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广东省广州外国语学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，向量，若向量，则实数m=（　　）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2．已知角，则“α为第二象限角”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计．
科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16
市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5
如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（　　）百万辆．
A．4 B．4.14 C．4.36 D．4.58
5．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个
A．8 B．10 C．12 D．16
6．“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗．今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．关于的二项展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式在合并同类项之后共有7项
B．展开式中常数项为15
C．展开式的系数之和为1
D．展开式的最后一项的系数最大
10．下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．点的坐标为
B．的一个可能值是
C．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D．
11．在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．，其中 D．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12．　 　．
13．已知直线与曲线相切，则　 　．
14．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知首项为1的正项数列满足.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）求数列的前项和.
16．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
17．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
18．某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为.
（1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）求；
（3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由.
19．已知椭圆过点，右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B．
（i）证明：．
（ⅱ）求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用向量的坐标运算得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出实数m的值.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：若α是第二象限角，
则，故充分性成立；
若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，
则“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据象限角的三角函数值在各象限的符号，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由和正态曲线的对称轴为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布对应的概率密度曲线的对称性求概率方法结合已知条件，从而得出从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率.
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由表中数据，可得，
则样本中心为，
所以，
则当时，.
故答案为：C.
【分析】利用表中数据和平均数公式，从而求出样本中心点坐标，再代入样本中心点坐标得出的值，从而得出y关于x的经验回归方程，再根据代入，从而估计出当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到的辆数.
5．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若0在个位，则种情况，
若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，
所以，
则总共有个.
故答案为：B.
【分析】根据个位数字是否为0分类讨论，再结合排列数公式、组合数公式和分类加法计数原理，从而得出用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数个数.
6．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：购买的6个粽子种类各不相同的概率为，
购买的6个粽子种类恰有一个相同的概率为，
所以，总概率为．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，分购买的6个粽子种类各不相同和购买的6个粽子种类恰有一个相同，再利用组合数个数和古典概率公式，从而分别得出其概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出购买的6个粽子中至多有一种相同的概率.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图，
由题意，可得，
知P，Q两点关于坐标原点O对称，
所以O为线段PQ的中点，
则，
所以为直角三角形，
由题意，则，
设，
则，
解得或（舍），
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合点与点关于点对称的方法，从而判断出点O为线段PQ的中点，再利用直角三角形定义判断出的形状，再结合正切函数的定义、二倍角的正切公式得出的值，从而得出边长之比，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线C的离心率的值.
8．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，函数的定义域为，
因为导函数为，
又因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
若，则当时，矛盾，
所以，与同号，
则，
所以，
则，
令，
则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为．
故答案为：A.
【分析】利用恒成立结合导数正负判断函数的单调性，则讨论分析得到、的关系式，再化简代入，从而得到的函数，进而构造函数为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确，
对于B，因为的通项为，
所以，常数项为，故B错误，
对于C，令则系数和为，故C正确，
对于D， 因为展开式的最后一项的系数为，
因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据二项展开式的性质得出n的值，则判断出选项A；根据二项式定理得出展开式的通项，从而得出展开式的常数项，则判断出选项B；利用赋值法得出展开式的系数之和，则判断出选项C；再利用展开式的通项得出展开式的最后一项的系数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：因为函数的周期，所以，
因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误；
B：函数过点，所以，
即，解得，
所以当时，，故B正确；
C：由B可知，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数，
因为，所以为奇函数，故C正确；
D：由B可知，
所以
，
而 ，
所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据三角函数周期与图象对称性，计算点A的坐标；B：利用图象上的最高点坐标，代入函数求解φ的值；C：通过平移变换得到新函数，再判断其奇偶性；D：计算 与 的值并比较大小。
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的极限；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：对于A，当时，3次停止，共有种，
其中恰好在第3次摸完的情况：第1次任意摸一个并记录编号，第2次只能摸第1次记了编号的，
第3次摸剩下未记编号的，
则共有种，
所以，故A正确；
对于B，因为，，
则，故B错误；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，随机变量的分布列为：
2 3
则，
所以，
两式相减，可得：，
所以，
当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用古典概率公式和比较法，则判断出选项A、选项B和选项C；根据题意列出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式和错位相减法，从而得出随机变量数学期望，再利用数列求极限的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
13．【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切与点，
则，
因为的导函数为，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，
由已知条件，可得，，
所以，.
故答案为：.
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义得出切线斜率，再利用点斜式方程得出切线方程，再与已知切线方程比较可得的值.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为每次爬行有3种选择，
所以5次爬行共有种情况，
考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况：
①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况；
②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走，
以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个，
蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种，
则三个三角形共有种，
所以，蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为．
故答案为：.
【分析】根据题意，先计算所有情况共有的种数，再利用对立事件计算出没有走遍四个点的情况再利用古典概率和对立事件求概率公式，从而得出蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率.
15．【答案】（1）解：，，
，
则，
解得.
（2）解：由（1）得，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
，
则.
（3）解：，
所以，
则数列的前项和.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数列递推公式以及赋值法，从而得出的值.
（2）由结合等差数列的定义判断出数列是等差数列，从而得出数列的通项公式求解数列的通项公式.
（3）根据题意，把数列的通项变形得出，再利用裂项相消法求和得出数列的前项和.
（1），，
，即，
解得.
（2）有（1）得，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
，则.
（3），
故数列的前项和.
16．【答案】（1）解：记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）解：由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先确定从 8 题中抽 4 题时，答对 3 题或 4 题的组合数，再结合甲能答对 5 题的条件，用古典概型计算进入决赛的概率。
(2) 根据决赛答题规则，确定奖金的可能取值，利用二项分布计算每个取值的概率，再列分布列、求数学期望。
（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
17．【答案】（1）解：当时，，，
则函数的导函数为，
所以，
则函数在处的切线方程为，即．
（2）解：由任意，，知恒成立，
因为，所以，
则在上恒成立，
设，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，且，
若在上恒成立，
则，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用代入法得出的值，再由导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）将已知条件转化为在上恒成立，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）时，，，
函数的导函数为，故，
所以函数在处的切线方程为，即．
（2）由任意，知恒成立．
因为，所以，
故在上恒成立．
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是．
18．【答案】（1）解：由题意可知，该工厂员工第二天坐班车的概率，
所以
则的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以.
（2）解：由题意，可知，
则
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则.
（3）解：由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于，
所以，工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先利用独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而求出某同学第二天选择坐班车的概率，再根据二项分布求概率公式求出对应的概率，从而可得随机变量的分布列，再利用二项分布求数学期望公式可得随机变量X的数学期望.
（2）根据题意先求出与的关系式，再利用构造法和等比数列的定义，则判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式得出.
（3）由（2）和，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，从而确定两停车场安保人数分配.
（1）由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率，
所以
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
；
（2）由题可知，
则
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
（3）由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于，
所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人.
19．【答案】（1）解：由题意，椭圆右焦点，可得，
过点，可得，
由，整理得，
得，
所以，
则椭圆的方程为．
（2）（i）证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
（ii）解：由对称性，不妨设，在第一象限，
由直线与椭圆方程联立，得，
所以，
则．
设直线与倾斜角分别为，
则，
所以，
由(i)可得，，
令，
则，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合右焦点坐标得出c的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而可得椭圆E的方程.
（2）（i）根据椭圆的对称性，设点的坐标为，从而得出点的坐标为，设，利用点差法可得，再由直线的斜率公式可得，再代入可得则根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出.
（ⅱ）由椭圆的对称性，不妨设，则在第一象限，再联立直线方程和曲线方程以及两点距离公式，从而求出，再利用，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
（1）由题意椭圆右焦点可得，
过点可得，
由整理得，得，
所以，椭圆的方程为．
（2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
(ii)解：由对称性不妨设，在第一象限，
由与椭圆联立得，
所以，则．
设直线与倾斜角分别为，则，
所以，
由(i)，，
令，则
，
当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，因此，
即的最大值为．
1 / 1广东省广州外国语学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，向量，若向量，则实数m=（　　）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用向量的坐标运算得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出实数m的值.
2．已知角，则“α为第二象限角”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：若α是第二象限角，
则，故充分性成立；
若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，
则“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据象限角的三角函数值在各象限的符号，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由和正态曲线的对称轴为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布对应的概率密度曲线的对称性求概率方法结合已知条件，从而得出从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率.
4．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计．
科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16
市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5
如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（　　）百万辆．
A．4 B．4.14 C．4.36 D．4.58
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由表中数据，可得，
则样本中心为，
所以，
则当时，.
故答案为：C.
【分析】利用表中数据和平均数公式，从而求出样本中心点坐标，再代入样本中心点坐标得出的值，从而得出y关于x的经验回归方程，再根据代入，从而估计出当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到的辆数.
5．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若0在个位，则种情况，
若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，
所以，
则总共有个.
故答案为：B.
【分析】根据个位数字是否为0分类讨论，再结合排列数公式、组合数公式和分类加法计数原理，从而得出用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数个数.
6．“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗．今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：购买的6个粽子种类各不相同的概率为，
购买的6个粽子种类恰有一个相同的概率为，
所以，总概率为．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，分购买的6个粽子种类各不相同和购买的6个粽子种类恰有一个相同，再利用组合数个数和古典概率公式，从而分别得出其概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出购买的6个粽子中至多有一种相同的概率.
7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图，
由题意，可得，
知P，Q两点关于坐标原点O对称，
所以O为线段PQ的中点，
则，
所以为直角三角形，
由题意，则，
设，
则，
解得或（舍），
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合点与点关于点对称的方法，从而判断出点O为线段PQ的中点，再利用直角三角形定义判断出的形状，再结合正切函数的定义、二倍角的正切公式得出的值，从而得出边长之比，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线C的离心率的值.
8．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，函数的定义域为，
因为导函数为，
又因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
若，则当时，矛盾，
所以，与同号，
则，
所以，
则，
令，
则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为．
故答案为：A.
【分析】利用恒成立结合导数正负判断函数的单调性，则讨论分析得到、的关系式，再化简代入，从而得到的函数，进而构造函数为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．关于的二项展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式在合并同类项之后共有7项
B．展开式中常数项为15
C．展开式的系数之和为1
D．展开式的最后一项的系数最大
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确，
对于B，因为的通项为，
所以，常数项为，故B错误，
对于C，令则系数和为，故C正确，
对于D， 因为展开式的最后一项的系数为，
因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据二项展开式的性质得出n的值，则判断出选项A；根据二项式定理得出展开式的通项，从而得出展开式的常数项，则判断出选项B；利用赋值法得出展开式的系数之和，则判断出选项C；再利用展开式的通项得出展开式的最后一项的系数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（　　）
A．点的坐标为
B．的一个可能值是
C．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D．
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：因为函数的周期，所以，
因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误；
B：函数过点，所以，
即，解得，
所以当时，，故B正确；
C：由B可知，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数，
因为，所以为奇函数，故C正确；
D：由B可知，
所以
，
而 ，
所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据三角函数周期与图象对称性，计算点A的坐标；B：利用图象上的最高点坐标，代入函数求解φ的值；C：通过平移变换得到新函数，再判断其奇偶性；D：计算 与 的值并比较大小。
11．在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．，其中 D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的极限；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：对于A，当时，3次停止，共有种，
其中恰好在第3次摸完的情况：第1次任意摸一个并记录编号，第2次只能摸第1次记了编号的，
第3次摸剩下未记编号的，
则共有种，
所以，故A正确；
对于B，因为，，
则，故B错误；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，随机变量的分布列为：
2 3
则，
所以，
两式相减，可得：，
所以，
当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用古典概率公式和比较法，则判断出选项A、选项B和选项C；根据题意列出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式和错位相减法，从而得出随机变量数学期望，再利用数列求极限的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12．　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
13．已知直线与曲线相切，则　 　．
【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切与点，
则，
因为的导函数为，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，
由已知条件，可得，，
所以，.
故答案为：.
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义得出切线斜率，再利用点斜式方程得出切线方程，再与已知切线方程比较可得的值.
14．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为每次爬行有3种选择，
所以5次爬行共有种情况，
考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况：
①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况；
②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走，
以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个，
蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种，
则三个三角形共有种，
所以，蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为．
故答案为：.
【分析】根据题意，先计算所有情况共有的种数，再利用对立事件计算出没有走遍四个点的情况再利用古典概率和对立事件求概率公式，从而得出蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知首项为1的正项数列满足.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）解：，，
，
则，
解得.
（2）解：由（1）得，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
，
则.
（3）解：，
所以，
则数列的前项和.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数列递推公式以及赋值法，从而得出的值.
（2）由结合等差数列的定义判断出数列是等差数列，从而得出数列的通项公式求解数列的通项公式.
（3）根据题意，把数列的通项变形得出，再利用裂项相消法求和得出数列的前项和.
（1），，
，即，
解得.
（2）有（1）得，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
，则.
（3），
故数列的前项和.
16．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）解：由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先确定从 8 题中抽 4 题时，答对 3 题或 4 题的组合数，再结合甲能答对 5 题的条件，用古典概型计算进入决赛的概率。
(2) 根据决赛答题规则，确定奖金的可能取值，利用二项分布计算每个取值的概率，再列分布列、求数学期望。
（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
17．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，
则函数的导函数为，
所以，
则函数在处的切线方程为，即．
（2）解：由任意，，知恒成立，
因为，所以，
则在上恒成立，
设，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，且，
若在上恒成立，
则，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用代入法得出的值，再由导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）将已知条件转化为在上恒成立，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）时，，，
函数的导函数为，故，
所以函数在处的切线方程为，即．
（2）由任意，知恒成立．
因为，所以，
故在上恒成立．
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是．
18．某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为.
（1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）求；
（3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，该工厂员工第二天坐班车的概率，
所以
则的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以.
（2）解：由题意，可知，
则
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则.
（3）解：由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于，
所以，工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先利用独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而求出某同学第二天选择坐班车的概率，再根据二项分布求概率公式求出对应的概率，从而可得随机变量的分布列，再利用二项分布求数学期望公式可得随机变量X的数学期望.
（2）根据题意先求出与的关系式，再利用构造法和等比数列的定义，则判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式得出.
（3）由（2）和，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，从而确定两停车场安保人数分配.
（1）由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率，
所以
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
；
（2）由题可知，
则
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
（3）由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于，
所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人.
19．已知椭圆过点，右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B．
（i）证明：．
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意，椭圆右焦点，可得，
过点，可得，
由，整理得，
得，
所以，
则椭圆的方程为．
（2）（i）证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
（ii）解：由对称性，不妨设，在第一象限，
由直线与椭圆方程联立，得，
所以，
则．
设直线与倾斜角分别为，
则，
所以，
由(i)可得，，
令，
则，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合右焦点坐标得出c的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而可得椭圆E的方程.
（2）（i）根据椭圆的对称性，设点的坐标为，从而得出点的坐标为，设，利用点差法可得，再由直线的斜率公式可得，再代入可得则根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出.
（ⅱ）由椭圆的对称性，不妨设，则在第一象限，再联立直线方程和曲线方程以及两点距离公式，从而求出，再利用，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
（1）由题意椭圆右焦点可得，
过点可得，
由整理得，得，
所以，椭圆的方程为．
（2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
(ii)解：由对称性不妨设，在第一象限，
由与椭圆联立得，
所以，则．
设直线与倾斜角分别为，则，
所以，
由(i)，，
令，则
，
当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，因此，
即的最大值为．
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