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广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知全集，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意，得，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】根据题意结合元素的取值范围和元素与集合的关系，从而求出集合，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，则，
当时，取，则，
所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B，因为，所以，则“”是“”的充要条件，故B错误；
对于C，由，取，则，
由，取，则，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由，取，则，由，取，则，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质、赋值法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
3．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．13 C．22 D．33
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意，则，
所以，这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.
故答案为：D．
【分析】根据题意结合百分位数定义，从而得出这组数据的上四分位数.
4．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为为偶函数，且在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，
又因为，所以，
则．
故答案为：C．
【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性，从而列绝对值不等式求解得出满足的的取值范围.
5．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和棱锥的体积公式、棱柱的体积公式，再结合作差法得出四面体的体积.
6．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，
如图所示：
由图象可知，.
故答案为：B．
【分析】根据题意分别作出函数和的图象，再利用三个函数的图象和函数零点与三个函数图象交点的横坐标的等价关系，从而比较出的大小关系.
7．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，抛物线开口向上，成立；
当时，由，得或，所以，
综上所述，．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出a的取值范围，再利用并集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
8．在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，
且A必然在站点2，3，4中的某一个，
则A在站点2，3，4中的概率都是．
故答案为：B．
【分析】利用A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等结合古典概率公式，从而得出志愿者A被分配到站点4的概率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
对于，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于，因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据已知条件和三角形法则、向量的减法运算、向量共线定理、平面向量基本定理，从而逐项判断找出正确的选项.
10．设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在区间上单调递减
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数，
所以它的一个周期为，故A正确；
令，得，故B错误；
因为，
令，则，
所以的一个零点为，故C正确；
当时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上没有单调性，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用辅助角公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式、余弦型函数的图象对称性、函数零点定义、余弦型函数的单调性判断方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（　　）
A．4是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．
D．方程恰有8不同的实数根
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为是偶函数，所以，
则，
所以，
则的周期，故A正确；
对于B，由选项A，得，则函数的图象关于点对称，故B错误；
对于C，因为的周期，，所以，
当时，，则，
由，令，则；令，则，
所以，故C正确；
对于D，作出函数与函数的图象，如图所示：
所以，曲线与有8个交点，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据偶函数的性质和周期性定义，则判断出选项A；利用选项A和函数图象的对称性，则判断出选项B；利用函数的周期性和赋值法，从而求和判断出选项C；先画出函数与函数的图象，再根据数形结合和两函数交点与方程的根的等价关系，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机事件和互斥，和对立，且，则　 　．
【答案】0.6
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：随机事件和互斥，
则．
又和对立，.
故答案为：0.6．
【分析】利用互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．已知函数若只有一个零点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数只有一个零点，
所以，函数和只有一个交点，
作出与的图象，如图所示：
由图象可知，当只有一个零点时，实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而将问题转化为函数和直线的图象交点个数的问题，再作出函数与直线的图象，数形结合得出实数k的取值范围.
14．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的表面积与体积公式及应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
因为球的体积为，所以，解得，
，
设的外接圆半径为，圆心为，
根据正弦定理，知，则，
，
是球的直径，是AD的中点，
点到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理，得，
则，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
三棱锥体积的最大值．
故答案为：.
【分析】根据几何关系得出点到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，求得面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知的内角、、的对边分别为、、，有余弦定理：
，
，
．
（1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，在中，设，，，
则，
所以，
则．
同理可得，，.
（2）解：由和正弦定理，
得，所以，
由余弦定理，得，
联立方程组，整理得，
所以或（舍去），
则．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，，，根据平面向量的减法法则可得，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而证出结论成立.
（2）由已知条件和正弦定理、余弦定理，从而解出的值，再结合三角形的面积公式可得的面积.
（1）如图，在中，设，，，则，
所以，即．
同理可得，.
（2）由及正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
联立方程组整理，得，所以或（舍去）．
所以．
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面BCDE；
（2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为AB是底面圆的一条直径，点是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
因为底面ABC，所以，
又因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）解：如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM，
因为底面底面DME，即求平面ADE与平面DME的夹角，
又因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
又因为DE平面DME，所以．
因为EM为上底面圆的直径，所以，
又因为平面，
所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，
又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
因为在底面ABC的射影为，
所以，
则，
又因为母线长为，所以，
因为平面平面DME，
所以，
则，
所以，
则平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得平面BCDE，再根据面面垂直判定定理证得平面平面BCDE.
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，再连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角，再解三角形即可.
（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
而底面ABC，所以，
因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
又因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
因为DE平面DME，所以．
又因为EM为上底面圆的直径，所以，
因为平面，所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为在底面ABC的射影为，所以，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面平面DME，所以，
所以，
所以，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
18．已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为函数的两个相异零点，求的最小值．
【答案】（1）解：因为
．
又因为，
所以．
（2）解：由（1）知，，
令，
解得，
所以，函数的单调递减区间为．
（3）解：令，
得，
因为为的两个相异零点，
所以，
①，且，
或，且，
此时；
②因为，
所以
，
则，
综上所述，，
则的最小值为．

【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数求值域的方法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数判断单调性的方法，从而得出正弦型函数的单调递减区间.
（3）根据函数零点个数结合特殊值列式，再根据不等式的基本性质得出的最小值.
（1）
．
因为，所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（3）令，得，
因为为的两个相异零点，所以，
①，且，
或，且，
此时．
②，
，
所以．
综上所述，，即的最小值为．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
1 / 1广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知全集，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（　　）
A． B． C． D．
3．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．13 C．22 D．33
4．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
8．在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　）
A． B．
C． D．
10．设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在区间上单调递减
11．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（　　）
A．4是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．
D．方程恰有8不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机事件和互斥，和对立，且，则　 　．
13．已知函数若只有一个零点，则的取值范围是　 　．
14．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知的内角、、的对边分别为、、，有余弦定理：
，
，
．
（1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
（2）若，，，求的面积．
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面BCDE；
（2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
18．已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为函数的两个相异零点，求的最小值．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意，得，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】根据题意结合元素的取值范围和元素与集合的关系，从而求出集合，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，则，
当时，取，则，
所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B，因为，所以，则“”是“”的充要条件，故B错误；
对于C，由，取，则，
由，取，则，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由，取，则，由，取，则，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质、赋值法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
3．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意，则，
所以，这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.
故答案为：D．
【分析】根据题意结合百分位数定义，从而得出这组数据的上四分位数.
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为为偶函数，且在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，
又因为，所以，
则．
故答案为：C．
【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性，从而列绝对值不等式求解得出满足的的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和棱锥的体积公式、棱柱的体积公式，再结合作差法得出四面体的体积.
6．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，
如图所示：
由图象可知，.
故答案为：B．
【分析】根据题意分别作出函数和的图象，再利用三个函数的图象和函数零点与三个函数图象交点的横坐标的等价关系，从而比较出的大小关系.
7．【答案】A
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，抛物线开口向上，成立；
当时，由，得或，所以，
综上所述，．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出a的取值范围，再利用并集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，
且A必然在站点2，3，4中的某一个，
则A在站点2，3，4中的概率都是．
故答案为：B．
【分析】利用A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等结合古典概率公式，从而得出志愿者A被分配到站点4的概率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
对于，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于，因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据已知条件和三角形法则、向量的减法运算、向量共线定理、平面向量基本定理，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数，
所以它的一个周期为，故A正确；
令，得，故B错误；
因为，
令，则，
所以的一个零点为，故C正确；
当时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上没有单调性，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用辅助角公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式、余弦型函数的图象对称性、函数零点定义、余弦型函数的单调性判断方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为是偶函数，所以，
则，
所以，
则的周期，故A正确；
对于B，由选项A，得，则函数的图象关于点对称，故B错误；
对于C，因为的周期，，所以，
当时，，则，
由，令，则；令，则，
所以，故C正确；
对于D，作出函数与函数的图象，如图所示：
所以，曲线与有8个交点，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据偶函数的性质和周期性定义，则判断出选项A；利用选项A和函数图象的对称性，则判断出选项B；利用函数的周期性和赋值法，从而求和判断出选项C；先画出函数与函数的图象，再根据数形结合和两函数交点与方程的根的等价关系，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】0.6
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：随机事件和互斥，
则．
又和对立，.
故答案为：0.6．
【分析】利用互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数只有一个零点，
所以，函数和只有一个交点，
作出与的图象，如图所示：
由图象可知，当只有一个零点时，实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而将问题转化为函数和直线的图象交点个数的问题，再作出函数与直线的图象，数形结合得出实数k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的表面积与体积公式及应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
因为球的体积为，所以，解得，
，
设的外接圆半径为，圆心为，
根据正弦定理，知，则，
，
是球的直径，是AD的中点，
点到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理，得，
则，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
三棱锥体积的最大值．
故答案为：.
【分析】根据几何关系得出点到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，求得面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式可得.
15．【答案】（1）证明：如图，在中，设，，，
则，
所以，
则．
同理可得，，.
（2）解：由和正弦定理，
得，所以，
由余弦定理，得，
联立方程组，整理得，
所以或（舍去），
则．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，，，根据平面向量的减法法则可得，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而证出结论成立.
（2）由已知条件和正弦定理、余弦定理，从而解出的值，再结合三角形的面积公式可得的面积.
（1）如图，在中，设，，，则，
所以，即．
同理可得，.
（2）由及正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
联立方程组整理，得，所以或（舍去）．
所以．
16．【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．【答案】（1）证明：因为AB是底面圆的一条直径，点是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
因为底面ABC，所以，
又因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）解：如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM，
因为底面底面DME，即求平面ADE与平面DME的夹角，
又因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
又因为DE平面DME，所以．
因为EM为上底面圆的直径，所以，
又因为平面，
所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，
又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
因为在底面ABC的射影为，
所以，
则，
又因为母线长为，所以，
因为平面平面DME，
所以，
则，
所以，
则平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得平面BCDE，再根据面面垂直判定定理证得平面平面BCDE.
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，再连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角，再解三角形即可.
（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
而底面ABC，所以，
因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
又因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
因为DE平面DME，所以．
又因为EM为上底面圆的直径，所以，
因为平面，所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为在底面ABC的射影为，所以，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面平面DME，所以，
所以，
所以，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：因为
．
又因为，
所以．
（2）解：由（1）知，，
令，
解得，
所以，函数的单调递减区间为．
（3）解：令，
得，
因为为的两个相异零点，
所以，
①，且，
或，且，
此时；
②因为，
所以
，
则，
综上所述，，
则的最小值为．

【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数求值域的方法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数判断单调性的方法，从而得出正弦型函数的单调递减区间.
（3）根据函数零点个数结合特殊值列式，再根据不等式的基本性质得出的最小值.
（1）
．
因为，所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（3）令，得，
因为为的两个相异零点，所以，
①，且，
或，且，
此时．
②，
，
所以．
综上所述，，即的最小值为．
19．【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
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