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2026年初中学业水平模拟自测（二）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5 DADCB
6-10 BCACD
二、填空题
1.112-4+4=0等13.2,4)14.)15店-1
2
三、解容题
16.(本题8分)
解.)+-5-2
=2W2+2-2+V2
…2分
=3W2
…4分
a(2-2x++
=6-
…6分
=-旷高
=x2-x
…7分
,=2
原式=22-2=4-2=2
…8分
17.(本咫9分)
解：(1)
服羚品种花生朵致颗数直方留
瓢数
500
500
400
300
210
200
190
…2分
100
80
20
4
5
数（拉）
样本容量为
500
=1000
50%
5粒对应扇形圆心角的度数为：
80
×360=28.8
1000
…4分
(2)样本容量为1000
'.将这组数据由小到大排列后处于第500和501的数均为3
∴.中位数a=3
…6分
m=500+190+80
100%=77%
…7分
1000
(3)新增育品种与本地主栽品种的统计量相比，中位数、众数、方差均相回，但新增育品种的平
均数和丰产果案均大于本地主栽品种，因此新培育品种优于本地主栽品种。…9分
18.（本愿7分)
(1)证明：，AB=AC
.∠ABC=∠C
…l分
,∠A=36°
.∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-36°=144°
∴.∠ABC=∠C=72°
由作图知，BP平分∠ABC,
∴.∠DBC=-∠ABC=36°
2
4444中0华**44*中4*004*0年00…2分
.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°
.∠BDC=∠C
∴.BD=BC
∴△BCD为黄金三角形…4分
(2)解：，∠A=36°，AB=AC
'.△ABC为黄金三角形
:.C=5-】
AC 2
5分
'AC=4
BC=5-4C=5-1x4=2N5-2
2
2
…(分
△BCD为黄金三角形
:DC_-1
BC 2
∴Dc=5-lBc=5-lx2w5-2=6-25
*4…7分
2
2
除以上方法外，还可以用三角形相似求解
19.(本题8分)
解：(1)根据题遂，得251(y-30)=(350-25)(100-y)
整理，得y=100-51
∴y关于1的函数表达式为y=100-51
4****4*…5分
(2)根据题意，得35≤100-51≤45
400ttt40t0ttt4006分
解得，11≤1≤13九年级数学试题
注意事项：
1．本试题满分120分，考试时间为120分钟；
2．首卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；
3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙薰齐都赋鞠、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2，如图，数轴上表示的点可能是
A．M B．N C．P D．Q
3、下列运算中，结果正确的是
A． B． C． D．
4．某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为
A． B． C． D．
5．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的1400000倍，则太阳的体积用科学记数法表示为
A．立方千米 B．立方千米
C．立方千米 D．立方千米
6．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，小亮和小莹同时经过该路口，恰好有一人直行，另一人左拐的概率是
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，延长和交于点，延长和交于点，已知，，则的度数为
A．39° B．40° C．51° D．78°
8．《九章算术》中有一个关于“粟、米、麦”的问题，大意是：4斗粟等价兑换2斗米，5斗粟加2斗麦总价为54；3斗米加4斗麦总价为42．设每斗粟价格为，每斗麦价格为，则可列方程组为
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，动直线轴，与直线和反比例函数的图象分别交于，两点，下列结论正确的是
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点，水平向前为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数刻画，其中（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为1米时，脚掌距离地面的高度为1.2米．下列说法正确的是
A．机器人此次跳远的成绩为2米
B．机器人脚掌离起跳点的水平距离大于1.2米时，脚掌距离地面的高度越来越低
C．若在起跳点前方1.5米处有一高1.3米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物
D．机器人脚掌距离地面的高度为0.8米时，脚掌离起跳点的水平距离为0.5米或2米
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果）
11．若分式的值为0，则的值为__________．
12．写出有一个根为2的一元二次方程__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，轴，，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则的坐标为__________．
14．观察以下等式，
，
，
，
，
已知，则__________．
15．如图，在矩形中，，，点为矩形内一动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本题9分）花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下：
【收集数据】
从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为1粒、2粒、3粒、4粒、5粒共5组．在花生栽培与育种中，果仁数为3粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率=丰产果数÷花生果总数．
【整理与描述】
根据数据绘制了如下不完整的统计图表：
新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表
品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率
新培育品种 3.1 3 0.79
本地主栽品种 2.9 3 3 0.79 75%
【分析数据】
（1）将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为5粒时对应的扇形圆心角的度数；
（2）求出，的值；
（3）如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？
18．（本题7分）阅读以下材料，并解答后面的问题．
黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于．
如图1，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．
（1）求证：为黄金三角形；
（2）若，求的长．（结果保留根号）
19．（本题8分）某种直饮机的示意图如图所示，小亮从该直饮机中先接一部分温水再接一部分开水，共．已知开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，接水期间不计热损失．
设小亮接温水所用的时间为，接完水后杯子中水的温度为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若要使水杯中水的温度达到日常饮水适宜温度（35°C≤日常饮水适宜温度≤45°C），求的取值范围．
20．（本题9分）某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题．
【相关资料】
①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为．
②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为．
【光伏铺设】
施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架，．
（1）求后支架的高度；
（2）为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值．
（结果精确到，参考数值：，，，，，，
21．（本题10分）如图，的顶点在上，边与交于点，边与相切于点，为的直径交于点．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求阴影部分的面积．（结果保留）
22．（本题12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，且函数的最小值为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直线与该二次函数图象交于不同的两点，，记，求的取值范围；
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，平移后的函数的最大值与最小值的差为3，请求出的值．
23．（本题12分）如图，点，分别是正方形的边和上的动点，连接，，且．过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为了探究矩形的面积与矩形的面积之间的关系，数学兴趣小组进行了如下探索：
【特例感知】
（1）如图1，当，时，将绕点顺时针旋转得到，证得__________．在中用勾股定理可求得正方形的边长，进而求出，，，的值，则__________，__________．
【一般探究】
（2）当，时，借助图2探究与之间的关系，并说明理由．
【探究推广】
（3）如图3，若点，分别在线段，的延长线上，其它条件均不变，探究与之间的关系，并说明理由．

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