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5月18日
初三数学阶段训练
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．目前已知最小的细胞是支原体，直径只有，已知等于，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
7．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点．若的长为1，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
8．若实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，，动点P从点D出发，沿着向点A运动，同时动点Q从点B出发沿向点C运动，且，若其中一个动点到达终点，则两点同时停止运动．连接，将四边形以直线为对称轴进行翻折，得到四边形，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若点在边上，则
C．若直线经过点A，则线段、互相平分
D．点B、两点间距离最小为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11．据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小：__________
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．
13．如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，则线段的长为__________．
14．定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．（1）已知37是一个“类完全平方数”，则__________；（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值=__________．
三、（本题共16分）
15．已知，求的值．
16．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（仅使用无刻度直尺，并保留作图痕迹）
（1）在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出；
（2）在图2中，在线段上画一个点P，使．
四、（本题共16分）
17．科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，革新技术实现产值三连增，第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的月平均增长率．
18．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
解决下列问题：
（1）写出第4个等式：__________．
（2）如果n为正整数，直接写出用含n的式子表示上述运算规律的猜想．
（3）请证明你的猜想．
五、（本题共20分）
19．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直．
（1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数．
（2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？
（参考数据：，，，．）
20．如图，内接于，，点D在线段的延长线上，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长．
六、解答题（本题共12分）
21．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：
（A：，B：，C：，D：）
下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 a
乙 86 b 87
乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________；
（2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D组对应的圆心角；
（3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数；
（4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率．
七、（本题共12分）
22．如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点A的对应点落在点P处，交于点M．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，求的长．
八．（本题共14分）
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象的对称轴为直线，且过点
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知
①若，该二次函数的最小值为，求n的值；
②若时，有，求m的值．

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