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2026 年 05 月 09 日李洪蕾的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A A B A D D
二．填空题（共 5 小题）
11．x≤3 且 x≠0．
12．45°．
13．2026．
14．6．
15．①②③．
三．解答题（共 8 小题）
16．【解答】解：（1）原式= 4 + 4 + 1 + 2 3
= 3 3； -----------------------------------------5 分
2 +1 1
（2）原式= 1 ( 1)2 +1
= 2 1 1 1
= 1 1． -------------------------------------------------10 分
17．【解答】解：（1）50，--------------------------------------1分
C；-------------------------------------2 分
5
（2）E 组优秀率为50 × 100% = 10%，
所以这 200 名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 200×10%＝20 （人），------------------------6 分
（3）由成绩统计表得跳绳个数在 161～190 的选手共有 50 5 8 23＝4 人，依次记为 A1，A2，A3，
A4，画树状图如下：
第 1页（共 10页）
-----------------------------------------9 分
由树状图可知：共有 12 种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手 A1，A2的有两种，
A A 2 1∴恰好抽到选手 1， 2的概率为 = 12 = 6． --------------------------------------10 分
18．【解答】解：（1）在 Rt△ACD 中，∠ADC＝75°，CD＝0.9m，
∵ ∠ = = 0.9 ≈ 3.7，
∴AC≈3.7×0.9≈3.3（m），
答：AC 的长约为 3.3m； --------------------------------------4 分
（2）在 Rt△BCD 中，∠BDC＝35°，

∵ ∠ = = 35° ≈ 0.7，
∴BC≈0.7CD，
在 Rt△ACD 中，∠ADC＝75°，
∠ = ∵ ≈ 3.7，
∴AC≈3.7CD，
∴AB＝AC BC≈（3.7 0.7）CD＝1.8m，
解得 CD≈0.6m，
答：遮阳篷 CD 的长约为 0.6m． --------------------------------------------10 分
19．【解答】解：（1）由题意，设租用大型客车每辆 x 元，租用小型客车每辆 y 元，
9 + 6 = 6150
∴ 8 + 12 = 7800，
∴x＝450，y＝350．
答：租用大型客车每辆 450 元，租用小型客车每辆 350 元；---------------------4 分
（2）由题意，∵大型 a 辆，则小型（25 a）辆，
（25 ） ≥ 5
∴
≤ 2（25 ）
50
∴15≤a≤ 3 ，
第 2页（共 10页）
又∵a 为整数，
∴a＝15 或 16．------------------------------------6 分
又∵W＝450a+350（25 a）＝100a+8750，且 k＝100＞0，--------------------------------8 分
∴W 随 a 增大而增大，
∴当 a＝15 时费用最少，此时大型客车为 15 辆，小型客车：25 15＝10（辆）．--------------9 分
∴最少费用：W＝100×15+8750＝10250（元）．----------------------------------10 分
20．【解答】解：（1）一次函数 y1＝ax+b 与反比例函数的图象交于点 A（1，6），B（n， 2），
∴m＝1×6＝ 2n，
∴m＝6，n＝ 3，
∴反比例函数的表达式为 y2= 6 ，B（ 3， 2），-----------------------------2 分
把点 A，点 B 的坐标分别代入 y1＝ax+b 得：
+ = 6
3 + = 2，
解得 = 2 = 4，
∴一次函数的表达式为 y＝2x+4；----------------------------4 分
（2）①若 P 在线段 AB 上，如图 1，过 B 点作平行于 x 轴的直线 BM，过 P 点作 PM⊥BM 垂直于直
线 BM 于 M点，过 A 点作 AN 垂直于直线 BM 于 N 点．
设 P（a，2a+4），
∵PM∥AN，
∴△PBM∽△ABN，
第 3页（共 10页）

∴ = ，
∵AP＝2BP，
1
∴ = = 3，
1 2 +6
∴3 = 8 ，
a= 5解得 3，
2
∴P 5点的坐标为（ 3，3）； ---------------------------------8 分
②当点 P 在 B 点的下方时，如图 2，过 B 点作平行于 x 轴的直线 BE，过 A 点作 AE 垂直于直线 BE 于
E 点，过 P点作 PF 垂直于 AE 的延长线于 F点．
设 P（a，2a+4），
∵BE∥PF，
∴△ABG∽△APF，

∴ = ，
∵AP＝2BP，
1
∴ = = 2，
4 1
∴1 = 2，
第 4页（共 10页）
解得：a＝ 7（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴P点的坐标为（ 7， 10）．
5 2
综上所述，P点的坐标为（ 3，3）或（ 7， 10）；------------------------------12 分
21．【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠BAC＝∠ODA，
∵∠BOD＝∠BAC+∠ODA，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∵∠ABC＝2∠BAD，
∴∠ABC＝∠DOE，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠E，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠E+∠EOD＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；---------------------------------------6 分
5
（2）解：∵ = 6，
∴设 OF＝5k，FB＝6k，
∴AO＝OD＝OB＝11k，
∵∠BOD＝∠ABC，
第 5页（共 10页）
∴OD∥BC，
∴△OFD∽△BFC，

∴ = ，
11 5
∴ = 6，
66
∴ = 5 k，
∵∠ABC＝∠EOD，∠CAB＝∠DEO，
∴△ABC∽△EOD，

∴ = ，
66
22
∴ = 5

11 +4 11 ，
k= 6∴ 11，
96
∴AF＝22k 6k＝16k= 11．-----------------------------------12 分
22．【解答】解：（1）该抛物线顶点 P的坐标为（1， 5）；-----------------------------------2 分
（2）①如图 1，过 M 点作 MN⊥x轴于点 N，过 P点作 PE⊥x轴于点 E．
∵2a+b＝0，
∴b＝ 2a，
∴y＝ax2 2ax+c，抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∵MN⊥ON，PE⊥ON，OM＝OP，
∴∠MNO＝∠OEP＝90°，∠OMN+∠MON＝90°，∠MON+EOP＝90°，
∴∠OMN＝∠POE，
在△MON 和△OPE 中，
第 6页（共 10页）
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△MON≌△OPE（AAS），
∴MN＝OE，ON＝PE，
∵M（2，m），
∴MN＝OE＝m，ON＝PE＝2，
∴P点坐标为（m， 2），
∴P点坐标为（1， 2），
∴M点坐标为（2，1），
将 P（1， 2），M（2，1）代入 y＝ax2 2ax+c，得：
2 + = 2，
，
4 4 + = 1，
= 3，
解得： ，
= 1，
∴c的值为 1；-----------------------------------------7 分
②由①知 b＝ 2a，抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0），
∴抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x 3）＝ax2 2ax 3a，
∴C 点坐标为（0， 3a），顶点 P 坐标为（1， 4a），
∵a＞0，
∴ 3a＜0， 4a＜0，OC＝3a，
如图 2，过点 P 作直线 PG 与直线 x＝1 成 30°角，与抛物线的交点为 G，交 y 轴于点 H，过点 D 作
DQ⊥PG，垂足为 Q．
第 7页（共 10页）
在 Rt△PDQ 中， = 30° = 12 ，
当 C，D，Q 三点共线，且 CQ⊥PG 时，2DC+DP 取得最小值，
过点 C 作 CF∥PG 交 x 轴于 F，
∴∠OCF＝30°，
又∵2 + = (1 + 3)，
∴2( + 12 ) = 1 + 3，即 + = =
1+ 3
2 ，
在 Rt△CHQ 中，∠CHQ＝∠DPQ＝30°，
∴ = 2 = 2 × (1+ 32 ) = 1 + 3，即| | = 1 + 3，
3
在 Rt△OCF 中， ∠ = ，即 3 = 3 ，
∴ = 3 ，即 F点坐标为( 3 ，0)，
则直线 CF 的解析式为 = 3 3 ，
∵PG∥CF，
∴设直线 PG 的解析式为 = 3 + ，
把 P（1， 4a）代入得： 4 = 3 + ，
解得： = 4 3，
∴直线 PG 的解析式为 = 3 4 3，
∴ = 4 + 3，
又∵OC＝3a，a＞0，
∴H 点在 C 点下方，
第 8页（共 10页）
∴ = = 4 + 3 3 = + 3，
∴1 + 3 = + 3，
∴a的值为 1． ----------------------------------------13 分
23．【解答】解：（1）∵AC 绕点 C 顺时针旋转 30°得到线段 CD，
∴CD＝AC＝BC，∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
180° ∠
∴∠ = ∠ = 2 = 75°，
∴∠ADB＝∠CDA﹣∠BDC＝30°；--------------------------------3 分
（2） = + 2；
证明：如图 2，过 C 作 CG⊥CF 交 BF 于点 G，则∠ACE+∠ACG＝90°，
∵∠ACG+∠BCG＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCG，
由（1）得 CD＝AC，
∵E 是 AD 的中点，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠BCG，
∵CD＝AC＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD，
在△CDF 和△CBG 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△CDF≌△CBG（ASA），
∴DF＝BG，CF＝CG，
∴ = 2，
第 9页（共 10页）
∴ = + = + 2； -------------------------------------------------8 分

（3 △ ） 的值为 3 1．------------------------------------------------13 分△
第 10页（共 10页）九年级数学试题
2026年5月
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．风车纹 C．柿蒂纹 D．冰裂纹
2．在下列四个数中，其中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产x个零件，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（ ）
A．7 B．14 C．10 D．12
7．如图，在，，，，为上一点，，动点，分别在边和射线上（点不与点，重合），，令，的面积为，则关于的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．3.5
9．如图，以为直径画半圆，点为半圆的中点，连接，，点在弦上，，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：
①一次函数是“2型闭函数”；
②若一次函数是“1型闭函数”，则；
③反比例函数且是“k型闭函数”，且，则；
④二次函数是“k型闭函数”．则的取值范围是．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
12．如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心的光线相交于点（，，共线）．若，，则的度数为________．
13．设，为一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
14．如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上的两点，点的横坐标为3，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，，则的值为________．
15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________．
三．大题（本大题共8小题，共90分）
16．计算：
（1）计算：；
（2）．
17．【项目背景】
为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（表示成绩，单位：米）进行整理．
组：；组：；组：；组：；组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190
人数 5 8 23 a
【数据分析与应用】
（1）任务一：掷实心球的女生有________人；掷实心球的女生成绩的中位数落在________组；
（2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数；
（3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，，，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手，的概率．
18．数学课题小组对住房窗户“如何设计遮阳篷”进行了以下探究：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面，表示窗户．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长；
（2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．
（结果精确到0.1 m）（参考数据：，，，，，）
19．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元．
（1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？
（2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标；
21．如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点F，若，，求的长．
22．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；
（2）若．
①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；
②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．
23．如图，在中，．
（1）如图1，若，将绕点C顺时针旋转30°得到线段，连接，，求的度数；
（2）如图2，若，将绕点C顺时针旋转（0°＜＜90°）得到线段，连接，，点E是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，将绕点C旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点M，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值．

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