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广东省东莞市嘉荣外语学校2024-2025学年高二港澳台、华侨联考班下学期期末考试数学试题
一、单选题（共60分）
1．已知集合，则集合中的子集个数为（　　）
A．18 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，则，
所以集合中的子集个数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意求出集合，再求交集即可．
2．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】由复数的乘方及除法运算求解．
3．已知，且，则的最小值是（　　）
A．6 B．12 C． D．27
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和“1”的妙用以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值．
4．下列命题正确的是（　　）
A．命题“，”的否定为“，”
B．命题“，”的否定为“，”
C．“”是的充要条件“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因为命题“，”的否定为“，”，
故选项A、选项B错误；
对于C，取，满足，又因为，故选项C错误；
对于D，因为，所以，
则，
反之，，满足，
又因为无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，则判断出选项A和选项B；利用充分条件和必要条件的判断方法，则判断出选项C和选项D，从而找出真命题的选项.
5．已知，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
则，
因为函数在上单调递增，
则当时，即当时，取得最小值.
故答案为：D.
【分析】先换元，再利用对勾函数的单调性求出的最小值.
6．已知函数 则在处的切线方程为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：
令，则，，
所以在处的切线方程为，
即.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可．
7．函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
令，解得，
则的单调递减区间为．
故答案为：C．
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解单调递减区间即可．
8．三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（　　）
A．10 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列，
可得不同的站法有种.
故答案为：B.
【分析】根据分别计算原理，先排教师，再排学生，结合排列数的计算公式即可．
9．展开式的常数项为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意得，二项展开式的通项为，，
令，则.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理求常数项即可．
10．若，则（　　）
A．1 B． C．129 D．
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令，可得，
令，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和赋值法作差，从而得出的值.
11．若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，用插空法，
事件表示“丙、丁相邻，甲、乙不相邻”，
将丙丁捆绑，形成一个大元素，与戊进行排序，然后再将甲、乙插入由大元素和戊形成的三个空中的两个，
所以，
对于事件，先将丙、丁、戊三人进行排序，然后将甲、乙插入丙、丁、戊三人形成的四个空中的两个，
所以种，
由条件概率公式可得.
故答案为：A.
【分析】设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，再根据捆绑法和插空法求事件数，再结合条件概率公式计算．
12．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数在定义域上连续且单调递增，
因为函数零点在区间内，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据零点存在定理，结合函数单调性可知，再代入求解即可．
二、填空题（共30分）
13．已知集合，，则　 　
【答案】
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
由，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】由分式不等式求解方法得出集合A，再利用绝对值不等式求解方法得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
14．已知随机变量服从正态分布且，则　 　.
【答案】0.25
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：已知，因此，
根据对称性可得：.
故答案为：0.25.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可．
15．若直线是曲线的切线，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：，求导可得，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，则切点坐标为，
因为切点在曲线上，所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】求导，由题意可得，求得，将代入切线方程求得切点坐标，再将切点代入曲线求a的值即可.
16．若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式在区间上有解
设，由在均为减函数
可知在单调递减
所以，即
故答案为：
【分析】利用参变分离得，结合函数单调性即可求解．
17．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是　 　.
【答案】0.72
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件.
已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，.
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件.
因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率；
又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率.
根据全概率公式.
将，，，代入上式可得：
故答案为：.
【分析】利用全概率公式求解即可．
18．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为在上恒成立，所以在上恒成立，
取，所以，显然递增，
则，所以在单调递增，
则，所以.
故答案为：．
【分析】利用已知条件参变分离，再构造新函数，再根据导数得出函数的最值可得出实数a的取值范围．
三、解答题（共60分）
19．已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，且，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，无极小值；
（2）解：当时，，则，
由得，，
设，则，
由，
当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数极值点即可；
（2）由题意得，再配方求的最值即可
（1）当时，，
，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，无极小值；
（2）当时，，则，
由得，，
设，则，
由，
当时，，
所以的取值范围为.
20．已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）解：由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）解：当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题围绕函数展开，分为极值讨论和区间最小值求解两部分：
（1）先求导函数，依据导函数符号与取值的关系，判断函数单调性，进而确定极值情况.
（2）结合（1）中得到的单调性，按与区间的位置关系分类，分析函数在上的单调性，求出对应最小值 .
（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
21．在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球．
（1）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；
（2）现无放回地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率；
（3）若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率．
【答案】（1）解：由题意分析，的可能值为0，1，2，3
所以， ，
， .
分布列为：
X
.
（2）解：记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
“第二次摸出白球”为事件，
则， ，
即第二次摸出白球的概率为：．
（3）解：依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为.
即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 由题意分析，的可能值为0，1，2，3 ，分别求出对应的概率，写出分布列，由二项分布的期望公式求出期望；
(2)求得第一次摸出白球且第二次摸出白球的概率，第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率，由概率的加法公式即可求出 第二次摸出白球的概率；
(3)即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，由独立事件的概率公式求解可得的概率．
22．某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．
（1）从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
（2）从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．
【答案】（1）解：记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，
所以，，
由条件概率公式可得；

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式，求出的值；
（2）由题可知可取、、、，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可．
（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，
所以，，
由条件概率公式可得；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.
1 / 1广东省东莞市嘉荣外语学校2024-2025学年高二港澳台、华侨联考班下学期期末考试数学试题
一、单选题（共60分）
1．已知集合，则集合中的子集个数为（　　）
A．18 B．16 C．32 D．64
2．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的最小值是（　　）
A．6 B．12 C． D．27
4．下列命题正确的是（　　）
A．命题“，”的否定为“，”
B．命题“，”的否定为“，”
C．“”是的充要条件“”
D．“”是“”的充分不必要条件
5．已知，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．已知函数 则在处的切线方程为 （　　）
A． B． C． D．
7．函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
8．三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（　　）
A．10 B．12 C．16 D．24
9．展开式的常数项为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．20
10．若，则（　　）
A．1 B． C．129 D．
11．若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
13．已知集合，，则　 　
14．已知随机变量服从正态分布且，则　 　.
15．若直线是曲线的切线，则　 　.
16．若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是　 　．
17．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是　 　.
18．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（共60分）
19．已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，且，成立，求实数的取值范围.
20．已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）求在上的最小值．
21．在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球．
（1）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；
（2）现无放回地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率；
（3）若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率．
22．某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．
（1）从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
（2）从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，则，
所以集合中的子集个数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意求出集合，再求交集即可．
2．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】由复数的乘方及除法运算求解．
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和“1”的妙用以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值．
4．【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因为命题“，”的否定为“，”，
故选项A、选项B错误；
对于C，取，满足，又因为，故选项C错误；
对于D，因为，所以，
则，
反之，，满足，
又因为无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，则判断出选项A和选项B；利用充分条件和必要条件的判断方法，则判断出选项C和选项D，从而找出真命题的选项.
5．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
则，
因为函数在上单调递增，
则当时，即当时，取得最小值.
故答案为：D.
【分析】先换元，再利用对勾函数的单调性求出的最小值.
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：
令，则，，
所以在处的切线方程为，
即.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可．
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
令，解得，
则的单调递减区间为．
故答案为：C．
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解单调递减区间即可．
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列，
可得不同的站法有种.
故答案为：B.
【分析】根据分别计算原理，先排教师，再排学生，结合排列数的计算公式即可．
9．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意得，二项展开式的通项为，，
令，则.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理求常数项即可．
10．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令，可得，
令，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和赋值法作差，从而得出的值.
11．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，用插空法，
事件表示“丙、丁相邻，甲、乙不相邻”，
将丙丁捆绑，形成一个大元素，与戊进行排序，然后再将甲、乙插入由大元素和戊形成的三个空中的两个，
所以，
对于事件，先将丙、丁、戊三人进行排序，然后将甲、乙插入丙、丁、戊三人形成的四个空中的两个，
所以种，
由条件概率公式可得.
故答案为：A.
【分析】设事件“甲、乙不相邻”，事件“丙、丁相邻”，再根据捆绑法和插空法求事件数，再结合条件概率公式计算．
12．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数在定义域上连续且单调递增，
因为函数零点在区间内，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据零点存在定理，结合函数单调性可知，再代入求解即可．
13．【答案】
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
由，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】由分式不等式求解方法得出集合A，再利用绝对值不等式求解方法得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
14．【答案】0.25
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：已知，因此，
根据对称性可得：.
故答案为：0.25.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可．
15．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：，求导可得，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，则切点坐标为，
因为切点在曲线上，所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】求导，由题意可得，求得，将代入切线方程求得切点坐标，再将切点代入曲线求a的值即可.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式在区间上有解
设，由在均为减函数
可知在单调递减
所以，即
故答案为：
【分析】利用参变分离得，结合函数单调性即可求解．
17．【答案】0.72
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件.
已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，.
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件.
因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率；
又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率.
根据全概率公式.
将，，，代入上式可得：
故答案为：.
【分析】利用全概率公式求解即可．
18．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为在上恒成立，所以在上恒成立，
取，所以，显然递增，
则，所以在单调递增，
则，所以.
故答案为：．
【分析】利用已知条件参变分离，再构造新函数，再根据导数得出函数的最值可得出实数a的取值范围．
19．【答案】（1）解：当时，，
，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，无极小值；
（2）解：当时，，则，
由得，，
设，则，
由，
当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数极值点即可；
（2）由题意得，再配方求的最值即可
（1）当时，，
，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，无极小值；
（2）当时，，则，
由得，，
设，则，
由，
当时，，
所以的取值范围为.
20．【答案】（1）解：由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）解：当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题围绕函数展开，分为极值讨论和区间最小值求解两部分：
（1）先求导函数，依据导函数符号与取值的关系，判断函数单调性，进而确定极值情况.
（2）结合（1）中得到的单调性，按与区间的位置关系分类，分析函数在上的单调性，求出对应最小值 .
（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
21．【答案】（1）解：由题意分析，的可能值为0，1，2，3
所以， ，
， .
分布列为：
X
.
（2）解：记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
“第二次摸出白球”为事件，
则， ，
即第二次摸出白球的概率为：．
（3）解：依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为.
即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 由题意分析，的可能值为0，1，2，3 ，分别求出对应的概率，写出分布列，由二项分布的期望公式求出期望；
(2)求得第一次摸出白球且第二次摸出白球的概率，第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率，由概率的加法公式即可求出 第二次摸出白球的概率；
(3)即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，由独立事件的概率公式求解可得的概率．
22．【答案】（1）解：记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，
所以，，
由条件概率公式可得；

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式，求出的值；
（2）由题可知可取、、、，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可．
（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，
所以，，
由条件概率公式可得；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.
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