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兰州新区贺阳文化补习学校2025-2026学年度第一学期期中测试
数学参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B C C A D D
题号 11 12
答案 A C
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
13． 14． 且 15．9 16．1
三、解答题（本大题共10小题，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）解：
···················1,2,分
···················3,4分
·····················5分
18．（5分）解：
去分母，得4-x-2=x-1················· ···1分
移项、合并，得-2x=-3····················2分
系数化为1，得 ····················3分
经检验，是原方程的解··················4分
∴ 原分式方程的解是．················· 5分
19．（6分）解：，
解不等式①得：，················· ··2分
解不等式②得：，················· ··4分
原不等式组的解集为：， ··············5分
整数解为3，4． ················· ··6分
20.（6分）解：
················· ··1，2分
················· ··3,4分
， ··········· ······ ···· ··5分
当时，原式．············ ····6分
21．（7分）（1）解：，·······1分
，
， ············ ··········2分
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．··· 3分
（2）解：的两个实数根为，
，，····· ········ ·····4分
············ ········5分
············ ········6分
与的函数关系式为：． ············7分
22．（8分）解：（1）把B（2，－6）代入y2＝得k2=-12，
则反比例函数解析式为，········ ········1分
把A（－4，3）、B（2，－6）代入y1＝k1x＋b得 ，解得 ，
则一次函数解析式为；········ ········3分
（2）在中，当y=0时，x=-2，········ ······4分
∴OC=2， ····················5分
∵A（-4，3），B（2，-6），
∴ =9；········ ······6分
（3）由图可得，当－4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2.···· ······8分
23．（8分）解：（1）设与之间的函数关系式为．···1分
将点、代入，得
，解得，········ ······· ··4分
与之间的函数关系式为．· ······· ·5分
（2）根据题意，得，即， · ······· ···6分
解得， ········ ······· ····7分
最多可购买这种数字化教学设备350套．·· ·······8分
24．（8分）解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42 ···· ······· ····2分
=（3x-y+4）（3x-y-4）； ···· ······· ····4分
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，······ ······· ····5分
∴（a-b）（a-c）=0， ······ ······· ····6分
∴a=b或a=c或a=b=c， ··· ······· ·· ·····7分
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形.·· ·· ·····8分
25．（9分）解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得：····· ·········1分
，解得：． ·············2,3分
答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． ·········· ···4分
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10． ·········· ···5，6分
设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，
则w=3m+2（20-m）=m+40， ·········· ···7分
∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10． ········· ···8分
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． ·········· ···9分
26.解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，由题意得： ····· ······· ····1分
，
解得：（不符合题意，舍去），···· ····2,3分
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； ···4分
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为， ···5分
由题意得：， ···· ····6分
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）， ，···· ····7分
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，
由题意得：， ···· ···· ··8分
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）， ···· ···· ··9分
∴，
答：下调后每个手办的售价为50元． ···· ···· ··10分保密★启用前
兰州新区贺阳文化补习学校2025-2026学年度第一学期期中测试
九年级 数 学 试 卷
注意事项：
1.全卷120分，考试时间120分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在0，，，四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列各式中，运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，每年浪费的食物总量折合粮食约千克，这个数据用科学记数法表示（ ）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
4．若，则-xy-2的算术平方根为（ ）
A．3 B．±2 C．－2 D．2
5．在函数中，自变量的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
6．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，
顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天
A．510 B．511 C．513 D．520
12．已知关于x的不等式组只有5个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
13．分解因式： ．
14．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　　　　　 ．
15．若分式方程无解，则的值为
16．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点
同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，
的面积等于4．
三、解答题（本大题共10小题，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：
19．（6分）解不等式组并写出所有整数解
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝－1．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式；
22．（8分）如图，已知A（－4，n）、B（2，－6）是一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求两函数解析式； （2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：y1＜y2时，自变量x的取值范围．
23．（8分）2025年4月16日上午，教育部举行新闻发布会，发布和解读《关于加快推进教育数字化的意见》，该意见提出要将人工智能技术融入教育教学的全要素过程．某市为了积极响应国家政策，计划为该市各初级中学购买某种数字化教学设备．已知购买这种数字化教学设备的总费用（万元）与购买数量（套）之间的函数关系如图所示，请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)当购买数量不小于100套时，求与之间的函数关系式；
(2)若该市对本次购买这种数字化教学设备的总预算不超过150万元，请你计算最多可购买这种数字化教学设备多少套
24．（8分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
25．（9分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？
26．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为．
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长．
任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价．
《兰州新区贺阳文化补习学校2025-2026学年度第一学期期中考试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B C C A D D
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四个数中，最大的数是，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】、与不可以合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4．D
【分析】根据非负数的代数式的和为零，易得，，进而得，，解出、，然后代入求出-xy-2的值，再求出-xy-2的算术平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴，，
∴，，
解得：，；
把，代入得：
，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式绝对值及平方的非负性的应用，代数式求值，算术平方根的计算的有关问题．
5．B
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义分母不等于，可以求出的范围，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
故选：．
6．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为．
【详解】解：如图，
∵点的坐标为，
∴．　
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴顶点的坐标为．
故选C．
8．A
【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴图象一定过第二、四象限，
∵b=-1，
∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．
9．D
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，
解得：
故选D
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．
10．D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
11．A
【分析】本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可．
【详解】解：（天），
答：孩子自出生后的天数是510天．
故选：A．
12．C
【详解】
解①得
；
解②得
；
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的5个整数解是：1,0,-1,-2,-3,
∴﹣4＜a≤﹣3,
故选C.
13．
【分析】本题主要考查了用公式法进行因式分解．熟练掌握完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
根据完全平方公式进行分解即可求得答案．完全平方公式：．
【详解】．
故答案为：．
14. 且
【分析】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件。掌握二次根式有意义的条件非常关键：即被开方数必须为非负数；而分式有意义的条件则是分母不等于零，这一点在解题时显得尤为重要。
因此，根据这些条件来求解问题即可。
【详解】解: 根据题意可得不等式 以及 。
通过解这两个不等式，我们得到： 并且 。
因此，最终的解答为： 并且
15．9
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解与方程增根的关系是解题的关键．先解分式方程得，再由方程无解可知，解出m即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
移项，得，
合并同类项，得，
∵方程无解，
∴，
∴，
故答案为：9．
16．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设t秒后的面积等于4，
由题意得：，则，
∵，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点从点C到点A的时间为，
∴，不合题意，舍去，
∴1秒后，的面积等于4．
故答案为：1．
17．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
4-x-2=x-1
-2x=-3
经检验，是原方程的解
∴．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．，整数解为3，4
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为3，4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
20．；4
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的运算法则．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，．
（1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解；
（2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：的两个实数根为，
，，
与的函数关系式为：．
22．（1），（2）9（3）当－4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2
【详解】试题分析：（1）把A（-4，n），B（2，-6）分别代入一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝，运用待定系数法分别求其解析式即可；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）根据AB两点的坐标利用数形结合的方法比较y1与y2的大小关系即可．
试题解析：（1）把B（2，－6）代入y2＝得k2=-12， 则反比例函数解析式为，
把A（－4，3）、B（2，－6）代入y1＝k1x＋b得 ，解得 ，
则一次函数解析式为；
（2）在中，当y=0时，x=-2，
∴OC=2，
∵A（-4，3），B（2，-6），
∴ =9；
（3）由图可得，当－4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2.
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，在解答此题时要注意利用数形结合的思想方法．
23．(1)
(2)最多可购买这种数字化教学设备350套
【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，利用待定系数法确定函数解析式及不等式的应用，理解题意是解题关键．
（1）设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式；
（2）根据题意，得，确定不等式求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得
，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）根据题意，得，即，
解得，
最多可购买这种数字化教学设备350套．
24．（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【详解】解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
25（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨．
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40，
∵k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10．
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键．
26．任务一：20%；任务二：；任务三：50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x,根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
答：下调后每个手办的售价为50元．

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