，恰好抽到 2名男生的结果有 2种，
试卷第 1页，共 6页
2 1
∴恰好抽到 2名男生的概率为 ．
12 6
……………………………………（10分）
18.（本题满分 10分）
k
（1）解：设函数关系式为 E ，
v
k
代入 v 10， E 2得， 2 ，
10
解得 k 20，
20
∴耗电量 E（度/小时）与速度 v（米/秒）的函数关系式为E ；
v
……………………………………（5分）
15 15
（2）解：∵ 1E ，0 5
15
∴ 4E ，0
15
解得 E0 ，4
20
由（1）得，E0 v ，0
15 20
代入 E
15
0 ，得 ，4 4 v0
16
解得 v0 ，3
16
∴调整后的速度 v0为 米/秒．……………………………………（10分）3
19．（本题满分 10分）
解：由题意，得： CAB ACD 90 , ABC 30 ，CD 60米，
在Rt△ACD中， AC CD tan 63.4 120米；……………………………………（5分）
在Rt△ABC
AC
中， AB 120 3 207.6米；
tan 30
答：校园西门 A与东门 B之间的距离为 207.6米……………………………………（10分）
20.（本题满分 12分）
（1）解：设每个 A纪念品成本 x元，每个 B纪念品的成本 y元，
2x 3y 155
由题意得： ，
4x y 135
试卷第 2页，共 6页
x 25
解得：
y 35
，
答：每个 A纪念品成本 25元，每个 B纪念品的成本 35元；
……………………………………（6分）
2 W a 25 35 80 10 72 a 10a2（ ）解：由题意得， 1400a 48000，
1400
∵ 10 0，对称轴为直线 a 702 10 ，65 a 72且 a为整数，
∴当 a 70时，W取最大值，
答：当 a 70时，每天的利润 W最大．……………………………………（12分）
21.（本题满分 12分）
（1）解：连接OC．
AB与 O相切于点C，
OC AB．又OA OB，
OC平分 AOB．
∴ COB
1
AOB．
2
AOB 80 ，
COB 40 ．
在 O中， CED
1
COD，
2
CED 20 ． ……………………………………（6分）
（2）由（1）知： CED 20 ．
EC∥OA，
EFG AOB 80 ．
EFG为 DEF的一个外角，
EDF EFG FED 60 ．
试卷第 3页，共 6页
由题意，DG为 O的直径，
GED 90 ．
又 O的半径为 3，则： DG 6．
ED EG
在Rt GED中， cos EDG ,sin EDG ，
DG DG
ED 6cos60 3,EG 6sin 60 3 3．……………………………………（12分）
22.（本题满分 13分）
（1）解：四边形 BDB E是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得 BD B D,BE B E， B DE BDE，
∵ B D BC，
∴ B DE BED，
∴ BDE BED，
∴ BD BE，
∴ BE BD B D B E，
∴四边形 BDB E是菱形；……………………………………（5分）
（2）证明：①DE A E，理由如下：
由（1）知四边形BDB E是菱形，
∴ BD B E B D，
由折叠的性质得到 AD A D，
∵ AD 2BD，
∴ A D 2BD 2B D 2B E，
∴ B D A B B E，
∴ 1 2, 3 4，
∵ 1 2 3 4 180 ，
∴ 2 3 90 ，
∴DE A E； ……………………………………（9分）
165
② A F的长为5或 ．……………………………………（13分）
37
试卷第 4页，共 6页
23. （本题满分 13分 ）
（1）解：∵ AB∥x轴，
∴ B(6, y0)的纵坐标与 A相同，即 y0 1，
∴点 A 0, 1 ，点 B 6, 1 是关于抛物线的对称轴的对称，
0 6
∴抛物线的对称轴为直线 x 3……………………………………（3分）
2
（2）解：①∵抛物线 y ax 2 x c经过点 A 0, 1 ，
∴ c 1，
∴函数解析式为 y ax2 x 1，
1 2 1
∴ y a(x ) ( 1)，
2a 4a
1
∴对称轴为 x ，
2a
I．当 a 0 时，开口向上，抛物线在 A、B之间的部分图象位于对称轴右侧， y随 x增大而
增大，
最低点出现在端点 x 0时， y 1，如图：
故当 a 0时，都有 n 1．……………………………………（6分）
II．当 a 0时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点 x 0或 x 6，如图：
试卷第 5页，共 6页
1
∴当 x 6时， y 1，即：36a 5 1，解得： a ，
6
1
综上， a 的取值范围为 a 0 或 a 0 ．……………………………………（8分）
6
②当 a 0时，开口向下，点 D(t, y1) 和 E(3t 2, y2 ) 在抛物线上，当1 t 2时，都有 y1 y2，
1 1
∴ t 3t 2 ，
2a 2a
∴ a
1
，
4t 2
1
当 t 1时， a ，
6
当 t 2
1
时， a ，
10
1
由①得 a 0 ．
6
a 1∴ 时，当1 t 2时，都有 y1 y2 ．6
综上所述：当1 t 2时，都有 y y a
1
1 2， ．……………………………………（13分）6
试卷第 6页，共 6页
试卷第 7页，共 1页

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