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江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试卷
1．设集合，，则的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．“”是“函数在区间上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
可得到的回归方程为 ，则（　　）
A． B． C． D．
5．从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（　　）
A．48 B．60 C．72 D．100
6．已知，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．5
7．满足，的有序实数组可以是（　　）
A． B． C． D．
8．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
10．设函数，则（　　）
A． B．
C． D．
11．设随机变量，则（　　）
A． B．
C． D．在上单调递增
12．若，则的值为　 　．
13．函数的零点个数为　 　．
14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则　 　，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是　 　．
15．设函数
（1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数；
（2）当时，求表达式的展开式中的常数项．
16．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表：
未患病 患病
未服用 100 90
服用 150 60
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效？
（2）现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物的只数为，求的分布列及数学期望．
附：（其中）．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）解关于的方程；
（3）若函数的图象关于直线对称，求实数的值．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围；
（3）当时，若，求实数的最大值．
19．信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．
（1）抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）求证；．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则的元素个数为2．
故答案为：B．
【分析】先利用指数函数的单调性，从而得出集合B，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合，再根据元素与集合的关系，从而得出集合的元素个数．
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以，命题的否定是.
故答案为：A.
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，从而找出命题p的否定..
3．【答案】C
【知识点】充要条件；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，幂函数单调递增，充分性成立；
因为幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立，
综上所述，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】由幂函数的单调性和充分性、必要性的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依据样本数据描点连线可知，图像为递减且在y轴上的截距大于0，所以a＞0，b0。
故答案为：A
【分析】利用样本数据作出散点图，得知图像为递减且在y轴上的截距大于0，从而推出a，b的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排，
所以，组成无重复数字的三位数的个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和分步乘法计数原理，再利用组合数公式、排列数公式，从而得出可组成无重复数字的三位数的个数.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以，
设，其中，
，
令，解得：，
当时，；当时，，
当时，取到极小值，也是最小值为：.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件将双变量转化为单变量，再结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值，进而得出函数的最小值，即得出的最小值．
7．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：记，则，
因为，所以，则.
对于A，因为我，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据分数指数幂的运算法则化简得，从而逐项判断找出满足，的有序实数组.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：根据题意，接收到0有两种情况，发射0或发射1，
所以，接收到0的概率为.
故答案为：C.
【分析】由题意知接收到0有两种情况，即发射0或发射1，再利用全概率公式和对立事件加法求概率公式，从而得出接收到0的概率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，
因为和为上的增函数，
所以，函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则，
所以，故C正确；
对于D，设，
则，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的基本性质判断出选项A；举反例判断出选项B；根据构造法和函数的单调性，则判断出选项C；利用构造法和导数的正负判断函数单调性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，
令，则，解得，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
因为，
所以，故A正确；
因为，
所以，
又因为，且，
所以，
则，故B正确；
当时，，故C错误；
因为，
当时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较大小，则可判断选项A和选项B；举反例判断出选项C；按照、和分类讨论的符号，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，
所以随机变量的方差为1，均值为0，
又因为正态分布曲线关于轴对称，
所以，故A错误；
对于B，因为，
又因为，
所以，
则，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，且随机变量，
则函数在上是单调增函数，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】由正态分布密度函数图象的对称性和正态分布密度函数图象的对称性求概率的方法，则判断出选项A、选项B和选项C；再结合函数单调性的定义判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】34
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
所以或（舍去），
解得，
所以
．
故答案为：．
【分析】先由组合数的性质得出的值，再由组合数的性质化简得出的值.
13．【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
因为，
所以函数只有一个零点1，
当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点，
则函数的零点个数为2.
故答案为：2.
【分析】当时，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，则函数只有一个零点1，当时，利用导数的正负判断函数在上的单调性，再由零点存在性定理可知函数有一个零点，从而得出函数的零点个数.
14．【答案】6；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；二项分布；条件概率；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：假设为向右的次数，
则服从二项分布，
所以，此时质点对应的数，
则，
假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，
“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，
则两两互斥，
所以，
因为“质点仅在第1秒位于1”，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），
（第六步不受影响），（第五六步不受影响），
则；
因为“质点仅在第3秒位于1” ，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），
则；
因为“质点仅在第5秒位于1” ，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），
所以；
则，
因为，所以，
则在三种情况下， 事件“”的情况有：，，，，所以，
则.
故答案为：6；.
【分析】假设为向右的次数，利用服从二项分布结合二项分布求方差公式，从而得出的值，再根据和的关系可得的值；假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，再根据已知条件可得、的值，再由条件概率可得的值.
15．【答案】（1）解：当时，，
其展开式通项为，
令，得，
所以，展开式中含有项的系数为．
（2）解：当时，，
则的展开式的通项为：，
令，得，
所以，展开式中的常数项为．
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）先利用二项式定理求出展开式的通项，再令得出r的值，再根据代入法得出表达式的展开式中含有项的系数.
（2）先利用二项式定理得出展开式的通项，再令得出r的值，再根据代入法得出表达式的展开式中的常数项.
（1）当时，，
其展开式通项为，
令，得，
所以展开式中含有项的系数为．
（2）当时，，
的展开式通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为．
16．【答案】（1）解：零假设：患病与服用药物无关，即药物无效，
根据列联表，
可得，
当假设成立时，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）解：从参与试验且患病的150只动物中按分层抽样方法随机取出5只，
其中未服用药物的只数为，服用药物的只数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，
则的分布列为：
0 1 2
所以，随机变量的数学期望为．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据列联表结合公式求出后，再对照临界值比较，则根据独立性检验的方法认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）先求出未服用药物的只数为3，服用药物的只数为2，从而得出随机变量的所有可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：患病与服用药物无关，即药物无效．
根据列联表可得．
因为当假设成立时，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）从参与试验且患病的150只动物中按分层抽样方法随机取出5只，
其中未服用药物的只数为，服用药物的只数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为
0 1 2
故随机变量的数学期望为．
17．【答案】（1）解：由，得或，
所以，函数的定义域为．
（2）解：因为在和上单调递增，
又因为在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性，知在和上为增函数，
所以，
则，
记，
结合指数函数的单调性，可知为增函数，
又因为，
所以．
（3）解：由（1）可知，的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，
根据，
得，
则，
所以，
则，
综上所述，．
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据对数型函数的真数大于零，从而列不等式求解得出函数的定义域.
（2）先利用复合函数的单调性法则，即同增异减，从而判断出函数在和上为增函数，再将方程转化为，记，利用函数的单调性和特殊值，从而求解方程得出方程的解.
（3）根据函数的图象的对称性得出的值，再利用函数图象的对称性，从而得出，再化简得出的值.
（1）由得或，所以的定义域为．
（2）因为在和上单调递增，
又在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性知在和上为增函数，
所以，所以，记，
结合指数函数的单调性可知为增函数，又，所以．
（3）由（1）可知，的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
进一步根据，得，
即，
则有，即．
综上所述，．
18．【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为．
（2）解：因为，
所以，
又因为是的极小值点，
所以，
得，
所以，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则是的极小值点；
当时，由，得或，
当时，，
由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点；
当时，，不合题意；
当时，，
由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，不合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
（3）解：当时，，
当时，因为（当且仅当时等号成立），
所以，
则在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，令，
解得，
因为，，
所以，
则，
当时，，
则在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上所述，实数的最大值为2．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a，b的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再按照、、和分类讨论函数的单调性，再结合函数极小值点的概念得出实数a的取值范围.
（3）利用a的值得出再利用导数的运算法则得出导函数，再按照和分类讨论结合基本不等式求最值的方法、导数的正负判断函数单调性的方法，从而研究出函数的单调性，再利用函数单调性求出函数的值域，从而得出实数b的最大值.
（1）当时，，
所以，故，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，所以，
因为是的极小值点，所以，得，
所以，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.
当时，由得或.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点.
当时，，不合题意.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
（3）当时，，
当时，因为（当且仅当时等号成立），所以，
所以在上单调递增，故，符合题意.
当时，令，解得，
因为，，所以，故，
所以当时，，故在上单调递减，
所以，不符合题意．
综上，实数的最大值为2．
19．【答案】（1）解：由题意，可知，
则.
（2）解：若，
则，
记，
则，
当时，，；
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为．
（3）证明：先证：，构造函数，
则，
由，可得；由，可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，
因为
，
当且仅当时，即当时取得等号，
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出，再结合题中定义可得的值.
（2）当时，得出，
令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而得出的最大值.
（3）先构造函数，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出，再利用作差法证出，从而证出不等式成立.
（1）由题意可知，，则.
（2）若，则，
记，
则，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为．
（3）下面先证：，构造函数，则，
由可得，由可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为
，
当且仅当，即时取得等号，所以．
1 / 1江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试卷
1．设集合，，则的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则的元素个数为2．
故答案为：B．
【分析】先利用指数函数的单调性，从而得出集合B，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合，再根据元素与集合的关系，从而得出集合的元素个数．
2．命题的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以，命题的否定是.
故答案为：A.
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，从而找出命题p的否定..
3．“”是“函数在区间上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，幂函数单调递增，充分性成立；
因为幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立，
综上所述，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】由幂函数的单调性和充分性、必要性的判断方法，从而找出正确的选项.
4．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
可得到的回归方程为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依据样本数据描点连线可知，图像为递减且在y轴上的截距大于0，所以a＞0，b0。
故答案为：A
【分析】利用样本数据作出散点图，得知图像为递减且在y轴上的截距大于0，从而推出a，b的取值范围。
5．从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（　　）
A．48 B．60 C．72 D．100
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排，
所以，组成无重复数字的三位数的个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和分步乘法计数原理，再利用组合数公式、排列数公式，从而得出可组成无重复数字的三位数的个数.
6．已知，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以，
设，其中，
，
令，解得：，
当时，；当时，，
当时，取到极小值，也是最小值为：.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件将双变量转化为单变量，再结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值，进而得出函数的最小值，即得出的最小值．
7．满足，的有序实数组可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：记，则，
因为，所以，则.
对于A，因为我，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据分数指数幂的运算法则化简得，从而逐项判断找出满足，的有序实数组.
8．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：根据题意，接收到0有两种情况，发射0或发射1，
所以，接收到0的概率为.
故答案为：C.
【分析】由题意知接收到0有两种情况，即发射0或发射1，再利用全概率公式和对立事件加法求概率公式，从而得出接收到0的概率.
9．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，
因为和为上的增函数，
所以，函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则，
所以，故C正确；
对于D，设，
则，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的基本性质判断出选项A；举反例判断出选项B；根据构造法和函数的单调性，则判断出选项C；利用构造法和导数的正负判断函数单调性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项D.
10．设函数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，
令，则，解得，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
因为，
所以，故A正确；
因为，
所以，
又因为，且，
所以，
则，故B正确；
当时，，故C错误；
因为，
当时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较大小，则可判断选项A和选项B；举反例判断出选项C；按照、和分类讨论的符号，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．设随机变量，则（　　）
A． B．
C． D．在上单调递增
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，
所以随机变量的方差为1，均值为0，
又因为正态分布曲线关于轴对称，
所以，故A错误；
对于B，因为，
又因为，
所以，
则，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，且随机变量，
则函数在上是单调增函数，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】由正态分布密度函数图象的对称性和正态分布密度函数图象的对称性求概率的方法，则判断出选项A、选项B和选项C；再结合函数单调性的定义判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．若，则的值为　 　．
【答案】34
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
所以或（舍去），
解得，
所以
．
故答案为：．
【分析】先由组合数的性质得出的值，再由组合数的性质化简得出的值.
13．函数的零点个数为　 　．
【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
因为，
所以函数只有一个零点1，
当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点，
则函数的零点个数为2.
故答案为：2.
【分析】当时，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，则函数只有一个零点1，当时，利用导数的正负判断函数在上的单调性，再由零点存在性定理可知函数有一个零点，从而得出函数的零点个数.
14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则　 　，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是　 　．
【答案】6；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；二项分布；条件概率；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：假设为向右的次数，
则服从二项分布，
所以，此时质点对应的数，
则，
假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，
“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，
则两两互斥，
所以，
因为“质点仅在第1秒位于1”，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），
（第六步不受影响），（第五六步不受影响），
则；
因为“质点仅在第3秒位于1” ，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），
则；
因为“质点仅在第5秒位于1” ，
则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），
所以；
则，
因为，所以，
则在三种情况下， 事件“”的情况有：，，，，所以，
则.
故答案为：6；.
【分析】假设为向右的次数，利用服从二项分布结合二项分布求方差公式，从而得出的值，再根据和的关系可得的值；假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，再根据已知条件可得、的值，再由条件概率可得的值.
15．设函数
（1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数；
（2）当时，求表达式的展开式中的常数项．
【答案】（1）解：当时，，
其展开式通项为，
令，得，
所以，展开式中含有项的系数为．
（2）解：当时，，
则的展开式的通项为：，
令，得，
所以，展开式中的常数项为．
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）先利用二项式定理求出展开式的通项，再令得出r的值，再根据代入法得出表达式的展开式中含有项的系数.
（2）先利用二项式定理得出展开式的通项，再令得出r的值，再根据代入法得出表达式的展开式中的常数项.
（1）当时，，
其展开式通项为，
令，得，
所以展开式中含有项的系数为．
（2）当时，，
的展开式通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为．
16．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表：
未患病 患病
未服用 100 90
服用 150 60
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效？
（2）现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物的只数为，求的分布列及数学期望．
附：（其中）．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设：患病与服用药物无关，即药物无效，
根据列联表，
可得，
当假设成立时，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）解：从参与试验且患病的150只动物中按分层抽样方法随机取出5只，
其中未服用药物的只数为，服用药物的只数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，
则的分布列为：
0 1 2
所以，随机变量的数学期望为．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据列联表结合公式求出后，再对照临界值比较，则根据独立性检验的方法认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）先求出未服用药物的只数为3，服用药物的只数为2，从而得出随机变量的所有可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：患病与服用药物无关，即药物无效．
根据列联表可得．
因为当假设成立时，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）从参与试验且患病的150只动物中按分层抽样方法随机取出5只，
其中未服用药物的只数为，服用药物的只数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为
0 1 2
故随机变量的数学期望为．
17．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）解关于的方程；
（3）若函数的图象关于直线对称，求实数的值．
【答案】（1）解：由，得或，
所以，函数的定义域为．
（2）解：因为在和上单调递增，
又因为在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性，知在和上为增函数，
所以，
则，
记，
结合指数函数的单调性，可知为增函数，
又因为，
所以．
（3）解：由（1）可知，的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，
根据，
得，
则，
所以，
则，
综上所述，．
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据对数型函数的真数大于零，从而列不等式求解得出函数的定义域.
（2）先利用复合函数的单调性法则，即同增异减，从而判断出函数在和上为增函数，再将方程转化为，记，利用函数的单调性和特殊值，从而求解方程得出方程的解.
（3）根据函数的图象的对称性得出的值，再利用函数图象的对称性，从而得出，再化简得出的值.
（1）由得或，所以的定义域为．
（2）因为在和上单调递增，
又在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性知在和上为增函数，
所以，所以，记，
结合指数函数的单调性可知为增函数，又，所以．
（3）由（1）可知，的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
进一步根据，得，
即，
则有，即．
综上所述，．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围；
（3）当时，若，求实数的最大值．
【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
所以，曲线在点处的切线方程为．
（2）解：因为，
所以，
又因为是的极小值点，
所以，
得，
所以，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则是的极小值点；
当时，由，得或，
当时，，
由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点；
当时，，不合题意；
当时，，
由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，不合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
（3）解：当时，，
当时，因为（当且仅当时等号成立），
所以，
则在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，令，
解得，
因为，，
所以，
则，
当时，，
则在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上所述，实数的最大值为2．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a，b的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再按照、、和分类讨论函数的单调性，再结合函数极小值点的概念得出实数a的取值范围.
（3）利用a的值得出再利用导数的运算法则得出导函数，再按照和分类讨论结合基本不等式求最值的方法、导数的正负判断函数单调性的方法，从而研究出函数的单调性，再利用函数单调性求出函数的值域，从而得出实数b的最大值.
（1）当时，，
所以，故，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，所以，
因为是的极小值点，所以，得，
所以，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.
当时，由得或.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点.
当时，，不合题意.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
（3）当时，，
当时，因为（当且仅当时等号成立），所以，
所以在上单调递增，故，符合题意.
当时，令，解得，
因为，，所以，故，
所以当时，，故在上单调递减，
所以，不符合题意．
综上，实数的最大值为2．
19．信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．
（1）抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）求证；．
【答案】（1）解：由题意，可知，
则.
（2）解：若，
则，
记，
则，
当时，，；
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为．
（3）证明：先证：，构造函数，
则，
由，可得；由，可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，
因为
，
当且仅当时，即当时取得等号，
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出，再结合题中定义可得的值.
（2）当时，得出，
令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而得出的最大值.
（3）先构造函数，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出，再利用作差法证出，从而证出不等式成立.
（1）由题意可知，，则.
（2）若，则，
记，
则，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为．
（3）下面先证：，构造函数，则，
由可得，由可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为
，
当且仅当，即时取得等号，所以．
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