资源简介 ★中考数学 压轴 题 每日 一题（120 题）★目录类型 1-1：二次函数代几综合……………………01类型 1-2：二次函数代数综合……………………27类型 2：相似综合…………………………………33类型 3-1：三角形综合……………………………45类型 3-2：四边形综合……………………………52类型 3-3：四边形中的动点问题…………………65类型 4：跨学科融合+情景实际运用 ……………69类型 5：圆综合……………………………………82类型 6：新定义……………………………………90类型 7：反比例函数综合…………………………98类型 8：各类题型综合 …………………………102★中考数学 压轴 题 每日 一题（120 题）★中考数学压轴题 每日一题 目录（2025年最新中考真题）第01题 2025成都中考T26 第41题 2025贵州中考T25 第81题 2025广州中考T24第02题 2025重庆中考T24 第42题 2025齐齐哈尔中考T23 第82题 2025福建中考T25第03题 2025甘肃中考T27 第43题 2025资阳中考T23 第83题 2025长沙中考T25第04题 2025苏州中考T27 第44题 2025南充中考T24 第84题 2025连云港中考T26第05题 2025烟台中考T24 第45题 2025黑龙江中考T26 第85题 2025云南中考T27第06题 2025扬州中考T27 第46题 2025辽宁中考T22 第86题 2025青海中考T25第07题 2025威海中考T24 第47题 2025长春中考T23 第87题 2025宜宾中考T24第08题 2025湖北中考T24 第48题 2025重庆中考T26 第88题 2025德阳中考T24第09题 2025河北中考T24 第49题 2025北京中考T27 第89题 2025内江中考T27第10题 2025河南中考T22 第50题 2025新疆中考T23 第90题 2025江西中考T22第11题 2025齐齐哈尔中考T24 第51题 2025广西中考T23 第91题 2025福建中考T24第12题 2025吉林中考T22 第52题 2025安徽中考T22 第92题 2025深圳中考T20第13题 2025绥化中考T28 第53题 2025甘肃中考T26 第93题 2025北京中考T28第14题 2025长春中考T24 第54题 2025连云港中考T27 第94题 2025长沙中考T24第15题 2025辽宁中考T23 第55题 2025扬州中考T28 第95题 2025长春中考T22第16题 2025青海中考T24 第56题 2025浙江中考T24 第96题 2025兰州中考T26第17题 2025宜宾中考T25 第57题 2025湖南中考T25 第97题 2025青岛中考T23第18题 2025德阳中考T25 第58题 2025河北中考T23 第98题 2025成都中考T18第19题 2025湖南中考T26 第59题 2025广州中考T25 第99题 2025广东中考T23第20题 2025眉山中考T25 第60题 2025内蒙古中考T18 第100题 2025宜宾中考T23第21题 2025遂宁中考T25 第61题 2025吉林中考T21 第101题 2025大庆中考T26第22题 2025南充中考T25 第62题 2025眉山中考T26 第102题 2025武汉中考T23第23题 2025自贡中考25 第63题 2025兰州中考T25 第103题 2025武汉中考T24第24题 2025内江中考T28 第64题 2025烟台中考T23 第104题 2025乐山中考T26第25题 2025泸州中考T25 第65题 2025绥化中考T27 第105题 2025乐山中考T25第26题 2025达州中考T24 第66题 2025天津中考T24 第106题 2025广元中考T25第27题 2025北京中考T26 第67题 2025黑龙江中考T28 第107题 2025广元中考T26第28题 2025上海中考T24 第68题 2025青岛中考T25 第108题 2025南通中考T25第29题 2025浙江中考T23 第69题 2025苏州中考T26 第109题 2025南通中考T26第30题 2025天津中考T25 第70题 2025广东中考T22 第110题 2025常州中考T27第31题 2025安徽中考T23 第71题 2025山西中考T22 第111题 2025常州中考T28第32题 2025山东中考T22 第72题 2025陕西中考T26 第112题 2025大庆中考T27第33题 2025成都中考T25 第73题 2025齐齐哈尔中考T22 第113题 2025大庆中考T28第34题 2025上海中考T25 第74题 2025内蒙古中考T17 第114题 2025宁夏中考T25第35题 2025广州中考T25 第75题 2025广西中考T22 第115题 2025宁夏中考T26第36题 2025河南中考T23 第76题 2025深圳中考T19 第116题 2025宿迁中考T27第37题 2025江西中考T23 第77题 2025吉林中考T20 第117题 2025宿迁中考T28第38题 2025山东中考T23 第78题 2025贵州中考T24 第118题 2025潍坊中考T21第39题 2025湖北中考T23 第79题 2025自贡中考T24 第119题 2025潍坊中考T22第40题 2025山西中考T23 第80题 2025青岛中考T24 第120题 2025徐州中考T27★中考数学 压轴 题 每日 一题 第1题 ★★类型一：二次函数代几综合（1-26题）+二次函数无图代数综合（27-32题）★1．（2025 成都）如图，在平面直角坐标系 2xOy中，抛物线 y = ax + bx过点 ( 1,3)，且对称轴为直线 x =1，直线 y = kx k与抛物线交于 A， B两点，与 x轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当 k =1时，直线 AB与 y轴交于点D，与直线 x = 2 交于点 E．若抛物线 y = (x h)2 1与线段DE有公共点，求 h的取值范围；（3）过点C与 AB垂直的直线交抛物线于 P，Q两点，M ，N分别是 AB，PQ的中点．试探究：当 k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T ，使得TC 总是平分 MTN？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．y yA AC CO x O xB B1 / 123★中考数学 压轴 题 每日 一题 第2题 ★2．（2025 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 + bx + c与 x轴交于 A，B(6,0) 两点，与 y轴5交于点C，抛物线的对称轴是直线 x = ．2（1）求抛物线的表达式；（2）点 P是射线 BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线 BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上PQ的动点（点 E在点D的下方），且DE = 4 ，连接 BD，PE ．当 取得最大值时，求点 P的坐标及BD + PEOQ的最小值；PQ（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线 y = x2 + bx + c沿射线 BC方向平移 2 2 个单位长度得OQ到抛物线 y ，点M 为点 P的对应点，点 N为抛物线 y 上的一动点．若 NAB = OPM 45 ，请直接写出所有符合条件的点 N的坐标，并写出求解点 N的坐标的其中一种情况的过程．y yO OA B x A B xDQC E CP2 / 123★中考数学 压轴 题 每日 一题 第3题 ★53．（2025 甘肃）如图 1，抛物线 y = a(x + )(x 4)(a 0) 分别与 x轴， y轴交于 A， B(0, 4) 两点，M 为2OA的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）连接 AB，过点M 作OA的垂线，交 AB于点C，交抛物线于点D，连接 BD，求△ BCD的面积；（3）点 E为线段 AB上一动点（点 A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90 得到OF ．①当 AE = 2 时，请在图 2 中画出线段OF 后，求点 F 的坐标，并判断点 F 是否在抛物线上，说明理由；②如图 3，点 P是第四象限的一动点， OPA = 90 ，连接 PF，当点 E运动时，求 PF的最小值．3 / 123★中考数学 压轴 题 每日 一题 第4题 ★4．（2025 苏州）如图，二次函数 y = x2 + 2x + 3的图象与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与y轴交于点C，作直线 BC，M (m, y1) ， N (m + 2, y2 ) 为二次函数 y = x2 + 2x + 3图象上两点．（1）求直线 BC对应函数的表达式；（2）试判断是否存在实数m使得 y1 + 2y2 =10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（3）已知 P是二次函数 y = x2 + 2x + 3图象上一点（不与点M ， N重合），且点 P的横坐标为1 m，作△MNP．若直线 BC与线段MN ，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1: 4 ，请直接写出所有满足条件的m的值．4 / 123★中考数学 压轴 题 每日 一题 第5题 ★5．（2025 烟台）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 3与 x轴交于 A， B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点C，OA = 2，OB = 6，D是直线 BC上方抛物线上一动点，作DF ⊥ AB交 BC于点 E，垂足为点 F ，连接CD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为 t，①用含有 t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90 得到线段OG，连接 AG，请直接写出线段 AG长度的最小值．5 / 123★中考数学 压轴 题 每日 一题 第6题 ★6．（2025 扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x2 2x + 3的图象（记为G1) 与 x轴交于点 A，B，与 y轴交于点C，二次函数 y = x2 + bx + c的图象（记为G2 ) 经过点 A，C．直线 x = t与两个图象G1 ，G 分别交于点M ， N2 ，与 x轴交于点 P．（1）求b， c的值．（2）当点 P在线段 AO上时，求MN 的最大值．（3）设点M ，N到直线 AC的距离分别为m，n．当m + n = 4 时，对应的 t值有 个；当m n = 3时，m对应的 t值有 个；当mn = 2 时，对应的 t值有 个；当 =1时，对应的 t值有 个．n6 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第7题★7．（2025 威海）已知抛物线 y = ax2 + bx 3交 x轴于点 A( 1,0)，点 B，交 y轴于点C．点C向右平移 2 个单位长度，得到点D，点D在抛物线 y = ax2 + bx 3上．点 E为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点 E的坐标；（2）连接 BC，点M 是线段 BC上一动点，连接OM ，作射线CD．①在射线CD上取一点 F ，使CF = CO，连接 FM ．当OM + FM 的值最小时，求点M 的坐标；②点 N是射线CD上一动点，且满足CN = CM ．作射线CE，在射线CE 上取一点G，使CG = CO．连接GN， BN ．求OM + BN的最小值；（3）点 P在抛物线 y = ax2 + bx 3的对称轴上，若 OAP + OCA = 45 ，则点 P的坐标为 ．7 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第8题★18．（2025 湖北）抛物线 y = x2 x + c与 x轴相交于点 A( 1,0)和点 B，与 y轴相交于点C，T是抛物线的2顶点， P是抛物线上一动点，设点 P的横坐标为 t．（1）求 c的值；PH 2（2）如图 1，若点 P在对称轴左侧，过点 P作对称轴的垂线，垂足为H ，求 的值；TH（3）定义：抛物线上两点M ，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M 和 N) ．过M ，N分别作 x轴的垂线 l ，l ，过抛物线弧MN1 2 的最高点和最低点分别作 y轴的垂线 l3 ，l4 ，直线 l1 ，l2 ，l3 与 l4 围成的矩形叫做抛物线弧MN 的特征矩形，若点 P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为 f ．①求 f 关于 t的函数解析式；②过点 P作 PQ / /x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为 g．若11f + g = ，直接写出 PQ的长．28 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第9题★9．（2025 河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 + bx + c经过点 A(0,3) ，B(6,3) ，顶点为 P．抛2 1物线 y = a(x 3) + d(a 0) 经过点C( ， 2) ．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为 L1 ， L2 ．2（1）求b， c的值及点 P的坐标．23（2）点D在 L1 上，到 x轴的距离为 ．判断 L2 能否经过点D，若能，求 a的值；若不能，请说明理由．4（3）直线 AE : y = kx + n(k 0)交 L1 于点 E，点M 在线段 AE上，且点M 的横坐标是点 E横坐标的一半．①若点 E与点 P重合，点M 恰好落在 L2 上，求 a的值；②若点M 为直线 AE与 L2 的唯一公共点，请直接写出 k的值．9 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第10题★10．（2025 河南）在二次函数 y = ax2 + bx 2中， x与 y的几组对应值如表所示．x 2 0 1 y 2 2 1 （1）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．（3）将二次函数的图象向右平移 n个单位长度后，当0 x 3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出 n的值．10 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第11题★11．（2025 齐齐哈尔）综合与探究如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + 3(a 0) 与 x轴交于点 A( 1,0)，C(6,0)，与 y轴交于点B，连接 BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P是直线 BC下方抛物线上的点，连接 PB， PC，当 S PBC = 24 时，求点 P的坐标；（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接 BG，若 CBG = 45 ，则点G的坐标为 ；（4）如图 2，作点 B关于 x轴的对称点D，过点D作 x轴的平行线 l，过点C作CE ⊥ l，垂足为点 E，动点M ，N分别从点O， E同时出发，动点M 以每秒 1 个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 ED方向匀速运动（当点 N到达点D时，点M ，N都停止运动），连接MN ，过点D作MN 的垂线，垂足为点 F ，连接CF，则CF的取值范围是 ．11 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第12题★12．（2025 吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y = x2 + bx 1经过点 (2, 1)．点 P在此抛物线上．其横坐标为m；连接 PO并延长至点Q，使OQ = 2PO．当点 P不在坐标轴上时，过点 P作 x轴的垂线，过点Q作 y轴的垂线，这两条垂线交于点M ．（1）求此抛物线对应的函数解析式．（2）△ PQM 被 y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．（3）当△ PQM 的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．（4）当此抛物线在△ PQM 内部的点的纵坐标 y随 x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．12 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第13题★13．（2025 绥化）综合与探究如图，抛物线 y = ax2 + bx 5交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点C．直线 y = kx 5 经过 B、C两点，若点A(1,0)， B( 5,0) ，点 P是抛物线上的一个动点（不与点 A、 B重合）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点 P作直线 PD ⊥ x轴于点D，交直线 BC于点 E，当 PE = 3ED时，求 P点坐标；（3）若点 F 是直线 BC上的一个动点，请判断在点 B右侧的抛物线上是否存在点 P，使△ AFP是以 PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．13 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第14题★14．（2025 长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 y = x2 + bx经过点 (3,3) ，点 A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m +1，已知点M (1,1) ，作点 A关于点M 的对称点C，作点 B关于点M 的对称点D，构造四边形 ABCD．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）当 A， B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；（3）设抛物线在 A、B两点之间的部分（含 A、B两点）为图象G，当0 m 1时，若图象G的最高点1与最低点的纵坐标之差为 ，求m的值；2（4）连结OA、OB，当 AOB = OAD + OBC时，直接写出m的取值范围．（这里 AOB、 OAD、 OBC均是大于 0 且小于180 的角）14 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第15题★115．（2025 辽宁）如图，在平面直角坐标系 2xOy中，二次函数 y1 = (x 1) +1的图象与 x轴的正半轴相4交于点 A，二次函数 y = ax2 + c的图象经过点 A，且与二次函数 y1 的图象的另一个交点为 B，点 B的横27坐标为 ．3（1）求点 A的坐标及 a， c的值．7（2）直线 x =m与二次函数 y C m 31 ， y2 的图象分别相交于点 ，D，与直线 AB相交于点 E，当3时，①求证：DE = 2CE ；②当四边形 ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值．1 7 7（3）二次函数 y = (x 1)21 +1( x 3) 与二次函数 y2 = ax2 + c(x 3)组成新函数 y ，当 x t n3 时，4 3 311 5 8函数 y3的最小值为 ，最大值为 t，求 n的取值范围．9 t 315 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第16题★16．（2025 青海）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx 3(a 0)与 x轴交于 A，B两点，点 B的坐标为 (1,0) ，点C(2,5)在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）①求点 A的坐标；②当 y 0时，根据图象直接写出 x的取值范围 ；（3）连接 AC交 y轴于点D，在 y轴上是否存在点 P，使△ ACP是以 AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 P坐标，若不存在，请说明理由．16 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第17题★17．（2025 宜宾）如图，O是坐标原点，已知抛物线 y = x2 + bx + c与 x轴交于 A、 B两点，与 y轴交于C点，其中 A(3,0) ，C(0,3) ．（1）求b、 c的值；（2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结 BD，与直线 AC交于点 E，若DE : BE =1: 2 ，求点D的坐标；（3）若 F 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为 P(m， n)(m 1) ，若 P又在原抛物线上，新抛物线与直线 x =1交于点 N，连结 FP、PN ， FPN =120 ．探究新抛物线与 x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．17 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第18题★18（．2025 德阳）如图 1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y = x2 + bx + c的图象与 x轴交于点 A( 1,0)，B(3,0) ，与 y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图 2，连接 BC，过点C作CD ⊥ BC 与抛物线相交于另一点D．①求点D的坐标；②如图 3，点 E，F 为线段 BC上两个动点（点 E在点 F 的右侧），且 EF = 2 ，连接OF ，DE．求OF + DE的最小值．18 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第19题★19．（2025 湖南）如图，已知二次函数 y = ax(x 4)(a 0) 的图象过点 A(2,2)，连接OA点 P(x1 ，y1)，Q(x2 ，y2 )，R(x3， y3 )是此二次函数图象上的三个动点，且0 x3 x1 x2 2，过点 P作 PB / / y轴交线段OA于点 B．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图 1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于 y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：①当 PB QC时，求证： x1 + x2 2；②当 PB RD时，求证： x1 + x3 2 ；3 1（3）如图，若 x2 = x1, x3 = x1 ，延长 PB交 x轴于点T，射线QT、TR分别与 y轴交于点Q1 ， R1，连接2 2AP，分别在射线 AT 、 x轴上取点M 、 N（点 N在点T 的右侧），且 AMN = PAO，MN = 2 2 ．记t = R1Q1 ON，试探究：当 x为何值时， t有最大值？并求出 t的最大值．19 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第20题★20．（2025 眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 + bx + c关于直线 x = 3对称，与 x轴交于A( 1,0)、 B两点，与 y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线对称轴上一点，连接 BP，将线段 BP绕点 P逆时针旋转90 ，使点 B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点 P的坐标；（3）在线段OC上是否存在点Q，使 2AQ + 2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．20 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第21题★21．（2025 遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x2 + bx + c(b、 c为常数）的图象与 x轴交于A( 1,0)、 B两点，交 y轴于点C，对称轴为直线 x =1．（1）求二次函数关系式．（2）连结 AC、BC，抛物线上是否存在点 P，使 CBP + ACO = 45 ，若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由．（3）在 x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线 AQ，使 BAQ = 2 ACO，点M 是线段 AQ上的一动点，过点M 作MN ⊥ x轴，垂足为点 N，连结 BM ，求 BM +MN 的最小值．21 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第22题★1522．（2025 南充）抛物线 y = ax2 + 2ax (a 0)与 x轴交于 A(3,0) ， B两点， N是抛物线顶点．4（1）求抛物线的解析式及点 B的坐标；（2）如图 1，抛物线上两点 P(m, y1) ，Q(m + 2, y2 )，若 PQ / /BN ，求m的值；（3）如图 2，点M ( 1, 5)，如果不垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点G，H ，满足 GMN = HMN ．探究直线 l是否过定点？若直线 l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．22 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第23题★23．（2025 自贡）如图，在△ ABC中，D，E分别是 AC， AB的中点，连接DE，CE ，BD交于点G．1（1）若 BD ⊥ CE， BD =1，CE = ，则四边形 BCDE的面积为 ；23（2）若 BD +CE = ，△ ABC的最大面积为 S．设 BD = x，求 S与 x之间的函数关系式，并求 S的最大值；2（3）若（2）问中 x取任意实数，将函数 S的图象依次向右、向上平移 1 个单位长度，得到函数 y的图象．直线 y = k1x k1 交该图象于点 F ， H (F点在H 点左边），过点H 的直线 l : y = k2x + b交该图象于另一点Q，过点 F ，Q的直线与直线 x =1交于点 K．若 S = S ，试问直线 l是否过定点？若过定点，求出定点HFK HKQ坐标；若不过定点，请说明理由．23 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第24题★24．（2025 内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c与 x轴相交于 A( 3,0) 、B(1,0)两点，与 y轴交于点C(0,3) ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图 1，过点 B的直线 l : y = x 1与抛物线的另一个交点为点D，点M 为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M 的纵坐标为 n，当MB =MD时，求 n的值；（3）如图 2，点 N是抛物线的顶点，点 P是 x轴上一动点，将顶点 N绕点 P旋转90 后刚好落在抛物线上的点H 处，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标．24 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第25题★25．（2025 泸州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = x2 + bx + c经过点 (2,3) ，与 x轴交于点A( 1,0)和点 B．（1）求该抛物线的解析式；1 1（2）点C，D在直线 y = x + 上，点 E在 x轴上， F 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF2 2是正方形，求点 F 的坐标；（3）设点 P(x1 ， y1)在抛物线 y = x2 + bx + c上，点Q(x1， y2 )在抛物线 y = x2 (4m 2)x + 4m2 + 2上，当1 x1 2时， y2 y1的最小值为 3，求m的值．25 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第26题★26．如图，已知抛物线 y = x2 + bx + c交 x轴于 A，B两点，交 y轴于C点，B的坐标为 (3,0)，C的坐标为 (0,3)，顶点为M ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接 BC，过第四象限内抛物线上一点作 BC的平行线．交 x轴于点 E，交 y轴于点 F ．①连接 AF ，当 AFE = 90 时，求 Rt△ AFE内切圆半径 r 与外接圆半径 R的比值；2②连接CA，CE，当点 F 在△ AEC的内角平分线上，BC上的动点 P满足MP + BP的值最小时，求△2BPE的面积．26 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第27题★27．（2025 北京）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0) 经过点O和点 A(3,3a) ．（1）求 c的值，并用含 a的式子表示b；（2）过点 P(t,0)作 x轴的垂线，交抛物线于点M ，交直线 y = ax于点 N．①若 a =1， t = 4 ，求MN 的长；②已知在点 P从点O运动到点 B(2a,0) 的过程中，MN 的长随OP的长的增大而增大，求 a的取值范围．27 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第28题★28．（2025 上海）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = x2 + bx + c经过点 A(1,1)和 B(3,1) ，顶点为点 P，抛物线于 y轴交于点C．（1）求b和 c的值．（2）另一条抛物线 y = ax2 +mx + n(a 1)也经过点 A(1,1)和 B(3,1) ，顶点为点Q，与 y轴交于点D．CD①求 的值；PQ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．28 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第29题★29．（2025 浙江）已知抛物线 y = x2 ax + 5(a为常数）经过点 (1,0) ．（1）求 a的值．（2）过点 A(0,t)与 x轴平行的直线交抛物线于 B，C两点，且点 B为线段 AC的中点，求 t的值．（3）设m 3 n，抛物线的一段 y = x2 ax + 5(m x n)夹在两条均与 x轴平行的直线 l1 ， l2 之间．若直线l1 ， l2 之间的距离为 16，求 n m的最大值．29 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第30题★30．（2025 天津）已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a，b， c为常数， a 0 ，b 0) ．（Ⅰ）当 a = 1， b = 2 ， c = 3 时，求该抛物线顶点 P的坐标；（Ⅱ）点 A( 1,0)和点 B为抛物线与 x轴的两个交点，点C为抛物线与 y轴的交点．② 当 a = 2 时，若点D在抛物线上， CAD = 90 ， AC = AD，求点D的坐标；②若点 B(m,0) ， CAB = 2 ABC，以 AC为边的 ACEF的顶点 F 在抛物线的对称轴 l上，当CE +CF 取得最小值为 2 6 时，求顶点 E的坐标．30 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第31题★31．（2025 安徽）已知抛物线 y = ax2 + bx(a 0)经过点 (4,0)．（1）求该抛物线的对称轴；（2）点 A(x1 ， y1)和 B(x2 ， y2 )分别在抛物线 y = ax2 + bx和 y = x2 2x上 (A， B与原点都不重合）．1(i) 若 a = ，且 x1 = x2 ，比较 y1 与 y2 的大小；2y(ii) 当 2x2 x= 时，若 2 是一个与 x1 无关的定值，求 a与b的值．y1 x1 x131 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第32题★32．（2025 山东）已知二次函数 y = x(x a) + (x a)(x b) + x(x b)，其中 a，b为两个不相等的实数．（1）当 a = 0、b = 3时，求此函数图象的对称轴；（2）当b = 2a时，若该函数在0 x 1时， y随 x的增大而减小；在3 x 4时， y随 x的增大而增大，求a的取值范围；a + b（3）若点 A(a, y1)，B( ，y2 )，C(b, y3 ) 均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得 y1 +my2 + y3 = 0 ？2若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．32 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第33题★★类型二：相似综合（12题）★1．（2025 成都）如图，在 ABCD中，点 E在 BC边上，点 B关于直线 AE的对称点 F 落在 ABCD内，射线 AF 交射线DC于点G，交射线 BC于点 P，射线 EF交CD边于点Q．【特例感知】（1）如图 1，当CE = BE时，点 P在 BC延长线上，求证：△ EFP △ ECQ；【问题探究】（2）在（1）的条件下，若CG = 3，GQ = 5，求DQ的长；【拓展延伸】CQ 1 CG（3）如图 2，当CE = 2BE时，点 P在 BC边上，若 = ，求 的值．（用含 n的代数式表示）DQ n DG33 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第34题★2．（2025 上海）如图 1，平行四边形 ABCD中，点 E、 F 分别是边 BC、CD上的点．（1）若 E是 BC中点；①如图 1，若 AE = EF，求证： BAE = EFC；②如图 2，若CF = DF，联结 BF交 AE于G，求 S BEG : S AEF的值；（2）如图 3，若 AB = 3， AD = 5，CF =1， AEB = AFE = EFC，求 AF 的长．34 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第35题★3．（2025 广州）如图 1， AC = 4 ，O为 AC中点，点 B在 AC上方，连接 AB， BC．（1）尺规作图：作点 B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接 AD、DC，并证明四边形 ABCD为平行四边形；（2）如图 2，延长 AC至点 F ，使得CF = AC ，当点 B在直线 AC的上方运动，直线 AC的上方有异于点B的动点 E，连接 EA， EB， EC， EF，若 AEC = 45 ，且△ ABC∽△ FCE．①求证：△ ABC∽△CBE；②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．35 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第36题★4．（2025 河南）在 AOB中，点C是 AOB的平分线上一点，过点C作CD ⊥OB，垂足为点D，过点D作DE ⊥ OA，垂足为点 E，直线DE，OC交于点 F ，过点C作CG ⊥ DE，垂足为点G．（1）观察猜想如图 1，当 AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系： ．（2）类比探究如图 2，当 AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）拓展应用GF OD当 0 AOB 180 ，且 AOB 90 时，若 = 3，请直接写出 的值．EF CD36 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第37题★5．（2025 江西）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．特例研究在正方形 ABCD中， AC， BD相交于点O．（1）如图 1，△ ADC可以看成是△ AOB绕点 A逆时针旋转并放大 k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ；（2）如图 2，将△ AOB绕点 A逆时针旋转，旋转角为 ，并放大得到△ AEF（点O，B的对应点分别为BF点 E， F )，使得点 E落在OD上，点 F 落在 BC上，求 的值；OE类比探究（3）如图 3，在菱形 ABCD中， ABC = 60 ，O是 AB的垂直平分线与 BD的交点，将△ AOB绕点 A逆时针旋转，旋转角为 ，并放缩得到△ AEF（点O， B的对应点分别为点 E， F )，使得点 E落在OD上，BF点 F 落在 BC上．猜想 的值是否与 有关，并说明理由；OE（4）若（3）中 ABC = ，其余条件不变，探究 BA，BE，BF之间的数量关系（用含 的式子表示）．37 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第38题★6．（2025 山东）【图形感知】如图 1，在四边形 ABCD中，已知 BAD = ABC = BDC = 90 ， AD = 2 ， AB = 4 ．（1）求CD的长；【探究发现】老师指导同学们对图 1 所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点 E，连接 BE．将四边形 ABED沿 BE翻折得到四边形 A BED ，其中 A ，D 分别是 A，D的对应点．（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：①甲：点D 恰好落在边 BC上，延长 A D 交CD于点 F ，如图 2．判断四边形DBA F的形状，并说明理由；②乙：点 A 恰好落在边 BC上，如图 3．求DE的长；（3）如图 4，连接DD 交 BE于点 P，连接CP．当点 E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．38 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第39题★7．（2025 湖北）在△ ABC中， ACB = 90 ，将△ ABC绕点C旋转得到△DEC，点 A的对应点D落在边AB上，连接 BE．（1）如图 1，求证：△ BCE∽△ ACD；（2）如图 2，当 BC = 2 ， AC =1时，求 BE的长；（3）如图 3，过点 E作 AB的平行线交 AC的延长线于点 F ，过点 B作 AC的平行线交 EF于点G，DE与 BC交于点K．①求证： AC = CF ；GF 5 KD②当 = 时，直接写出 的值．GB 6 KE39 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第40题★8．（2025 山西）综合与探究问题情境：如图 1，在△ ABC纸片中，AB BC，点D在边 AB上，AD BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB 与 BC平行，且折痕与边 BC交于点 E，得到△DB E，然后展平．猜想证明：（1）判断四边形 BDB E的形状，并说明理由；拓展延伸：（2）如图 2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点 A的对应点 A 落在射线DB 上，且折痕与边 AC交于点 F ，然后展平．连接 A E交边 AC于点G，连接 A F．①若 AD = 2BD，判断DE与 A E的位置关系，并说明理由；②若 C = 90 ， AB =15 ， BC = 9 ，当△ A FG是以 A F为腰的等腰三角形时，请直接写出 A F的长．40 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第41题★9．（2025 贵州）如图，在菱形 ABCD中， ABC = 60 ，点 P为线段 AC上一动点，点 E为射线 BP上的一点（点 E与点 B不重合）．【问题解决】（1）如图①，若点 P与线段 AC 的中点O重合，则 PBC = 度，线段 BP与线段 AC 的位置关系是 ；【问题探究】（2）如图②，在点 P运动过程中，点 E在线段 BP上，且 AEP = 30 ， PEC = 60 ，探究线段 BE与线段 EC的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）在点 P运动过程中，将线段 BE 绕点 E逆时针旋转120 得到 EF ，射线 EF 交射线 BC于点G ，若BE = 2FG， AB = 5，求 AP的长．41 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第42题★10．（2025 齐齐哈尔）综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．（1）【几何直观】如图 1，△ ABC中， BAC = 90 ， AB = AC，在△ ABC内部取一点D，连接 AD，将线段 AD绕点 A逆时针旋转90 得到线段 AD ，连接 BD，CD ，则CD 与 BD的数量关系是 ； AD C与 ADB的数量关系是 ；（2）【类比推理】如图 2，在正方形 ABCD内部取一点 E，使 CED = 90 ，将线段CE 绕点C逆时针旋转90 得到线段CE ，连接 E B，延长 E B交DE的延长线于点 F ，求证：四边形CEFE 是正方形；（3）【深度探究】如图 3，矩形 ABCD中， AB = 3， BC = 4 ，在其内部取一点 E，使 CED = 90 ，将线CG 4段CE绕点C逆时针旋转90 得到线段CE ，延长CE 至点G，使 = ，连接GB，延长GB交DE的延CE 3长线于点 F ，连接 AF ，若 AF = 2，则 BF = ；（4）【拓展延伸】在矩形 ABCD中，点 E为 BC边上的一点，连接 AE，将线段 AE绕点 A逆时针旋转 60 得到线段 AE ，连接DE ，若 AD = 3 2 ， AB = 6 ，则DE 的最小值为 ．42 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第43题★11．（2025 资阳）在四边形 ABCD中， E是边 BC上的一点，O是对角线 AC的中点．（1）如图 1，四边形 ABCD是正方形，连接OE，作OF ⊥OE交CD于点 F ，求证：OE =OF；3 5 1（2）如图 2，四边形 ABCD是平行四边形， AB ⊥ AC， AB = ， tan ACB = ，BE : EC =1: 2，连接5 2OFAE，作 EF ⊥ AE交CD于点 F ，连接OF ，求 的值；CF（3）如图 3，四边形 ABCD是菱形， B = 60 ， BC = 6 ，连接DE交 AC于点G， F 是边 AB上的一点，1 EDF = 30 ，若 AF = AB，求OG的长．343 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第44题★12．（2025 南充）矩形 ABCD中，AB =10 ，AD =17 ，点 E是线段 BC上异于点 B的一个动点，连接 AE，把△ ABE沿直线 AE折叠，使点 B落在点 P处．【初步感知】（1）如图 1，当 E为 BC的中点时，延长 AP交CD于点 F ，求证： FP = FC．【深入探究】（2）如图 2，点M 在线段CD上，CM = 4 ．点 E在移动过程中，求 PM 的最小值．【拓展运用】（3）如图 2，点 N在线段 AD上，AN = 4 ．点 E在移动过程中，点 P在矩形内部，当△ PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求 BE的长．44 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第45题★★类型 3：三角形（1-7）+四边形（8-20）+动点问题（21-24）★1．（2025 黑龙江）已知：如图，△ ABC中，AB = AC，设 BAC = ，点D是直线 BC上一动点，连接 AD，将线段 AD绕点 A顺时针旋转 至 AE，连接DE、BE，过点 E作 EF ⊥ BC，交直线 BC于点 F ．探究如下：（1）若 = 60 时，如图①，点D在CB延长线上时，易证： BF = DF + BC如图②，点D在 BC延长线上时，试探究线段 BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．（2）若 =120 ，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段 BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．45 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第46题★2．（2025 辽宁）（1）如图 1，在△ ABC与△DCB中， BAC = CDB，AC与DB相交于点 P，PB = PC，求证：△ ABC △DCB；（2）如图 2，将图 1 中的△ DCB绕点 B逆时针旋转得到△D C B，当点D的对应点D 在线段 BA的延长线上时， BC 与 AC相交于点M ，若 AB = 2 ， BC = 3， ABC = 60 ，求CM 的长；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接CC 并延长，与 BD 的延长线相交于点 N，连接MN ，求△ AMN 的面积．46 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第47题★3．（2025 长春）如图，在△ ABC中， C = 90 ，AC = BC = 4 ，点D为边 AC的中点，点 E为边 AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点 E顺时针旋转 45 得到线段 EF．（1）线段 AB的长为 ；（2）当 EF / /AC时，求 AE的长；（3）当点 F 在边 BC上时，求证：△ ADE △ BEF；（4）当点 E到 BC的距离是点 F 到 BC距离的 2 倍时，直接写出 AE的长．47 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第48题★4．（2025 重庆）在△ ABC中， AB = AC，点D是 BC边上一点（不与端点重合），连接 AD．将线段 AD绕点 A逆时针旋转 得到线段 AE，连接DE．（1）如图 1， = BAC = 60 ， CAE = 20 ，求 ADB的度数；（2）如图 2， = BAC = 90 ，BD CD，过点D作DG ⊥ BC，DG交CA的延长线于G，连接 BG．点F 是DE的中点，点H 是 BG的中点，连接 FH ，CF．用等式表示线段 FH 与CF 的数量关系并证明；（3）如图 3， BAC =120 ， = 60 ， AB = 8，连接 BE，CE．点D从点 B移动到点C过程中，将 BE绕点 B逆时针旋转 60 得线段 BM ，连接 EM ，作MN ⊥ CA交CA的延长线于点 N．当CE 取最小值时，在直线 AB上取一点 P，连接 PE，将△ APE沿 PE所在直线翻折到△ ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ， NQ，当 BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积．48 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第49题★5．（2025 北京）在△ ABC中， ACB = 90 ， ABC = ，点D在射线 BC上，连接 AD，将线段 AD绕点A逆时针旋转180 2 得到线段 AE（点 E不在直线 AB上），过点 E作 EF / /AB，交直线 BC于点 F ．（1）如图 1， = 45 ，点D与点C重合，求证： BF = AC ；（2）如图 2，点D， F 都在 BC的延长线上，用等式表示DF与 BC的数量关系，并证明．49 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第50题★6．（2025 新疆）如图，在等腰直角三角形 ABC中， A = 90 ，BC = 4 ，AD = aBN，点M 是 AB的中点，点D和点 N分别是线段 AC和 BC上的动点．（1）当点D和点 N分别是 AC和 BC的中点时，求 a的值；（2）当 a = 2 时，以点C，D， N为顶点的三角形与△ BMN相似，求 BN 的值；（3）当 a = 2 时，求MN + ND的最小值．50 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第51题★7．（2025 广西）【平行六边形】如图 1，在凸六边形 ABCDEF 中，满足 AB / /DE，BC / /EF ，CD / /FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中 AB与DE，BC与 EF，CD与 FA叫做“主对边”； A和 D， B和 E， C和 F叫做“主对角”； AD， BE，CF 叫做“主对角线”．（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．猜想 判断正误①平行六边形的三组主对边分别相等②平行六边形的三组主对角分别相等③平行六边形的三条主对角线互相平分【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．（2）如图 2，已知平行六边形OPQRST 满足OP = PQ =QR = RS．求证：平行六边形OPQRST 是菱六边形；（3）如图 3 是一张边长为 3，4，6 的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．51 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第52题★8．（2025 安徽）已知点 A 在正方形 ABCD内，点 E在边 AD上，BE是线段 AA 的垂直平分线，连接 A E，A B．（1）如图 1，若 BA 的延长线经过点D， AE =1，求 AB的长；（2）如图 2，点 F 是 AA 的延长线与CD的交点，连接CA ．(i) 求证： CA F = 45 ；(ii) 如图 3，设 AF ，BE相交于点G，连接CG，DG，DA ，若CG = CB，判断△ A DG的形状，并说明理由．52 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第53题★9．（2025 甘肃）四边形 ABCD是正方形，点 E是边 AD上一动点（点D除外），△ EFG是直角三角形，EG = EF，点G在CD的延长线上．（1）如图 1，当点 E与点 A重合，且点 F 在边 BC上时，写出 BF和DG的数量关系，并将明理由；（2）如图 2，当点 E与点 A不重合，且点 F 在正方形 ABCD内部时， FE的延长线与 BA的延长线交于点P，如果 EF = EP，写出 AE和DG的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BF，写出 BF和DG的数量关系，并说明理由．53 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第54题★10．（2025 连云港）综合与实践【问题情境】如图，小昕同学在正方形纸板 ABCD的边 AB、BC上分别取点 E、F ，且 AE = BF ，AF 交DE于点O．连接 AC，过点 F 作 FG ⊥ AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交 AC于点 P，GE交 AF 于点Q．【活动猜想】（1）GD与GE的数量关系是 ，位置关系是 ；【探索发现】（2）证明（1）中的结论；【实践应用】（3）若 AD = 3， AE =1，求QF 的长；【综合探究】（4）若 AD = 3，则当 AP = 时，△DPG的面积最小．54 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第55题★11．（2025 扬州）问题：如图 1，点 P为正方形 ABCD内一个动点，过点 P作 EF / /AD，GH / /AB，矩形PHCF 的面积是矩形 PGAE面积的 2 倍，探索 FAH的度数随点 P运动的变化情况．【从特例开始】（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图 2) ，请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中 FAH = ．（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3) ，其中 PE = PF = 6， PG = 4， PH = 8 ，求此图形中 FAH的度数；【一般化探索】（3）利用图 1，探索上述问题中 FAH的度数随点 P运动的变化情况，并说明理由．55 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第56题★12．（2025 浙江）在菱形 ABCD中， AB = 5， AC = 8 ．（1）如图 1，求 sin BAC的值．（2）如图 2，E是 AD延长线上的一点，连接 BE，作△ FBE与△ ABE关于直线 BE对称，EF交射线 AC于点 P，连接 BP．①当 EF ⊥ AC时，求 AE的长．②求 PA PB的最小值．56 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第57题★13．（2025 湖南）【问题背景】如图 1，在平行四边形纸片 ABCD中，过点 B作直线 l ⊥ CD于点 E，沿直线 l将纸片剪开，得到△ B1C1E1和四边形 ABED，如图 2 所示．【动手操作】现将三角形纸片 B1C1E1 和四边形纸片 ABED进行如下操作（以下操作均能实现）①将三角形纸片 B1C1E1 置于四边形纸片 ABED内部，使得点 B1与点 B重合，点 E1 在线段 AB上，延长BC1交线段 AD于点 F ，如图 3 所示；②连接CC C CN ⊥ CD1 ，过点 作直线 交射线 EE1 于点 N，如图 4 所示；③在边 AB上取一点G，分别连接 BD，DG， FG，如图 5 所示．【问题解决】请解决下列问题：（1）如图 3，填空： A+ ABF = ；（2）如图 4，求证：△CNM △C1E1M ；（3）如图 5，若 AB = 2AD = 2 7AF， AGD = 60 ，求证： FG / /BD．57 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第58题★14．（2025 河北）综合与实践[ 情境 ]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1) ，需找到合适的切割线．[ 模型 ]已知矩形 ABCD（数据如图 2 所示）．作一条直线MN ，使MN 与 BC所夹的锐角为 45 ，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分．[ 操作 ]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．如图 3，嘉嘉的思路如下： 如图 4，淇淇的方法如下：①连接 AC， BD交于点O； ①在边 BC上截取 BG = AB，连接 AG；②过点O作 EF ⊥ BC，分别交 BC， AD于点 ②作线段GC的垂直平分线 l，交 BC于点E， F ； M ； ③在边 AD上截取 AN =GM ，作直线MN ．[ 探究 ]根据以上描述，解决下列问题．（1）图 2 中，矩形 ABCD的周长为 ；（2）在图 3 的基础上，用尺规作图作出直线MN （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；（3）根据淇淇的作图过程，请说明图 4 中的直线MN 符合要求．[ 拓展 ]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．（4）如图 5，若直线 PQ将矩形 ABCD分成周长相等的两部分，分别交边 AD， BC于点 P，Q，过点 B作 BH ⊥ PQ于点H ，连接CH ．①当 PQC = 45 时，求 tan BCH 的值；②当 BCH 最大时，直接写出CH 的长．58 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第59题★5 115．（2025 广州）宽与长的比是 （约为0.618) 的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片 ABCD，2长 AD = 5 +1．如图 1，折叠纸片 ABCD，点 B落在 AD上的点 E处，折痕为 AF ，连接 EF．然后将纸片展开．（1）求 AB的长；（2）求证：四边形CDEF 是黄金矩形；（3）如图 2，点G为 AE的中点，连接 FG，折叠纸片 ABCD，点 B落在 FG上的点H 处，折痕为 FP，过点 P作 PQ ⊥ EF于点Q．四边形 BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．59 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第60题★16．（2025 内蒙古）如图， ABCD是一个平行四边形纸片， BD是一条对角线， BD = BC = 5 ，CD = 6 ．（1）如图 1，将平行四边形纸片 ABCD沿 BD折叠，点 A的对应点落在点 P处， PB交CD于点M ．①试猜想 PM 与CM 的数量关系，并说明理由；②求△ BDM 的面积；（2）如图 2，点 E， F 分别在平行四边形纸片 ABCD的 AB， AD边上，连接 EF，且 EF / /BD，将平行四边形纸片 ABCD沿 EF折叠，使点 A的对应点G落在CD边上，求DG的长．60 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第61题★17．（2025 吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 60 的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在 ABCD中， A = 60 ，AB AD，E为边 AD的中点，点 F 在边DC上，且DF = DE，连接 EF，将△DEF 沿 EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．【探究证明】取图①中的边 BC的中点M ，点 N在边 AB上，且 BN = BM ，连接MN ，将△ BMN沿MN翻折得到△HMN ，点 B的对称点为点H ，连接 FH ，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．AD【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 的值；如果不能，说AB明理由．61 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第62题★18．（2025 眉山）综合与实践【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．【操作实践】如图 1，将矩形纸片 ABCD沿过点C的直线折叠，使点 B落在 AD边上的点 B 处，折痕交 AB于点 E，再沿着过点 B 的直线折叠，使点D落在 B C边上的点D 处，折痕交CD于点 F ．将纸片展平，画出对应点 B 、D 及折痕CE、 B F，连接 B E、 B C、D F．【初步猜想】（1）确定CE和 B F的位置关系及线段 BE和CF的数量关系．创新小组经过探究，发现CE / /B F ，证明过程如下：1 1由折叠可知 DB F = CB F = DB C ， ECB = ECB = BCB ．由矩形的性质，可知 AD / /BC ，2 2 DB C = BCB ， ① ， CE / /B F．智慧小组先测量 BE和CF的长度，猜想其关系为② ．经过探究，发现验证 BE和CF数量关系的方法不唯一：方法一：证明△ AB E △D CF ，得到 B E = CF，再由 B E = BE可得结论．方法二：过点 B 作 AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB G，然后证 B G = B E可得结论．请补充上述过程中横线上的内容．【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 BE和CF的数量关系，写出证明过程．【尝试运用】（3）如图 2，在矩形 ABCD中， AB = 6，按上述操作折叠并展开后，过点 B 作 B G / /AB交CE于点G，连接D G，当△ B D G为直角三角形时，求出 BE的长．62 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第63题★19．（2025 兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图 1 所示的图形，正方形 ABCD与正方形BEFG(AB BE)，点 E，G分别在 AB， BC上．根据图形提出问题：如图 2，正方形 BEFG绕点 B顺时针旋转，旋转角为 (0 180 )，直线 AE与CG相交于点H ，连接 BH ，探究线段 AH ， BH ，CH之间的数量关系．【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图 3，当点G，H 重合时，请你写出 AH ，BH ，CH 之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图 2 所示的一般化问题，当点G，H 不重合时，请你写出 AH ， BH ，CH 之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图 2 所示问题中的旋转角 的范围再扩大，正方形 BEFG绕点 B顺时针旋转，旋转角为 (180 360 )，直线 AE与CG相交于点H ，连接 BH ，请直接写出 AH ，BH ，CH 之间的数量关系．63 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第64题★20．（2025 烟台）【问题呈现】如图 1，已知 P是正方形 A1A2A3A4 外一点，且满足 PA1A2 + PA3A2 =180 ，探究 PA1， PA2 ， PA3 三条线段的数量关系．小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：如图 2，构造△QA3A2与△ PA1A2 全等，从而得出 PA1 + PA3与 PA2 的数量关系；思路二：如图 3，构造△MA1A2 与△ NA3A2 全等，从而得出 PA1 + PA3与 PA2 的数量关系．（1）请参考小颖的思路，直接写出 PA1 + PA3与 PA2 的数量关系 ；【类比探究】（2）如图 4，若 P是正五边形 A1A2A3A4A5 外一点，且满足 PA1A2 + PA3A2 =180 ，PA1 =11，PA3 = 49，求 PA 的长度（结果精确到 0.1，参考数据：sin 54 0.81，sin 72 0.95 ，cos54 0.592 ，cos72 0.31) ；【拓展延伸】（3）如图 5，若 P是正十边形 A1A2 A10 外一点，且满足 PA1A2 + PA3A2 =180 ，则 PA1， PA2 ， PA3 三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．64 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第65题★21．（2025 绥化）综合与实践如图．在边长为 8 的正方形 ABCD中，作射线 BD，点 E是射线 BD上的一个动点，连接 AE，以 AE为边作正方形 AEFG，连接CG交射线 BD于点M ，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）【用数学的眼光观察】（1）请判断 BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．【用数学的思维思考】（2）若DG = a，请你用含 a的代数式直接写出 CMB的正切值 ．【用数学的语言表达】（3）设DE = x，正方形 AEFG的面积为 S，请求出 S与 x的函数解析式．（不要求写出自变量 x的取值范围）65 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第66题★22．（2025 天津）在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ ABC的顶点 A(0,2)，B(0, 1)，点C在第一象限，等边△ EOF 的顶点 E( 3,0) ，顶点 F 在第二象限．（Ⅰ）填空：如图①，点 F 的坐标为 ，点C的坐标为 ；（Ⅱ）将等边△ EOF 沿水平方向向右平移，得到等边△ E O F ，点 E，O，F 的对应点分别为 E ，O ，F ．设OO = t．①如图②，若边 E F 与边 AB相交于点G，当△ E O F 与△ ABC重叠部分为四边形OO F G时，试用含有t的式子表示线段GA的长，并直接写出 t的取值范围；3 3 3 3②设平移后重叠部分的面积为 S，当 t 时，求 S的取值范围（直接写出结果即可）．4 266 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第67题★23．（2025 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA在 x轴上，tan COA = 3 ，OA的长是一元二次方程 x2 3x 18 = 0的根，过点C作CQ ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点 P．动点M 从点O以每秒 1 个单位长度的速度沿OA向终点 A运动，动点 N 从点 B 以每秒 3 个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M 、 N 两点同时出发，设运动时间为 t秒．（1）求点 P 坐标；（2）连接MN 、 PM ，求△ PMN的面积 S关于运动时间 t的函数解析式；（3）当 t = 3时，在对角线OB上是否存在一点 E ，使得△MNE 是含30 角的等腰三角形．若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．67 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第68题★24．（2025 青岛）如图①，在 Rt△ ABC中， ACB = 90 ，AC = 6cm，BC = 8cm，将 Rt△ ABC沿 AC 方向平移 6cm，得到 Rt△CDE，过点D作DF ⊥ AB，交 AB的延长线于点 F ，H 为DE 的中点．点 P 从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm / s；同时，点Q从点 A出发，沿 AE方向匀速运动，速度为1.2cm / s．连接 PQ，QH ， PH ．设运动时间为 t(s)(0 t 10) ．解答下列问题：（1）当HP / /DF时，求 t的值；（2）如图②，当5 t 10 时，设△ PQH 的面积为 S(cm2 )，求 S与 t之间的函数关系式；（3）当0 t 5 时，是否存在某一时刻 t，使△ PQH 是直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．68 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第69题★★类型 4：跨学科融合+情景实际运用（13题）★1．（2025 苏州）两个智能机器人在如图所示的 Rt△ ABC区域工作， ABC = 90 ，AB = 40m，BC = 30m，直线 BD为生产流水线，且 BD平分△ ABC的面积（即D为 AC 中点）．机器人甲从点 A出发，沿 A→ B的方向以 v (m / min) 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿 B→C→ D的1方向以 v (m / min)的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间2为 t(min)，记点 P 到 BD的距离（即垂线段 PP 的长）为 d (m) ，点Q到 BD的距离（即垂线段QQ 的长）1为 d (m) ．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 d = 7.5m．d 与 t的部分对应数2 1 2值如表 (t1 t ) : 2t(min) 0 t 1 t 5.5 2d (m) 0 16 16 0 2（1）机器人乙运动的路线长为 m；（2）求 t2 t 的值； 1（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD的距离相等（即 d = d ) 时，求 t的值． 1 269 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第70题★2．（2025 广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 a，b， c都是正整数，则 a，b， c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，1814，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，295，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，356，8，10 10， ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122（1）请补全如表中的勾股数．（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种 21 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？70 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第71题★3．（2025 山西）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．数学建模：如图 1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 N ，对称轴为直线 l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M ．以O为原点，OM 所在直线为 x轴，过点O与OM 所在水平地面垂直的直线为 y轴，建立平面直角坐标系．（1）请直接写出顶点 N 的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图 1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点 P 处起跳，落地点为Q，点 P 的坐标为 (0,75) ，点Q在 x轴的正半轴上．求起跳点 P 与落地点Q的水平距离OQ的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图 2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ABCD，其中 ABC = BCD = 90 ，AB = 57cm，BC = 40cm，CD = 48cm．仿青蛙机器人从距离 AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．71 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第72题★4．（2025 陕西）问题探究（1）如图①，在△ ABC中，请画出一个 BDEF，使得点D， E ， F 分别在边 AB， AC ， BC上；（2）如图②，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC = 6 ， P 为矩形 ABCD内一点，且满足 S ，△ BPCBPC = 9周长的最小值；问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ ABC区域为草地，线段 BC为花海边沿，点 A为游客服务中心，线段 PQ为步道，点 P 和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点 P ，Q分别在边AB，AC 上，且满足 BP : AQ = 2 :3，O为 PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使 BOC最大．已知 AB =120m，AC = BC =180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口 P 与游客服务中心 A之间的距离 PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）72 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第73题★5．（2025 齐齐哈尔）2025 年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”， AI 热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了 A， B ，C 三个互动区，机器人甲、乙分别从 A，C 两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以 20 米 / 分的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时停留 4.5 分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C 区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以 10 米 / 分的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C 区．机器人甲、乙距 B 区的距离 y（米 ) 与机器人乙行进的时间 x（分 ) 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1） A，C 两区相距 米， a = ；（2）求线段 EF所在直线的函数解析式；（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距 30 米？（直接写出答案即可）73 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第74题★6．（2025 内蒙古）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图 1 所示．外形参数：如图 2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 L ，中间的矩形 ABCD和下方的抛物线1 L 组2成．抛物线 L 的高度为8cm，矩形 ABCD的边 AB = 8cm，BC = 6cm，抛物线 L 的高度为 4cm．在装置内1 2部安装矩形电子显示屏 EFGH ，点 E ， F 在抛物线 L 上，点H ，G 在抛物线 L 上． 2 1问题解决：如图 3，该小组以矩形 ABCD的顶点 A为原点，以 AB边所在的直线为 x轴，以 AD边所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：（1）直接写出 B ，C ，D三点的坐标；（2）直接写出抛物线 L 和 L 的顶点坐标，并分别求出抛物线 L 和 的函数表达式； 1 2 1 L2（3）为满足矩形电子显示屏 EFGH 的空间要求，需要 EH 边的长为15cm，求此时 EF边的长．74 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第75题★7．（2025 广西）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1) ．初始时，矩形义卖区 ABCD与遮阳伞投影 MNPQ的平面图如图 2 所示，P 在 AD上，MN = 3m，AN =1m，AP = 2m，AB = 3m，BC = 2.5m．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，MNPQ也随之移动 (MN始终在 AB边所在直线 1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图 3 为 MNPQ移动到 P 落在 BC上的情形．【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 MNPQ的位置．设遮阳区的面积为 S m2 ， MNPQ从初始时向右移动的距离为 x m．【直观感知】（1）从初始起右移至图 3 情形的过程中， S随 x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图 3 情形的 x与 S的值；【深入研究】（3）从图 3 情形起右移至M 与 A重合，求该过程中 S关于 x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果）75 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第76题★8．（2025 深圳）综合与实践【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．【研究条件】条件 1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数 已入场人数；条件 2：若该演出场地最多可开放 9 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 6 人．【模型构建】若该演出前 30 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 y与安检时间 x之间满足关系式：y = x2 + 60x +100(0 x 30)．结合上述信息，请完成下述问题：（1）当开通 3 条安检通道时，安检时间 x分钟时，已入场人数为 ，排队人数w与安检时间 x的函数关系式为 ．【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始 10 分钟内（包含 10 分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．76 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第77题★9．（2025 吉林）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计 A、B 的下方，从离桌面 20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．总结公式：当小铝块位于液面上方时， F =G ；当小铝块浸入液面后， ． 拉力 重力 F拉力 =G重力 F浮力【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计 A， B 各自的示数 F (N )与小铝块各拉力自下降的高度 x(cm) 之间的关系如图②所示．【解决问题】（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计 A和弹簧测力计 B 的示数．（2）当6 x 10时，求弹簧测力计 A的示数 F 关于 x的函数解析式． 拉力（3）当弹簧测力计 A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N) ，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N) ，则乙液体中小铝块浸入的深度为 n(cm) ，直接写出m，n的值．77 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第78题★10．（2025 贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度 y与水平距离 x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 F ，运动路径近似为抛物线C ，1且C 21 : y = ax + bx + c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G ，运动路径近似为抛物线C ，且21C2 : y = x2 + mx + n．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）51 1（1）如图②，当 a = ， b = 时，若点 F 坐标为 (2,0)，求抛物线C 的表达式； 12 2（2）在（1）的条件下，若 FG = 4，在水面上有一个截面宽 AB =1，高 BC = 0.5 的矩形 ABCD的障碍物，点 A的坐标为 (4.5,0) ，判断此时石块沿抛物线C 运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 2（3）小星在抛掷石块时，若C 的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点 F 在 (3,0)和 (4,0)11 1 3之间（包括这两点），其中M ( ，1) ，N (1,1)，Q( ， )，求 a的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物2 2 2线C 在同一平面内） 178 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第79题★11．（2025 自贡）如图 1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．（1）制作工具如图 2，在矩形木板HIJK 上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G ，过点O画射线QM / /HK ．测量时竖放木板，当重垂线OG / /HI 时，将等腰直角三角尺 ACB的直角顶点C 紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标 N ，测量 MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．测量时，QM 是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG ⊥QM就行．”求证：OG ⊥QM ．（2）获取数据如图 3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高 3 米，小蕊在 15 楼阳台 P 处测得塔底U 的仰角为5.1 ，在 25 楼对应位置D处测得塔底U 的俯角为9.1 ，塔顶T的仰角为14.5 ．如图 4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 Rt△VWZ， W = 90 ， WVZ =14.5 ，VW =10.0cm．在边WZ 上取两点 X ，Y，使 YVW = 5.1 ， XVY = 4.0 ，量得YW = 0.91cm，XY = 0.70cm，ZX = 0.94cm，则 tan 5.1 ， tan 9.1 ， tan14.5 （结果保留小数点后两位）．（3）计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．（4）反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在 2 米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于 50 字）．79 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第80题★12．（2025 青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方 1.8 米的 A点将球击出．信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在 y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y = ax2 + bx +1.8(a，b为常数）图象的一部分，其中 y（米 ) 是球的高度，x（米 ) 是球和原点的水平距离，图象经过点 (2,3.2) ， (4,4.2) ．信息二：球和原点的水平距离 x（米 ) 与时间 t（秒 )(0 t 1.6) 之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：0 0.4 0.6 t（秒 )x（米 ) 0 4 6 （1）求 y与 x的函数关系式；（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？（3）当 t为 1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数 y = 0.02x2 + px +m(p，m为常数）图象的一部分，其中 y（米 ) 是球的高度，x（米 ) 是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标 x为 2，纵坐标 y大于等于 1.8 时， p 的取值范围为 （直接写出结果）．80 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第81题★13．（2025 广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图 1 所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．发现问题确定 涉水线设置 限高架设置目标数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图 2 所示． 图 3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分 ACB和矩形 ADEB的三边构成．信息收集资料 当隧道内积水的水深为 0.27 米时 车辆进入隧道，应在行驶车道内整理 （即积水达到涉水线处），车辆应 通行（禁止压线），且必须保证车避免通行． 辆顶部与隧道顶部 ACB在竖直方向的空隙不小于 0.3 米．实地考察数据 斜坡的坡角 为10 ，并查得隧道的最高点C 到地面DE 距离采集 sin10 0.174 ， cos10 0.985，tan10 0.176． 为 5.4 米，两侧墙面高AD = BE = 3米，地面跨度DE =10 米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米．问题解决：（1）如图 2，求涉水线离坡底的距离MN （精确到 0.01 米）；（2）在图 3 中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 ACB的解析式；（3）限高架上标有警示语“车辆限高 h米”（即最大安全限商），求 h的值（精确到 1 米）．81 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第82题★★类型：圆综合（8题）★1．（2025 福建）如图，四边形 ABCD内接于 O， AD， BC的延长线相交于点 E ， AC ， BD相交于点F ．G 是 AB上一点，GD交 AC 于点H ，且 AB = AC， BG = DG．（1）求证： ABC = DBE + E；（2）求证： AH 2 = HF HC；（3）若 tan ABC = 5 ， AD = 2DE，CD = 6 ，求△ AGH 的周长．82 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第83题★2．（2025 长沙）如图 1，点O是以 AB为直径的半圆的圆心， AD与 BC均为该半圆的切线，C ，D均为直径 AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD = AD + BC．（1）求证：CD与该半圆相切；2 2 a b（2）当半径 r = 2 时，令 AD = a，BC = b，m = + ，n = + ，比较m与 n的大小，并2 + a 2 + b 1+ a 1+ b说明理由；（3）在（1）的条件下，如图 2，当半径 r =1时，若点 E 为CD与该半圆的切点，AC 与 BD交于点G ，连4 1接 EG 并延长交 AB于点 F ，连接 AE， BE，令 EG = x， + +CD = y，求 y关于 x的函数解析AE BE FG式．（不考虑自变量 x的取值范围）83 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第84题★3．（2025 连云港）已知 AD是△ ABC的高， O是△ ABC的外接圆．（1）请你在图 1 中用无刻度的直尺和圆规，作△ ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；AC AB（2）如图 2，若 O的半径为 R ，求证： R = ；2AD（3）如图 3，延长 AD交 O于点 E ，过点 E 的切线交OC 的延长线于点 F ．若 BC = 7 ，AD = 3 3 ， ACB = 60 ，求CF的长．84 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第85题★4．（2025 云南）如图， O 是五边形 ABCDE的外接圆， BD是 O 的直径．连接 AC ， BE ， CE ， AEC = ACF ．（1）若CE = CB，且 CBE = 60 ，求 BCE的度数；（2）求证：直线CF是 O的切线；（3）探究，发现与证明：已知 AC 平分 BAE，是否存在常数 2a，b，使等式 AC = aBC CE + bAB AE成立？若存在，请直接写出一个 a的值和一个b的值，并证明你写出的 a的值和b的值，使等式 AC2 = aBC CE + bAB AE成立；若不存在，请说明理由．85 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第86题★5．（2025 青海）活动与探究解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺正三角形 60 360 60 = 6 能正方形 ① ② 能正五边形 108 10 不能360 108 =3正六边形 120 360 120 = 3 能正七边形 900 900 14 不能360 =7 7 5正八边形 135 ③ ④ （1）请补全上述表格① ；② ；③ ；④ ．探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为 1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为 1 时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．观察图 1，发现 O是正三角形 ABC的内切圆，与 AC 切于点D，OD ⊥ AD， OAD = 30 ，OD =1，在Rt△ ADO中， AD = 3 ，则△ ABC的周长为 6 3 ．（2）如图 2，正方形 ABCD的周长为 ；（3）如图 3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．（4）若正多边形的周长都为 12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 ．【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．86 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第87题★6．（2025 宜宾）如图，已知 AE是 O的直径，D是 O上一点．过D作直线DB与 AE的延长线交于 B点．过点 A作 AC ⊥ BD于C 点，连结 AD、DE ，且 AED = ADC．（1）求证：直线 BC是 O的切线；3（2）若 AE =10， tan CAD = ，求DE 与 BD的长度；4（3）在（2）的条件下，若 F 为 AE上的一动点，且 F 在直线 AB上方，连结 AF 、DF 、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF 的长度．87 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第88题★7．（2025 德阳）在 O中直径 AB与弦CD交于点 E ，AC = 2BD，连接 AD，过点 B 作 O的切线与 AD的延长线相交于点 F ，CD的延长线与 BF的延长线相交于点G ．（1）若 AFB = 70 ，求 G的度数；（2）连接CO， AC ，再连接DO并延长交 AC 于点M ，①证明：DM ⊥ AC；②若CD AF =16 ，求 O的直径．88 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第89题★8．（2025 内江）如图，在△ ABC中， C = 90 ， ABC的平分线 BD交 AC 于点D，点O是边 AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆， O恰好经过点D，交 AB于点 E ．（1）求证：直线 AC 是 O的切线；（2）若点 E 为 AO的中点， AD = 3，求阴影部分的面积；5（3）连接DE ，若 sin DBA = ，求 cos A的值．589 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第90题★★类型 6：新定义（8题）★1．（2025 江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 x 时，其对应的函数值 ，那么我们0 = m y0 = m称该函数为“不动点函数”，点 (m,m)为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 y = x2 中，当 x =1时，y =1，则我们称函数 y = x2 为“不动点函数”，点 (1,1)为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．探究 1（1）对一次函数 y = kx + b(k 0) 进行探究后，得出下列结论：① y = x + 2是“不动点函数”，且只有一个不动点；1② y = 3x + 2是“不动点函数”，且不动点是 ( ,0) ；2③ y = x是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）．（2）若一次函数 y = kx + b(k 0) 是“不动点函数”，请直接写出 k，b应满足的条件．探究 2（3）对二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y = x2 2bx + c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b， c满足的关系式．探究 3（4）某种商品每件的进价为 6 元，在某段时间内，若以每件 x元出售，可卖出 (12 x) 件，获得利润 y元．请写出 y关于 x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．90 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第91题★2．（2025 福建）阅读材料，回答问题．【主题】两个正数的积与商的位数探究．【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“ 46 2 = 92；35 21= 735； 663 11= 7293 ；186 362 = 67332 ”，猜想：m位的正整数与 n位的正整数的乘积是一个(m + n 1)位的正整数．【分析探究】问题 1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．【推广延伸】小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 a 10n，则称这个数的位数是 n +1，数字是 a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数 A， B ，C 的位数分别为m，n， p ，数字分别为 a，b，c，且 A B = C，则必有 c a且 c b，或 c a且 c b．并且，当 c a且 c b时， p = m + n 1；当 c a且 c b时， p = m + n．证明：依题意知， A， B ，C 用科学记数法可分别表示为 a 10m 1，b 10n 1 ， c 10p 1，其中a，b， c均为正数．由 A B = C，得 ab 10m+n 2 = c 10p 1，ab即 =10 p m n+1． (*)ca ab ab a 1 1 ab ab当 c a且 c b时， 1，所以 b 10 ，又 ，所以 10 ．由 (*) 知， =1，所以c c c c 10 10 c cp = m + n 1； a ab 1 b 10 c a c b c cab当 且 时， ，所以 ，所以1 10 ，与 (*) 矛盾，不合题意； b ab c 1 a 1 c c当 c a且 c b时，① ；当 c a且 c b时，② ．综上所述，命题成立．A【拓展迁移】问题 2 若正数 A、 B 的位数分别为m， n，那么 的位数是多少？证明你的结论．B（1）解决问题 1；（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；（3）解决问题 2．91 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第92题★3．（2025 深圳）综合与探究【探索发现】如图 1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图 2，在△ ABC中，AB = AC，AC = AD， D = BAC．此时，四边形 ABCD是“双等四边形”，△ ABC是“伴随三角形”．【问题解决】如图 3，在四边形 ABCD中， AB = AC， AD = CD， D = BAC．求：① AD与 BC的位置关系为： ；② AC2 AD BC．（填“ ”，“ ”或“=” )【方法应用】①如图 4，在△ ABC中，AC = BC．将△ ABC绕点 A逆时针旋转至△ ADE ，点D恰好落在BC边上，求证：四边形 ABDE是双等四边形．3②如图 5，在等腰三角形 ABC中， AC = BC， cosB = ， AB = 5，在平面内找一点D，使四边形 ABCD5是以△ ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．92 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第93题★4．（2025 北京）在平面直角坐标系 xOy中，对于点 A和 C给出如下定义：若 C上存在两个不同的点M ，N ，对于 C上任意满足 AP = AQ的两个不同的点 P ，Q，都有 PAQ MAN ，则称点 A是 C的关联点，称 MAN 的大小为点 A与 C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）（1）如图， O的半径为 1．1 4①在点 A1( ，0) ，A2 ( ，0) ，A 中，点 是 O的关联点且其与 O的关联角度小于90 ，该点3 (2,0)2 3与 O的关联角度为 ；②点 B(1,m) 在第一象限，若对于任意长度小于 1 的线段 BD， BD上所有的点都是 O的关联点，则m的最小值为 ；（2）已知点 E(1,3)，F(4,3) ，T (t,0) ， T 经过原点，线段 EF上所有的点都是 T 的关联点，记这些点与 T 的关联角度的最大值为 ．若90 180 ，直接写出 t的取值范围．93 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第94题★5．（2025 长沙）我们约定：当 x ，y ，x ，y 满足 (x + y )2 + (x + y 2 ，且1 1 2 2 x + y 0 时，称点 (x ，1 2 2 1) = 0 1 1 1y1)与点 (x ，y )为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请2 2你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“ ”，错误的打“ ” ) ；k①函数 y = (k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；x②函数 y = 2x +1一定不是“对偶函数”；③函数 y = x2 + x 1的图象上至少存在两对“对偶点”．（2）若关于 x的一次函数 y = k1x + b 与1 y = k2x + b (b，b 都是常数，且b 均是“对偶函数”，求这2 1 2 1 b2 0)两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；（3）若关于 x的二次函数 y = 2ax2 1是“对偶函数”，求实数 a的取值范围．94 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第95题★6．（2025 长春）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．【探究一】线段的最小覆盖圆线段 AB的覆盖圆有无数个，其中，以 AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段 AB的最小覆盖圆一定经过点 A、点 B ．如图①，以 AB为直径作 O，再过 A、B两点作 O (O 与O不重合），连结O A，O B．在△O AB中，有O A+O B AB( ▲ ) ．O A =O B， 2O A AB，即 O 的直径大于 O的直径． O是线段 AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为 ．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在 Rt△ ABC中， ACB = 90 ． O是以 AB为直径的圆．请你判断点C 与 O的位置关系，并说明理由．又由【探究一】可知， O是 Rt△ ABC最长边 AB的最小覆盖圆，所以， O是 Rt△ ABC的最小覆盖圆．【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形 ABCD中， AB =1cm， BC = 2cm．（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形 ABCD的最小覆盖圆；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）（2）该矩形 ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 cm．95 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第96题★7．（2025 兰州）在平面直角坐标系 xOy中，对于图W 上或内部有一点 N（不与原点O重合），及平面内一点 P ，给出如下定义：若点 P 关于直线ON 的对称点 P 在图W 上或内部，则称点 P 是图W 的“映射点”．（1）如图 1，已知图W ：线段 AB， A( 1, 1)，B(1, 1)．在1 P1( 1,0)，P2 (1,2) 中， 是图W 的“映射1点”；（2）如图 2，已知图W ：正方形 ABCD， A( 1, 1)，B(1, 1)，C(1,1) ，D( 1,1)．若直线 l : y = x + b上存2在点 P 是图W 的“映射点”，求b的最大值； 2（3）如图 3，已知图W : T ，圆心为T (0,t) ，半径为 1．若 x轴上存在点 P 是图W 的“映射点”，请直接3 3写出 t的取值范围．96 / 123★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第97题★8．（2025 青岛）【定义新运算】ab★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★★中考数学压轴题每日一题参考答案★★类型 1：二次函数代几综合 (1- 26题) +二次函数无图代数推理 (27- 32)★1．【分析】 (1)待定系数法求解析式即可；(2)求出D，E点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线 y=-1上移动，根据抛物线 y= (x- h)2- 1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为 E(2,1)时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； ∴当 y= (x- h)2- 1过点E(2,1)时， (2- h)2- 1= 1，(3)先求出C点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联 解得： h= 2- 2或 h= 2+ 2，立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐∴当- 1 ≤ h≤ 2+ 2时，抛物线 y= (x- h)2- 1与标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作MH⊥ 4CT ， NF ⊥ CT 根 据 TC 平 分 ∠ MTN ， 得 到 线段DE有公共点；tan∠NTF = tan∠MTH，设 T (1,t)，根据正切的定 (3)存在，义，列出比例式进行求解即可． ∵ y= kx- k，∴当 y= 0时， x= 1，【解答】解： (1) ∵抛物线 y= ax2+ bx过点 (-1,3)，且 ∴C(1,0)，抛物线的对称轴为直线 x= 1，对称轴为直线 x= 1， ∴点C在抛物线的对称轴上，b ∵PQ过点C，且与直线AB垂直，∴ - 2a =1，解得 a=1 a-b=3 ，b=-2 ∴直线 PQ的解析式为： y =- 1 (x - 1)，即： y =k则该抛物线解析式为： y= x2- 2x； - 1 x+ 1 ，(2)当 k= 1时，则 y= x- 1， k k∴ = =- = = 联立 y=kx-k当 x 0， y 1，当 x 2时， y 1， = 2- ，整理，得 x2- (k+ 2)x+ k= 0，y x 2x∴D(0, -1)，E(2,1)， ∴ xA+ xB= k+ 2， yA+ yB= kxA- k+ kxB- k= k(xA∵ y= (x- h)2- 1， + x 2B) - 2k= k，∴顶点坐标在直线 y=-1上移动， ∵M为AB的中点，∵ y= (x- h)2- 1与线段DE有公共点，k+2 k2 y=- 1 x+ 1∴联立 y=(x-h)2-1 ∴M , ，联立 k k ， = - ， 2 2 y=x2-2xy x 1整理，得 x2- (2h+ 1)x+ h2= 0， 同理可得：N 1- 1 , 1 ，2k 2k2 ∴当△= (2h+ 1)2- 4h2= 0， 作MH⊥CT，NF⊥CT，即 h=- 1 时，满足题意，4将 y= (x- h)2- 1从 h=- 1 开始向右移动，直至抛物4 ∵TC 平分∠MTN，∴∠NTF=∠MTH，线与线段DE只有一个交点为 E(2,1)时， y= (x- h)2 ∴ tan∠NTF= tan∠MTH，∴ MH = NF ，- 1与线段DE均有公共点， TH TF·1·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★k+2 -1 1-1+ 1 则点F的坐标为 (x,x- 6)，设T(1,t)，则 2 = 2k ，2 2t- k t- 1 ∴PF= x- 6- (x - 5x- 6) =-x2+ 6x，2 2k21 ∵PF y轴，解得： t=- ，2 ∴∠PFQ=∠OCQ，∠FPQ=∠COQ，∴抛物线的对称轴上存在T 1,- 1 ，使得TC 总是平 ∴△QPF∽△QOC，2 QP PF 1分∠ 2MTN． ∴ = = (-x + 6x) =-1 (x- 3)2+ 3 ，QO OC 6 6 22．【分析】 (1)利用待定系数法求二次函数的解析式；∴ = QP当 x 3时， 取得最大值为 3 ，这时点P的坐(2)先求出直线BC的解析式，然后设点P的坐标为 (x, QO 2x2- 5x- 6)，过点 P作 PF y轴交 BC于点 F，交 x 标为 (3, -12)，轴于点H，点F的坐标为 (x,x- 6)，求出PF长，再证 把点 P向上平移 4个单位长度得到点G，点G的坐标明△QPF∽△ PQQOC，根据对应边成比例求出 的最 为 (3, -8)，连接GD，OQ 则四边形DEPG是平行四边形，大值，把点 P向上平移 4个单位长度得到点Q，点Q ∴DG=PE，的坐标为 (3, -8)，连接 GD，即可得到 BD + PE = 即BD+PE=BD+DG，BD+DG，连接AG，则AG是最小值，利用勾股定理由A，B关于 x= 5 对称性可得点A的坐标为 (-1,0)，即可解答； 2(3)根据平移得到抛物线 y'的解析式，然后过点 P作 连接AG，则BD+PE=BD+DG的最小值为AG长，PQ⊥ y轴于点Q，过点N作NK⊥ x轴于点K，连接 即AG= AH 2+HG2= 42+82= 4 5，PM，即可得到 ∠NAB = ∠OPM - 45 ° = ∠OPQ = 即BD+PE的最小值为 4 5；∠POB，设点 N 的坐标为 (a ,a 2 - a - 14 )，根据 (3) ∵AB=AC= 6，tan∠NAB= tan∠OPQ，列等式求出 a的值即可． ∴∠ABC=∠ACB= 45°，2 ∵将抛物线 y= x2+ bx+ c沿射线BC方向平移 2 2个【解答】解： (1)设抛物线的解析式为 y= x- 52 + k， 单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两把 (6,0)代入得 49 + k= 0，解得 k=- 49 ， 个单位长度得到抛物线 y'，4 422 5 49 2∴ y= x- 5 - 49 = x2- 5x- 6； 即 y = x- +2 - - 2= x - x- 14，2 4 2 4(2)令 x= 0，则 y=-6， 过点P作PQ⊥ y轴于点Q，过点N作NK⊥ x轴于点∴点C的坐标为 (0, -6)， K，连接PM，2设直线BC的解析式为 y=mx+n， 设点N的坐标为 (a,a - a- 14)，6m+n=0 m=1 由平移得∠QPM= 45°，把 (6,0)和 (0, -6)代入得 ，解得 n=6 n=- ，6 ∴ ∠NAB = ∠OPM - 45° = ∠OPQ + ∠QPM - 45° =∴ y= x- 6， ∠OPQ=∠POB，设点P的坐标为 (x,x2- 5x- 6)，过点P作PH y轴 如图 1，交BC于点F，交 x轴于点H，如图，∵ tan∠NAB= tan∠OPQ，·2·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★12 -(a2= -a-14)即 ， 4) (a≠ 0)，得-10a=-4，解得： a=2 ，3 a-(-1) 5解得 a=-5(舍去)或 a= 2， ∴ y= 2 x+ 5 (x- 4) = 2 x2- 3 x- 4；5 2 5 5∴点N的坐标为 (2, -12)；(2)当 y= 2 x+ 5 (x- 4) = 0时，如图 2， 5 2则 x1=- 5 ， x2= 4，∴A(4,0)，2∵M是OA的中点，∴M (2,0)，∴OM= 2，∵B(0, -4)，∴设直线AB的解析式为： y= kx- 4，把A(4,0)，代入，得 k= 1，∴ y= x- 4，∵点M作OA的垂线，交 AB于点 C，交抛物线于点D，∴C(2, -2)，D 2,- 185 ，∴CD=-2+ 18 = 8 ，5 5∵ tan∠NAB= tan∠OPQ， ∴△BCD的面积= 1 CD OM= 1 × 2× 8 = 8 ；即 12 = a2-a-14 2 2 5 5，3 a-(-1) (3)①由题意，作图如下：连接BF，作FQ⊥OB于点Q，解得 a= 5+ 97 或 a= 5- 97 (舍去)，2 2∴点N的坐标为 5+ 97 ,14+2 97 ；2综 上 所 述 ， 点 N 的 坐 标 为 ( 2 , - 12 ) 或 5+ 97 ,14+2 97 ．23．【分析】 (1)待定系数法求出函数解析式即可；(2)求出点A的坐标，进而得到点M的坐标，求出直线AB的解析式，进而求出点 C的坐标，求出点D的 由 (2)可知：OA=OB= 4，坐标，根据 △BCD的面积 = 1 CD OM进行求解即2 ∴∠OAB=∠OBA= 45°可； ∵将线段OE绕点O顺时针旋转 90°得到OF，(3)①根据要求作图即可，连接 BF，作 FQ⊥OB于 ∴OE=OF，∠EOF= 90° =∠BOA，点Q，证明△AOE △BOF，得到∠OBF=∠OAE= ∴∠AOE=∠BOF，45°，BF=AE= 2，进而得到△FQB为等腰直角三 又∵OA=OB，OE=OF，角形，求出 F点坐标，将 F点的横坐标代入抛物线的 ∴△AOE △BOF(SAS)，解析式，判断点F是否在抛物线上即可； ∴∠OBF=∠OAE= 45°，BF=AE= 2，②连接 BF并延长，交 x轴于点G，连接 PM， PF， ∵FQ⊥OB，MF，作MH⊥ BG于点H，斜边上的中线得到MP= ∴△FQB为等腰直角三角形，1 OA= 2，根据PF≥MF-PM，得到当M，P， F ∴FQ=BQ= 2 BF= 1，2 2三点共线时， PF最小，同①可知， ∠OBF=∠OAE ∴OQ=OB-BQ= 3，∴F(-1, -3)，= 45°，得到点 F在射线 BG上运动，进而得到当MF 对于 y= 2 x2- 3 x- 4，⊥BG时，即 5 5F与点H重合时，MF最小，此时PF最 2 3小为MH- PM，易得△OBG为等腰直角三角形，求 当 x=-1时， y= + - 4=-3，5 5出OG的长，进而求出MG的长，易得△MHG为等腰 ∴点F在抛物线上；直角三角形，求出MH的长，根据 PF最小为MH - ②连接BF并延长，交 x轴于点G，连接PM，MF，PM，计算即可． 作MH⊥BG于点H，如图，【解答】解： (1)把 B(0, -4)，代入 y= a x+ 5 (x-2·3·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★【解答】解： (1)令 x= 0，则 y= 3，可得 C的坐标为(0,3)．令 y= 0，则-x2+ 2x+ 3= 0，解得 x=-1或 x= 3．故点B的坐标为 (3,0)，设直线BC的表达式为 y= kx+ b，故 b=3, k=-1, 解得 ，3k+b=0. b=3.∵∠ = ° ∴直线BC对应函数的表达式为 y=-x+ 3．OPA 90，M为OA的中点，1 (2)不存在实数m使得 y1+ 2y2= 10，理由如下：∴PM= OA= 2，2 方法一：把M (m,y1)，N (m+ 2,y2)代入二次函数 y=∵PF≥MF-PM， -x2+ 2x+ 3中，∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 可得 y 21=-m + 2m+ 3， y2=- (m+ 2)2+ 2(m+ 2) +同①可得，∠OBF=∠OAE= 45°， 3=-m2- 2m+ 3，∴点F在射线BG上运动， ∴ y1+ 2y2=-m2+ 2m+ 3+ 2(-m2- 2m+ 3) =-3m2∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此 - 2m+ 9，时PF最小为MH-PM， 2配方得 y1+ 2y2=-3 m+ 1 + 9 1 ．∵∠OBG= 45°， 3 31∴△OBG为等腰直角三角形， 故当m=- 时， y1+ 2y 的最大值为 912 ≠ 10．3 3∴OG=OB= 4，∠BGO= 45° 故不存在实数m使得 y1+ 2y2= 10；∴MG=OG+OM= 6，△MHG为等腰直角三角形， 方法二：由方法一得 y 21+ 2y2=-3m - 2m+ 9．∴MH= 2 MG= 3 2， 当 y1+ 2y2= 10时，即-3m2- 2m+ 9= 10，整理可得23m2+ 2m+ 1= 0．∴PF的最小值为MH-PM= 3 2- 2．∵△= 4- 12=-8< 0，4．【分析】 (1)由解析式可知 C (0,3)，令 y= 0，则∴方程没有实数根．-x2+ 2x+ 3= 0．解得 x=-1，或 x= 3．点B的坐标∴不存在实数m使得 y + 2y = 10；为 (3,0)，最后由待定系数法可求直线BC的表达式； 1 21+ 5 1- 5(2)方法一：把M (m,y1)，N (m+ 2,y )代入 y=-x2+ (3)m= 或m= ，理由如下：2 2 222x+ 3中，可得 y1+ 2y2=-3 m+ 13 + 91 ，求出此 如图 1，作NH y轴，交 x轴于点H，交BC于点N '，3作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM ' y轴，交BC于点函数的最大值，即可判断；方法二：由方法一，得 y1+ 2y2=-3m2- 2m+ 9．当 y1+M '，2y2= 10时，可得方程-3m2- + = 则MM ' NN '，2m 9 10，整理方程后用根的判别式考虑方程的解的问题；(3)作 NH y轴，交 x轴于点H，交 BC于点 N '，作PQ⊥ NH，垂足为 Q，作MM ' y轴，交 BC于点M '，则MM ' NN '，当 x= 1-m时， y=- (1-m)2+ 2(1-m) + 3=-m2+ 4．点P的坐标为 (1-m, -m2+ 4)，点N的坐标为 (m+ 2, -m2- 2m+ 3)，点Q的坐标为 (m+ 2, -m2+ 4)，点H的坐标为 (m+ 2,0)，点N '的坐标为 (m+ 2, -m+ 1)．从而可知 NQ= PQ= |2m + 1 |， BH = HN ' = | -m + 1 |．故 ∠PNQ =∠BN 'H= 45°．证明△MDE∽△MNP，由面积比可推2 2得 MD = 1 MN，即 MD = ND．再证明 △MM 'D' ∽ 当 x= 1-m时， y=- (1-m) + 2(1-m) + 3=-m2 + 4．△NN 'D，由 MM = MD = 1 ，即MM ' = NN '，由 2NN ND 1 ∴点P的坐标为 (1-m, -m + 4)．此用含m的式子表示线段长列方程求解即可． ∵点N的坐标为 (m+ 2, -m2- 2m+ 3)，·4·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴点Q的坐标为 (m+ 2, -m2+ 4)，点H的坐标为 (m ∴C(0,3)，+ 2,0)， 设直线BC表达式为： y= kx+ b，点N '的坐标为 (m+ 2, -m+ 1)． 6k+b=0 k=-1则 ，解得： 2 ，∴NQ=PQ= |2m+ 1|，BH=HN ' = | -m+ 1|． b=3 b=3∴∠PNQ=∠BN 'H= 45°． ∴直线BC:y=- 1 x+ 3，∴PN BC， 22 ∵DE⊥AB，∴△MDE∽△MNP．∴ MD = 1 ，MN 4 ∴D t,- 1 t2+t+3 ，E t,- 1 t+3 ，∴MD= 1 4 2 MN，即MD=ND．2 ∴DE=- 1 t2+ t+ 3- - 1 t+3 =- 1 t2+ 3 t，∵MM ' NN '，∴△MM 'D∽△NN 'D． 4 2 4 2 1 3MM MD 1 ∴DE=- t2+ t(0< t< 6)；∴ = = ，即MM ' =NN '， 4 2NN ND 1 ②存在，∵点M的坐标为 (m, -m2+ 2m+ 3)，2 1 2 1 22 2 2∴点M '的坐标为 (m, -m+ 3)． CD = t + - t +t+3-3 = t +4 - t +t4 ，∴m2- 3m = | -m2-m + 2|，即m2-m - 1 = 0或 2而CE= t2+ - 1 t+3-3 = 5 t，-4m=-2， 2 2解得m= 1+ 51 2 3 5或m= 1- 5 或m= 1 (此时 P与 当DE=CE时，- t + t= t，2 2 2 4 2 2M重合，舍去)， 解得： t= 6- 2 5或 t= 0(舍)，1= 1+ 52= 1- 5 ∴- t + t + 3 =-1 × (6 - 2 5 )2+ 6 - 2 5 + 3 =故m 或m ． 4 42 25．【分析】 (1)运用待定系数法即可求解； 4 5- 5，∴D(6- 2 5 ,4 5- 5)，( 2 ) ① 求 出 直 线 BC : y =- 1 x + 3 ， 则2 2当CD=DE时， t2+ - 1 t2+t = - 1 t2+ 32t4 4 2 ，D t,- 1 t2+t+3 ， E t,- 1 t+3 ，即可用 t的代数4 2 整理得： t2(-t+ 1) = 0，式表示DE； 解得： t= 1或 t= 0(舍)，②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立 ∴- 1 t2+ t+ 3=- 1 × 12+ 1+ 3= 15 ，∴D 1, 15 ，方程求解即可； 4 4 4 4 2 2(3)在 y轴负半轴取点N (0, -6)，连接NG并延长交 x 当CD=CE时， t2+ - 1 t2+t = 5 t ，4 2 轴于点M，连接AN，证明 △BOE △NOG(SAS)，2 1 2 1 3则∠CBO=∠MNO，确定点G在线段MN上运动 (不 整理得： t t - t+ = 0，16 2 4包括端点)，故当 AG⊥ MN时， AG最小，可证明 解得： t= 2或 t= 6(舍)或 t= 0(舍)，△COB △MON (ASA)，求得MN = OM 2+ON 2 = ∴- 1 t2+ t+ 3=- 1 × 22+ 2+ 3= 4，∴D(2,4)，4 43 5，而当 AG ⊥ MN 时， S 1△AMN = AM ON =2 综上： △CDE是等腰三角形时， D(2,4)或 D 1, 154 1 MN AG，即可由面积法求最小值．2 或D(6- 2 5 ,4 5- 5)；【解答】解： (1) ∵抛物线 y= ax2+ bx+ 3与 x轴交于 (3)在 y轴负半轴取点N (0, -6)，连接NG并延长交 xA，B两点 (点A在点B左侧)，与 y轴交于点C，OA 轴于点M，连接AN，= 2，OB= 6，∴A(-2,0)，B(6,0)，4a-2b+3=0 a=- 1∴ + + = ，解得： 4 ，36a 6b 3 0 b=1∴抛物线表达式为 y=- 1 x2+ x+ 3；4(2)①对于抛物线表达式 y=- 1 x2+ x+ 3，4当 x= 0， y= 3，由旋转得：OE=OG，∠EOG= 90°，·5·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∵B(6,0)，∴OB=ON， 即A(-3,0)，B(1,0)，∴∠BON= 90°， 把A(-3,0)，C(0,3)代入 y= x2+ bx+ c中，可得∴∠EOM=∠GON= 90° -∠MOG， c=3 ，解得 b=4，∴△BOE △NOG(SAS)，∴∠CBO=∠MNO， 9-3b+3=0 c=3∴点G在线段MN上运动 (不包括端点)， 故 b的值为 4， c的值为 3；∴当AG⊥MN时，AG最小， (2)由 (1)知G2的表达式为 y= x2+ 4x+ 3，∵∠CBO=∠MNO，OB=ON，∠COB=∠MON， 设P(t， 0) (-3≤ t≤ 0)，则M (t, -t2- 2t+ 3)，N (t,2∴△COB △MON (ASA)，∴OM=OC= 3， t + 4t+ 3)，2 2∴MN= OM 2+ON 2= 3 5， 故 MN =- t - 2 t + 3 - t - 4 t - 3 =- 2 t2 - 6 t =2∴当AG⊥MN时，S = 1 AM ON= 1 MN AG -2 t+ 3 + 9 ，△AMN 2 2 2 2∴ 1 × 5× 6= 1 × 3 5 ×AG，∴AG= 2 5； 即MN的最大值为9 ；2 2 21 (3)作MS⊥AC于点 S，RN⊥AC于点R，设MN交方法 2：设E t,- t+3 ，2 AC于点E，如图 1所示，∵OE绕O点顺时针旋转 90°，∴G - 1 t+3，-t2 ，∴AG= 5 (t-2)2+20，4当 t= 2时，AG的最小值为 2 5．∴线段AG长度的最小值 2 5．6．【分析】 (1)先求出A(-3,0)，B(1,0)，C(0,3)，再用待定系数法可求 b， c的值；(2)由 (1)知G2的表达式为 y= x2+ 4x+ 3，设P(t， 0)(-3≤ t≤ 0)，则M (t, -t2- 2t+ 3)，N (t,t2+ 4t+ 3)，故 MN =- t 2 - 2 t + 3 - t 2 - 4 t - 3 =- 2 t 2 - 6 t =2-2 t+ 3 + 9 ，根据二次函数的性质即可得到MN2 2的最大值； 由待定系数法可知直线AC的表达式为 y= x+ 3，(3)作MS⊥AC于点 S，RN⊥AC于点R，设 交 ∴∠CAB= 45°，∴∠MES=∠NER= 45°，MNAC于点 E，如图 1所示，由待定系数法可知直线 ∵MS=m，RN=n，AC的表达式为 y = x + 3，则 ∠CAB = 45 °， ∠ ∴ME= 2m，RN= 2n，MES =∠ = ∵E(t,t+ 3)，NER 45°，MS=m，RN= n，从而ME= 2m，= ∴ME= t2+3t，NE= t2+3t，RN 2n，即ME=NE= t2+3t ，进而得m=n，① 2当m+ n= 4时，即 = = ，故 = ，又- 即ME=NE= t +3t，进而可得m=n，m n 2 MN 4 2 3 ①当m+n= 4时，≤ t≤ 0时，MN 9max= < 4 2，那么由图可知当 t<2 即m=n= 2，故MN= 4 2，-3时或 t> 1时，共 2种情况满足题意；②当m- n= 当-3≤ t≤ 0时，MN 9max= < 4 2，3时，即m= n+ 3，这与m= n相矛盾，故不成立， 2对应的 值有 个；③当 = 时，由 = 可知， 那么由图可知当 t<-3时或 t> 1时，共 2种情况满足t 0 mn 2 m n= = ，故 = ，故 2+ = ，即 2+ = 题意，m n 2 ME 2 t 3t 2 t 3t± ，可解得 有 个值； 故对应的 t值有 2个；2 t 4m ②当m-n= 3时，即m=n+ 3，这与m=n相矛盾，④当 = 1时，m= n恒成立，所以对应的 t值有无n 故不成立，对应的 t值有 0个；数个． ③当mn= 2时，由m=n可知，m=n= 2，【解答】解： (1) ∵二次函数 y=-x2- 2x+ 3=- (x+ 故ME= 2，3) (x- 1)， ∴ t2+3t = 2，即 t2+ 3t=±2，∴令 y= 0，可得 x=-3或 1，·6·中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★解得 t=-2或-1或 -3- 17 或 -3+ 17 ， 连接NG，作EH⊥EN于H，2 2 ∵E(1, -4)，C(0, -3)，故对应的 t值有 4个； ∴EH=CH= 1，④当 m = 1时，n ∴∠ECH=∠CEH= 45°，∵m=n恒成立，∴对应的 t值有无数个． 由①知，故答案为： 2， 0， 4，无数． 四边形BOCF是正方形，7．【分析】 (1)可求得D(2, -3)，进而将点D和点A ∴∠BCO= 45°，坐标代入抛物线的解析式，求得 a， b，进一步得出结 ∴∠BCO=∠ECH，果； ∵CG=OC，CM=CN，(2)①可求得OF= 3 2，从而得出OM+ FM≥OF= ∴△OCM △GCN (SAS)，3 2，当O、M、F共线时，OM+FM最小，可证得 ∴NG=OM，四边形BOCF是正方形，进而得出点M坐标； ∴OM+BN=NG+BN≥BG，②连接 NG，作 EH ⊥ EN 于 H，可证得 △OCM ∴当B、N、G共线时，OM+BN最小，△GCN，从而NG=OM，从而得出OM+BN=NG+ ∵∠BCG= 90°，BC= 3 2，CG= 3，BN≥BG，根据∠BCG= 90°，BC= 3 2，CG= 3得 ∴BG= (3 2)2+32= 3 3，出BG，从而得出结果； ∴ (OM+BN )最_小；(3)设 EP交 AB于 F，作 FW⊥ BC于W，可得出 (3)如图 2，AC=FC，从而∠FCO=∠OCA，进而推出∠OAP=∠BCF，进而得出 tan∠OAP= tan∠BCF= FW =CW1 ，从而 PF = 1 ，从而求得PF，进而得出结果．2 AF 2【解答】解： (1)由题意得，C(0, -3)，D(2, -3)，∴ a-b-3=0 a=1 2+ - =- ，∴ =- ，a 2 2b 3 3 b 2∴抛物线的解析式为： y= x2- 2x- 3，∵ y= x2- 2x- 3= (x- 1)2- 4，∴E(1, -4)；(2)①∵C(0, -3)，D(2, -3)， 设EP交AB于F，作FW⊥BC于W，∴CD⊥OC， ∵E(1, -4)，∵CF=CO= 3，∴OF= 3 2， ∴F(1,0)，∴OM+FM≥OF= 3 2， ∵A(-1,0)，当O、M、F共线时，OM+FM最小， ∴OA=OF，由 x2- 2x- 3= 0得， ∵OC⊥AF，x1=-1， x2= 3，∴B(3,0)，∴BF⊥OB， ∴AC=FC，∵∠BOC= 90°，∴四边形BOCF是矩形， ∴∠FCO=∠OCA，∴矩形BOCF是正方形，∴M 3 ,- 3 ； ∵∠OCB= 45°，2 2②如图 ， ∴∠FCO+∠BCF= 45°，1∵∠OAP+∠OCA= 45°，∴∠OAP=∠BCF，∵BF=OB-OF= 2，∠OBC= 45°，∴FW=BW= 2，∵BC= 3 2，∴CW=BC-BW= 2 2，∴ tan∠OAP= tan∠BCF= FW = 1 ，CW 2·7·★中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴ PF = 1 ， - 1 t2+ t+ 3 =- 1 t2+ t，AF 2 2 2 2∴PF= 1 AF= 1， ∴ f= 2 t- 1 t2+t =-t2+ 4t，2 2 ∴P(1,1)或 (1, -1)， 当 1< t≤ 2时，抛物线弧 CP的最高点为 C，最低点故答案为： (1,1)或 (1, -1)． 为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： t，- 38．【分析】 (1)待定系数法进行求解即可； 2(2)一般式化为顶点式，求出T点坐标，根据P点横坐 - (-2) =1 ，2标，得到 P t, 1 t2-t- 3 ，进而求出 PH， TH，进 ∴ f= 2 t+ 12 2 2 = 2t+ 1，行求解即可； 当 2< t< 3时，抛物线弧 CP的最高点为 P，最低点(3)①求出C点，B点坐标，分 0< t≤ 1， 1< t≤ 2， 为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： t， 1 t22< t< 3三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利 23 1用周长公式，列出函数关系式即可； - t- + 2= t2- t+1 ，2 2 2②根据PQ x轴，得到P，Q关于对称轴对称，进而 ∴ f= 2 t+ 1 t2-t+ 1 = t2+ 1，求出Q点坐标，分 0< t≤ 1， 1< t≤ 2， 2< t< 3三 2 2 -t2+4t (0种情况，求出 g的函数关系式，再根据 f+ g= 11 ，分 2 综上： f= 2t+1 (1别求出满足题意的 t的值，进而求出PQ的长即可． t2+1 (2【解答】解： (1)把A(-1,0)代入 y= 1 x2- x+ c， ②∵PQ x轴，21 ∴P，Q关于对称轴对称，得 + 1+ c= 0，2 ∴Q 2-t, 1 t2-t- 33 2 2 ，∴ c=- ，2 当 0< t≤ l时，抛物线弧 CQ的最高点为 C，最低点(2)由 (1)可知： y= 1 x2- x- 3 = 1 (x- 1)2- 2， 为 T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： 2- t，2 2 2 3 1∴T(1, -2)， - - (-2) = ，2 2∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为 t， ∴ g= 21 3 2-t+1 = 5- 2t，2∴P t, t2-t- ，2 2 ∵ f+ g= 11 ，∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， 22 11∴PH= ∴-t + 4t+ 5- 2t= ，1- t， TH= 1 t2- t- 3 + 2= 1 t2- t+ 1 22 2 2 22 2= 1 (t- 1)2， 解得： t= 1+ (舍去)或 t= 1- ，2 2 2PH 2∴ = (1-t)2 ∴PQ= 2- t- t= 2- 2t= 2，= 2；TH 1 (t-1)2 当 1< t≤ 2时，抛物线弧 CQ的最高点为 C，最低点2 为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： 2- t，(3)①当 x= 0时， y=- 3 ，当 y= 1 x2- x- 3 = 02 2 2 - 3 - 1 t2-t- 3 =- 1 t2+ t，时， x1=- 1， x = 3， 2 2 2 221 2 2∴ c 0,- 3 ， ( , ∴ g= 2 2-t- t +t =-t + 4，B 3 0)， 2 2 11由 (2)可知：T(1, - ) ∵ f+ g= ，2 ，P t, 1 t2-t- 3 ，对称轴为 22 22 11直线 x= 1， ∴ 2t+ 1- t + 4= ，2∴点 c 0,- 3 关于对称轴的对称点为 2,- 3 ，2 2 解得： t= 1+2 或 t= 1- 2 (舍去)，2 2∵P在第四象限， ∴PQ= t- 2+ t= 2t- 2= 2；∴ 0< t< 3， 当 2< t< 3时，抛物线弧 CQ的最高点为Q，最低点当 0< t≤ 1时，抛物线弧 CP的最高点为 C，最低点 为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： t- 2，为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： t，- 3 1 22 t - t-3 - - 3 = 1 t2- t，2 2 2 2·8·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴ g= 2× 1 t2-t+t-2 = t2- 4； 称轴为直线 x= 3，2∴L 1 11∵ + = 11 ， 2经过点C ,2 和 ,2 ，f g 2 2 2 ∴L2不能经过点D，∴ t2+ 1+ t2- 4= 11 ，2 (3)①∵A(0,3)，P(3,12)，解得： t=- 17 (舍去)或 t= 17 ， 当E，P重合时，则E(3,12)，2 2 ∵M是AE的中点，∴PQ= t- 2+ t= 2t- 2= 17- 2，∴M 3 , 15综上：PQ= 2或 17- 2 ，2 2 9．【分析】 (1)待定系数法求解析式即可求解； ∵点M 3 , 15 恰好落在L2上，L2经过点C 1 ,22 2 2 ，(2)根据题意得出 yD=23 ，代入抛物线解析式得出 24 2= 1 2 -3 a+d1 23 1 23 ∴D , 或 , ，而 L 经过点 C 1 ,2 和 15 3 2 ，2 4 2 4 2 2 2 = 2 -3 +d 1111,2 ，即可得出结论； 解得： a=- ；2 8( )①先求得 3 , 15 和 1 , ，代入解析式，待 ②直线AE:y= kx+n(k> 0)交L1于点E，A(0,3)，3 M C 22 2 2 ∴n= 3，定系数法求解析式，即可求解； ∴直线AE的解析式为 y= kx+ 3，②根据题意得出直线AE的解析式为 y= kx+ 3，根据∵ y= a(x- 3)2+ d(a< 0)经过点C 1 ,2 ，y= a(x- 3)2+ d(a< 0)经过点C 1 ,2 ，得出 y= a(x 2 2∴ 2= 25 a+ d，- 3)2+ 2- 25 a= ax2- 6ax+ 11 a+ 2，联立直线解 44 4 25析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ∴ d= 2- a，4E 6a+k2 2 25 11, 6ak+k +3 ， M 6a+k , 6a+k k+3 ， ∴ y= a(x- 3) + 2- a= ax2- 6ax+ a+ 2，a a 2a 2a 4 42 2将 代入 =- 2 + + ，得出 6ak+k + = y=ax -6ax+ 114 a+2E y x 6x 3 3a 联立 ，y=kx+3- (6a+k)2+ 6× 6a+k + 3①，根据点M为直线AE2 a 消去 y得， ax2- kx- 6ax+ 11a - 1= 0，a 4与 L 2的唯一公共点，得出 △ = (k + 6a) 2 - 4 × a × ∴ x + x = 6a+k21 2 ，则E 6a+k , 6ak+k +3 ， 11aa a a -1 = 0②，联立解得 k的值，即可求解．4 ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半，【解答】解： (1) ∵抛物线 y=-x2+ bx+ c经过点A(0, ∴M 6a+k2, 6a+k k+3 ，即 6a+k , 6ak+k +3 ，3)，B(6,3)，顶点为P， 2a 2a 2a 2a 2∴ c=3将E代入 y=-x + 6x+ 3， -36+6b+ ，c=3 6ak+k2∴ + (6a+k)23=- + 6× 6a+k + 3①解得： 2b= 6， c= 3， a a a∴ y=-x2+ 6x+ 3=- (x- 3)2+ 12， ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点，∴P(3,12)； ∴△= (k+ 6a)2- 4× a× 11a -1 = 0②，4(2) ∵点D在L1(第一象限)上，到 x轴的距离为 23 ，4 联立①②得： a=-1 或 a=-1 ，则 y = 23k=6- 15 k=6+ 15D ，4 当 k= 6+ 15时，唯一公共点不在第一象限，不符合∴当 y= 23 时， 23 =-x2+ 6x+ 3， 题意，4 4 ∴ k= 6- 15．解得： x= 1 或 x= 11 ，2 2 10．【分析】 (1)依据题意，结合表格数据可得，二次∴D 1 , 23 或 11 , 23 ， 函数的对称轴是直线 x=-2+0 =-1，则可设二次函2 4 2 4 2∵抛物线 y= a(x- 3)2+ d(a< 0)经过点C 1 ,2 ，对 数为 y= a(x+ 1)2+ k，结合图象过 (0, -2)， (1,1)，可2 得-2= a(0+ 1)2+ k，且 1= a(1+ 1)2+ k，进而求出·9·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★a， k后即可判断得解； ③当n- 1≤ 0时，即n≤ 1，(2)依据题意，结合 (1)y= (x+ 1)2- 3，可得顶点坐标 ∴当 x= 0时， y取最小值为 (1-n)2- 3；当 x= 3时，为 (-1, -3)，进而可以作图得解； y取最大值为 (4-n)2- 3．(3)依据题意，由二次函数的图象向右平移 n个单位长 又∵最大值与最小值的差为 5，度后，则新函数为 y= (x+ 1- n)2- 3，故此时对称轴 ∴ (4-n)2- 3- (1-n)2- 3= 5．是直线 x= n- 1，函数图象开口向上，然后分三种情 ∴n= 5 > 1，不合题意．形分别讨论计算，进而可以得解． 3综上，n= 1+ 5或n= 4- 5．【解答】解： (1)由题意，结合表格数据可得，二次函-2+0 11．【分析】 (1)代入点A、B的坐标，求得系数，即数的对称轴是直线 x= =-1．2 可得到解析式；∴可设二次函数为 y= a(x+ 1)2+ k． (2)过点P作PQ BC交 y轴于点Q，连接CQ，进行又∵图象过 (0, -2)， (1,1)， 等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，∴-2= a(0+ 1)2+ k，且 1= a(1+ 1)2+ k． 从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即∴ a= 1， k=-3． 可解得点P的坐标；∴二次函数为 y= (x+ 1)2- 3，即 y= x2+ 2x- 2． ( 3 ) 将 RT △ CBO 绕点 C 逆时针旋转 90 ° 得到(2)由题意，结合 (1)y= (x+ 1)2- 3， RT△CRQ，则△BCR为等腰直角三角形．由旋转性质∴顶点坐标为 (-1, -3)． 可得点R的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形作图如下． 的性质，可知G为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点 G的坐标；(4)根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析CF取最小值和最大值时候点F所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出CF的最小值，进而可得CF的范围．【解答】解： (1)解：将A(-1,0)，B(6,0)代入抛物线的解析式 y= ax2+ bx+ 3，1得 a-b+3=0 a=-，解得 2 36a+6b+3=0 b= 5 ，2(3)由题意，∵二次函数的图象向右平移 n个单位长度 ∴抛物线的解析式为 y=- 1 x2+ 5 x+ 3．后， 2 2(2)解：过点P作PQ BC交 y轴于点Q，连接CQ，∴新函数为 y= (x+ 1-n)2- 3．如图 a所示，∴此时对称轴是直线 x=n- 1，函数图象开口向上．则S =S = 24，∴①当 3≤n- 1时，即n≥ 4， △QBC △PBC∴当 x= 0时， y取最大值为 (1-n)2- 3；当 x= 3时，y取最小值为 (4-n)2- 3．又∵最大值与最小值的差为 5，∴ (1-n)2- 3- (4-n)2+ 3= 5．∴n= 10 < 4，不合题意．3②当 0∴当 x= 0或 x= 3时， y取最大值为 (1- n)2- 3或 (4-n)2- 3；当 x=n- 1时， y取最小值为-3．又∵最大值与最小值的差为 5， ∴ 1 BQ CO= 24，∴ (1-n)2- 3+ 3= 5或 (4-n)2- 3+ 3= 5． 2∴ n= 1+ 5或 n= 1- 5 (不合题意，舍去)或 n= 4 ∵点C(6,0)，则CO= 6，+ 5 (不合题意，舍去)或n= 4- 5． ∴BQ= 8，·10·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★又∵B(0,3)， 故OE= DE 2+OD2= 36+9= 3 5，∴点Q(0, -5)， ∵OM EN，∴△OMG∽△ENG，∵B(0,3)，C(6,0)， ∴ OG = OM = 1 ， EG = 2 ．EG EN 2 OE 3∴直线BC的解析式为 y=- 1 x+ 3，2 作GH⊥DE于点H，如图 c所示，∵PQ BC，∴直线PQ的表达式为 y=- 1 x- 5， ∵GH OD，∴△GHE∽△ODE，21 1 5 ∴ EG = GH HE联立 =- - 5与 =- 2+ + 3，可解得 = = =2 ，y x y x x x2 2 2 EO OD DE 3-2或 8， ∴GH=2 OD= 2， HE= 2 DE= 4，DH= 6- 4=3 3故P1(-2, -4)，P2(8, -9)． 2，故DG= 2 2．( 3 ) 将 RT △ CBO 绕点 C 逆时针旋转 90 ° 得到 取DG中点 J，连接FJ、CJ，RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形． ∵∠DFG= 90°，从而∠CBR= 45°，如图 b所示： ∴根据斜边中线定理可得FJ= 1 DG= 2，2故CF≥CJ-FJ，当且仅当 J、F、C共线时取等号．易知点 J坐标为 (1, -2)，C(6,0)，故 CJ = 52+22 = 29，则 CF ≥ CJ - FJ = 29 -2．当点 N与点D重合时，点 F与点D重合，此时 CF最大，即CF=OE= 3 5，综上所述，CF的取值范围为 29- 2≤CF≤ 3 5，故答案为： 29- 2≤CF≤ 3 5．12．【分析】 (1)利用待定系数法求解即可；又 ∵点 G是第四象限内抛物线上的一点， ∠CBG = (2)根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即45°， 可；∴点G为BR延长线与抛物线的交点． (3)QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求由旋转可知 ∠BOC = ∠RSC = 90°， BO = RS = 3， 出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出mOC=SC= 6， 的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可；故点R坐标为 (3, -6)， (4)根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临由待定系数法可知直线BR的表达式为 y=-3x+ 3， 界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可．联立 y=-3x+ 3与 y=- 1 x2+ 5 x+ 3，整理可得 x22 2 【解答】解： (1)将 (2, -1)代入 y= x2+ bx-得，-1- 11x= 0，解得 x= 11或 0(舍去)， = 4+ 2b- 1，故点G坐标为 (11, -30)，故答案为： (11, -30)． 解得 b=-2，(4)由题意知四边形OCED为矩形，OD= BO= 3， ∴抛物线的解析式为 y= x2- 2x- 1；DE=OC= 6． (2)如图所示，面积比保持不变为 5 ，理由如下：连接OE，交MN于点G，如图 c所示， 4根据题意可得，∠M=∠ODQ= 90°，∠Q=∠Q，·11·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴△QOD∽△QPM， 故Q(-2 3- 2, -2)；∴ OP = 1 OQ = 2 ， 综上，Q(2 3- 2, -2)或Q(-2 3- 2, -2)；OQ 2 PQ 3 (4)①当 PQ经过顶点 T时，过点 T作 TE⊥ x轴，交S∴ △QOD2=S 2 = 4 ， x轴于点E，△QPM 3 9S则 四边形ODMP = 9-4 = 5 ；S△QOD 4 4(3)如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，由 ∠PNO = ∠TEO = 90 °， ∠PON = ∠TOE 得，△PON∽△TOE，∴ PN = TE m2，即 -2m-1 = 2 ，解得m= 1(舍-2 ON OE -m 1该抛物线的顶点横坐标为- = 1，2 去)，或m=-1，4×(-1)-(-2)2纵坐标为 =- ， ∴当点P向左运动时，满足题意，24 ∴m≤-1；该抛物线的顶点坐标为 (1, -2)， ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥∵∠PNO=∠ODQ= 90°，∠NPO=∠DOQ， x，交 x轴于点E，∴△PON∽△OQD，且相似比为 OP = 1 ，OQ 2根据顶点纵坐标可得，OD= 2，则 PN2= 1 ，即 m -2m-1 = 1 ，OD 2 2 2解得m= 1± 3，①当m= 1- 3时，即为如图所示，此时 |xQ| = 2|xP| = 2 3- 2，点Q在第四象限，故Q(2 3- 2, -2)； 同理， △PON ∽ △QOE，相似比仍为 1 此时， Q[2②如图所示， -2m，-2(m2- 2m- 1)]，代入抛物线解析式得，-2(m2- 2m- 1) = (-2m)2+ 4m- 1，解得m= 2 (舍去)，或m=- 2 ，2 2此时，当 P点向下一直移动，直至到 x轴时，都符合题意，当 x2- 2x- 1= 0时，解得 x1= 1- 2， x2= 1+ 2，∴当- 2 ≤m< 1- 2时，符合题意；2③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，当m= 1+ 3时，此时点P在第一象限，点Q在第三 点P在第四象限，象限，此时 |xQ| = 2|xP| = 2 3+ 2，·12·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★当-5< x< 0时，PE=-x- 5- (x2+ 4x- 5) =-x2- 5x，DE= x+ 5，∴-x2- 5x= 3(x+ 5)，解得 x=-3，或 x=-5(舍去)，∴ x2+ 4x- 5=-8．∴P1(-3, -8)；当 0< x< 1时，PE当 x> 1时，PE= x2+ 4x- 5- (-x- 5) = x2+ 5x，DE= x+ 5， x2+ 5x= 3(x+ 5)，思路同②，此时Q[-2m，-2(m2- 2m- 1)]，代入抛 解得 x= 3，或 x=-5(舍去)，物线解析式得，-2(m2- 2m- 1) = (-2m)2+ 4m- 1， ∴ x2+ 4x- 5= 16，解得 =- 2 (舍去)，或 = 2 ， ∴P2(3,16)，m m2 2 故P点坐标为P1(-3, -8)，P2(3,16)；此时，当 P点向右一直移动，直至到 x轴时，都符合题意，∴当 2 2综上m≤-1或- 2 ≤m< 1- 2或 2 2 22时符合题意．13．【分析】 (1)把A(1,0)， B(-5,0)代入 y= ax2+bx- 5，解方程组，求出 a， b的值，即得；(2)求出C(0, -5)，直线BC的解析式 y=-x- 5，设P(x,x2+ 4x- 5)，则E(x, -x- 5)，分 x<-5，-5< x< 0， 0< x< 1和 x> 1，四种情况解答；(3)过点 F， P作 FG⊥ x轴于G， PH⊥ x轴于H，得 ∠AGF= ∠AHP= 90°，根据等腰直角三角形．得AF = AP， ∠PAF = 90 °，得 ∠FAG = ∠APH，得△AFG △PAH(AAS)，得AH=FG，PH=AG，设P(m,m2+ 4m- 5)，分-5 1两种情况解答．【解答】解： (1) ∵抛物线 y= ax2+ bx-交 x轴于A(1,0)，B(-5,0)两点，∴ a+b-5=0 a=1(3)过点F，P作FG⊥ x轴于G，PH⊥ x轴于H， - ，解得 ，25a 5b-5=0 b=4 则∠AGF=∠AHP= 90°，∴ y= x2+ 4x- 5； ∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．(2)y= x2+ 4x- 5中，当 x= 0时， y=-5， ∴AF=AP，∠PAF= 90°90°，∴C(0, -5)， ∴∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH= 90°，∴设直线BC的解析式为 y= kx- 5， ∴∠FAG=∠APH，∵B(-5,0)，∴-5k- 5= 0，∴ k=-1， ∴△AFG △PAH(AAS)，∴ y=-x- 5，设P(x,x2+ 4x- 5)， ∴AH=FG，PH=AG，则E(x, -x- 5)， 设P(m,m2+ 4m- 5)，当 x<-5时，PE= x2+ 4x- 5- (-x- 5) = x2+ 5x， 当-5DE=-x- 5， 5，∵PE= 3ED，∴ x2+ 5x= 3(-x- 5)， ∴FG= 1-m，∴-x- 5= 1-m，∴ x=m- 6，解得 x=-3(不合)，或 x=-5(舍去)， ∴F(m- 6,1-m)，∴AG= 1- (m- 6) = 7-m，∴点P不存在； ∴-m2- 4m+ 5= 7-m，·13·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★解得m=-1，m=-2， ∴A 1 ，- 3 ，∴P坐标为 (-1, -8)，或 (-2, -9)； 2 4 3 11当m> 1时，AH=m- 1，PH=m2+ 4m- 5， ∵A、C关于M点对称，∴C ，2 4 ；∴FG=m- 1， (3)由 (2)知m= 1 时，A、B关于对称轴对称，∴-x- 5=m- 1， 2∴ =- - ， 当 01 时，最高点纵坐标为m2x m 4 - 2m，最低点2∴F(-m- 4,m- 1)， 为-1，∴AG= 1- (-m- 4) =m+ 5， ∴m2- 2m+ 1= 1 ，∴m2+ 4m- 5=m+ 5， 2解得m= 2，m=-5(舍去)， 解得m=2- 2 或m= 2+ 2 (舍)；2 2∴P坐标为 (2,7)； 当 1 ≤m< 1时，最高点纵坐标为m2- 1，最低点为故P坐标为 (-1, -8)，或 (-2, -9)，或 (2,7)． 2-1，∴m2- 1+ 1= 1 ，2解得m= 2 或m=- 2 (舍)；2 2综上所述：m的值为 2- 2 或 2 ；2 2(4) ∵A、C关于点M对称，B、D关于M点对称，∴MA=MC，MB=MD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC，过点O作直线EF BC，∴EF AD，14．【分析】 (1)将点 (3,3)代入 y= x2+ bx，求出 b即 ∵∠AOB=∠OAD+∠OBC，可求解析式； ∴∠OBC=∠BOF，∠OAD=∠FOA，(2)先求抛物线的对称轴为直线 x= 1，由A，B两点关 ∵A(m,m2- 2m)，B(m+ 1,m2- 1)，于该抛物线的对称轴对称，可得 2m + 1 = 2，求出 ∴C(2-m,2-m2+ 2m)，D(1-m,3-m2)， 1 ，- 3 ，再由 、 关于 点对称，求出 点 直线OA的解析式为 y= (m- 2)x，直线OB的解析式A A C M C2 4 为 y= (m- 1)x，即可； 21 直线AD的解析式为 y=2m -2m-1 x+m2- 2m-(3)当 02 m(2m2-2m-3)点为-1，当 1 ≤m< 1时，最高点纵坐标为m2- 1， ，2 2m-1最低点为- 2m2-2m-31，分别求出相应的m的值即可； 直线 BC的解析式为 y = x + m 2 - 1 -2m-1(4)根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，过点O (m-1)(2m2-2m-3)作直线 EF BC，满足条件的m的临界位置分别为当 - ，2m 12OA与AD重合时，当OB与BC重合时． 当OA与AD重合时， 2m -2m-1- =m- 2，解得m【解答】解： (1)将点 (3,3)代入 2m 1y= x2+ bx， 5∴ 9+ 3b= 3，解得 b=-2，∴ y= x2- 2x； = ，3(2) ∵点A、B横坐标分别为m、m+ 1， 当OB与BC重合时， 2m2-2m-3 =m- 1，解得m∴A(m,m2- 2m)，B(m+ 1,m2- 1)， 2m-1∵ y= x2- 2x= (x- 1)2= 4，- 1，5∴对称轴为直线 x= 1， ∴ ∵A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，∴ 2m+ 1= 2，解得m= 1 ，2·14·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★a= 1解得 2 9 ．c=- 2答：点A的坐标为 (3,0)， a， c的值分别为 1 , - 9 ．2 2(2)①证明：如图，15．【分析】 (1)先求出A(3,0)， B - 7 ,- 16 ，再3 9 分别代入 y2= ax2+ c，列出二元一次方程组，即可解答；(2)①设直线AB的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，将A(3,设直线AB的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，由条件可得：0)，B - 7 ,- 16 分别代入，得直线AB的解析式为 13 9 3k+b=0 k=7 16 ，解得 3- + =- ，k by= 1 x- 1，设点E的坐标为 m, 1 m-1 ，求出 y2= 3 9 b=-13 31 ∴ y=1 x- 1，x2- 9 ， 32 2 1D m, 1 m2- 9设点E的坐标为 m, m-1 ， ， C m,- 1 m2+ 1 m+ 3 ，则 CE 3 2 2 4 2 4 1=- 1a=m2+ 1 2m+ 7 ， ∵ ，4 6 4 c=- 92DE= 2 - 1 m2+ 1 m+ 7 ，即可解答． 1 2 94 6 4 ∴ y2= x - ，2 2②当AC DB时，△ACE∽△BDE，当AD BC时，将 x=m代入 y 得D m, 1 m2- 9 ，△BCE∽△ADE，再分类讨论，即可解答； 1 2 2 - 14 (x-1)2+ 1 1 31 - 7 ≤x<3 将 x=m代入 y2，得C m,- m2+ m+3 ，(3)易得 y 4 2 43 = ，当 x =1 x2 92 - 2 (x≥3) ∴ CE =- 1 m 2 + 1 m + 3 - 1 m-1 =- 1 m 2 +4 2 4 3 4- 7 时， y 113取得最小值为 - 5 ，解出 t= 5 ；当 x 1 73 9 t 3 m+ ，6 4= 1时，函数 y 83的最大值为 - t，解得 t= 5 ；当 y3 3 2 DE = 1 m-1 - 1 m2- 9 =3 2 2 = 1时， 1 x2- 9 = 1，解得， x = 11或 - 11 (舍 1 1 72 2 2 - m2+ m+ ，4 6 4去)， 1≤ 5 -n≤ 11，即可解答．3 ∴DE= 2CE；【解答】解： (1)令- 1 (x- 1)2+ = ， ②如图：1 04解得 x1=-1， x2= 3，∴A(3,0)，将 x=- 7 代入 y =- 1 (x- 1)2+ 1，得 y =- 163 1 4 1，9∴B - 7 ,- 16 ，3 9 将A(3,0)，B - 7 ,- 16 分别代入 y = ax22 + c，得3 9 9a+c=0 49 + =- 16 ，9 c 9 当AC DB时，△ACE∽△BDE，∴ DE = BE = 2，CE AE·15·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴ AE = yE = 1 ， ②根据图象可知，当 y< 0时，即抛物线在 x轴下方的AB yB 3 部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论；1即 3m-1= 1 ，解得m= 11 ． (3)设点 P的坐标为 (0,a)，先由两点间的距离公式得- 16 3 99 AC2= 50，AP2= 9+ a2，CP2= a2- 10a+ 29，再分当AD BC时，△BCE∽△ADE， 两种情况讨论：当 AP为斜边时，则 AP 2 = AC 2 +∴ DE = BE CP2= 2， ，当CP为斜边时，则CP2=AC 2+AP2，分别解CE AE 方程即可．∴ AE = yE = 2 ， 【解答】解： (1)将A(1,0)、 C(2,5)代入 y= ax2+ bxAB yB 31 - 3(a≠ 0)得，3 m-1即 = 2 ，解得m=- 5 ， a+b-3=0- 16 3 9 ，9 4a+2b-3=5∴m= 11 或m=- 5 ． a=19 9 解得 = ，b 2- 1 (x-1)2+1 - 7 ≤x<3 ∴抛物线的解析式为 y= x2+ 2x- 3；(3)由条件可知 = 4 3y3 ，12 x2- 92 (x≥3) (2)①令 y= 0，则 x2+ 2x- 3= 0，7 解得 x=-3或 x= 1，∴当- ≤ x≤ 1时， y随 x的增大而增大；当 1< x<3 ∴点A的坐标为 (-3,0)；3时， y随 x的增大而减小； ②根据图象可知，当 y< 0时， x的取值范围为-3<当 x≥ 3时， y随 x的增大而增大．且当 x=- 7 时，3 x< 1，y 取得最小值． 故答案为：-3< x< 1；3∵当- 7 ≤ ≤ - 11 - 5 (3)设点P的坐标为 (0,a)，x t n时，函数 y3 3的最小值为 ，9 t ∵A(-3,0)，C(2,5)，最大值为 8 - t，3 ∴AC2= (2+ 3)2+ (5- 0)2= 50，AP2= (0+ 3)2+ (a7 11 5 11 - 0)2= 9+ a2，CP2= (0- 2)2+ (a- 5)2= a2∴当 =- 时， - 10a+x y3 3取得最小值为 - ，即 -9 t 9 29，5 =- 16 ，t 9 ∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，解得 = 5 ． ∴分以下两种情况讨论：t3 当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2，∵- 7 ≤ x≤ t-n时，函数 y 83 3的最大值为 - t，3 ∴ 9+ a2= 50+ a2- 10a+ 29，∴当 x= 1时，函数 y 的最大值为 8 - t，即 8 - t= 解得 a= 7，3 3 3 ∴P1(0,7)，1， 当CP为斜边时，则CP2=AC2+AP2，解得 t= 5 ； ∴ a23 - 10a+ 29= 50+ 9+ a2，当 y2= 1时， 1 x2- 9 = 1，解得 a=-3，2 2 ∴P2(0, -3)，解得， x= 11或- 11 (舍去)， 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7)，P2(0, -3)．∴ 1≤ t-n≤ 11， 17．【分析】 (1)理解题意，分别把A(3,0)，C(0,3)代∵ t= 5 ，3 入 y=-x2+ bx+ c进行计算，即可作答；∴ 1≤ 5 -n≤ 11，化简得-2≤-3n≤ 3 11- 5， (2)先得B(-1,0)，A(3,0)，再证明△DMB∽△ENB，35 2 运用DE:BE= 1:2，得DM = 3 ，设点E的纵坐标为解得， - 11≤n≤ ． EN 23 3 2m，则点D的纵坐标为 3m，再分别求出AC的解析16．【分析】 (1)将A(1,0)、C(2,5)代入 y= ax2+ bx- ( 式为 y=-x+ 3， BE的解析式为 y=m3 a≠ 0)得方程组，解方程组即可； 2- (x+ 1)，m(2)①令 y= 0，则 x2+ 2x- 3= 0，解方程即可求出点 整理得点D(5- 3m,3m)，因为点D为抛物线上第一象A的坐标； 限内一点，得 3m=- (5- 3m)2+ 2(5- 3m) + 3，解得·16·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★m1= 1，m = 4 ，即可作答； 把 y= 2m代入 y=-x+ 3，2 3 得 2m=-x+ 3，∴ x= 3- 2m，∴E(3- 2m,2m)，(3)先求出F(1,4)，再整理得平移后的抛物线的解析式设BE的解析式为 y= tx+ q(t≠ 0)，为 y=- (x-m)2+ n，因为点P(m,n)在 y=- (x- 1)2把E(3- 2m,2m)，B(-1,0)分别代入 y= tx+ q，+ 4上，则 (m- 1)^{2} = 4- n，即N (1, -4+ 2n)，m故 PF 2= PN 2，所以△PFN是等腰三角形，再结合解 得 2m=t(3-2m)+qt= 2-m ，解得 ，FH 0=-t+q q= m直角三角函数得∠FPH= tan60° = ，代入数值计 2-mHP ∴ BE的解析式为 y = m x + m = m算得 4- n= 3 (m- 1)，再运用换元法进行整理得 (t 2-m 2-m 2- (x +m- 3 ) = 0，解得 t = 0， t = 3，平移后的抛物线解 1)，1 2析式为 y=- (x- 1- 3 )2+ 1，求出 x1= 2+ 3， x2 依题意，把 y= 3m代入 y= m- (x+ 1)，2 m= 3，即可作答．得 3m= m- (x+ 1)，则 x= 5- 3m，【解答】解： (1)依题意，分别把A(3,0)，C(0,3)代入 2 my=-x2+ bx+ c， 即点D(5- 3m,3m)，∵点D为抛物线上第一象限内一点，且 y=-x2+ 2x+得 0=-9+3b+c 3= ，c 3，∴ 3m=- (5- 3m)2+ 2(5- 3m) + 3，解得 b=2； 整理得 3m2- 7m+ 4= (m- 1) (3m- 4) = 0， c=3∴m1= 1,m 42= ，(2)由 (1)得 b= 2， c= 3， 3则 y=-x2+ 2x+ 3，C(0,3)， 此时 y= m- (x+ 1)的 2-m≠ 0，2 m令 y= 0，则 0=-x2+ 2x+ 3= (-x+ 3) (x+ 1)，故m1= 1，m = 4 是符合题意的，∴ x1= 3， x2=-21， 3故B(-1,0)，A(3,0)， 当m= 1时，则 5- 3m= 5- 3= 2， 3m= 3，此时D分别过点E、D作EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示： (2,3)，当m= 4 时，则 5- 3m= 5- 4= 1， 3m= 3× 4 = 43 3此时D(1,4)，综上：D(2,3)或D(1,4)；(3)存在，过程如下：由 (2)得 y=-x2+ 2x+ 3，整理 y=-x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4，∵EN⊥OA，DM⊥OA， ∵F为抛物线的顶点，∴F(1,4)，∴∠ENB=∠DMB= 90°， ∵平移抛物线使得新顶点为P(m，n) (m> 1)，P又在∵∠DBM=∠EBN， 原抛物线上，新抛物线与直线 x= 1交于点N，∴△DMB∽△ENB， 连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN= 120°，∴ DM = BD ， 如图所示：EN BE∵DE:BE= 1:2，∴DB:BE= 3:2，∴ DM = 3 ，EN 2设点E的纵坐标为 2m，则点D的纵坐标为 3m，设AC的解析式为 y= kx+ r(k≠ 0)，∵C(0,3)，A(3,0)，∴ 3=r = + ，0 3k r ∴平移后的抛物线的解析式为 y=- (x-m)2+n， r=3 把 x= 1代入 y=- (x-m)2+n，解得 k=- ，1 得 yN=- (1-m)2+n，∴AC的解析式为 y=-x+ 3，·17·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∵点P(m,n)在 y=- (x- 1)2+ 4上， ∴ y=- (x+ 1) (x- 3)，∴n=- (m- 1)2+ 4， ∴ y=-x2+ 2x+ 3；∴ (m- 1)2= 4-n， (2)①把 x= 0代入 y=-x2+ 2x+ 3，得 y= 3，∴ y 2N=- (1-m) +n=-4+n+n=-4+ 2n， ∴C(0,3)，∴N (1, -4+ 2n)， 如图，延长DC与 x轴相交于点G，∵P(m,n)，N (1, -4+ 2n)，F(1,4)，∴PF 2= (m- 1)2+ (n- 4)2，PN 2= (m- 1)2+ [n- (-4+ 2n)]2= (m- 1)2+ (n- 4)2，则PF 2=PN 2，即PF=PN，∴△PFN是等腰三角形，∵∠FPN= 120°，∴∠EPH= 1 × 120° = 60°，2则 tan∠FPH= tan60° = FH = 4-n = 3， ∵B(3,0)，C(0,3)，HP m-1∴ 4-n= 3 (m- 1)， ∴OB=OC= 3，令 t=m- 1， ∵∠COB= 90°，∴ 4-n= 3 t， ∴∠CBO= 45°，即n=- 3 t+ 4， ∵∠DCB= 90° =∠BCG，∵n=- (m- 1)2+ 4， ∴∠CGB= 90° -∠CBO= 90° -45° = 45°，∴- 3 t+ 4=-t2+ 4， ∴∠GCO= 180° -∠COG-∠CGB= 180° -90° -45° =即 t2- 3 t= 0， 45°，∴ t(t- 3 ) = 0， ∴OG=OC= 3，∴G(-3,0)，∴ t = 0,t = 3， 设直线CG的解析式为： y= kx+m(k≠ 0)，1 2∴m- 1= 0，或m- 1= 3， 把C(0,3)，G(-3,0)代入，∴m= 1(舍去)或 3=m k=1m= 3+ 1， 得 ，解得 ，0=-3k+m m=3∴P(1+ 3 ,1)， ∴直线CG的解析式为： y= x+ 3，∴平移后的抛物线解析式为 y=- (x- 1- 3 )2+ 1， ∵点D是直线CG与二次函数的交点，令 y= 0，则 0=- (x- 1- 3 )2+ 1，∴联立解析式 y=x+3∴ (x- 1- 3 )2= 1， y=- 2+ + ，x 2x 3即 x- 1- 3=±1，解得 x=0或 x=1，∴ x1= 2+ 3， x2= 3， y=3 y=4则 |x1- x2| = 2+ 3- 3= 2， ∴D(1,4)；∴新抛物线与 x轴存在两个不同的交点，这两个交点之 ②如图，过点D作二次函数的对称轴平行于 y轴，过间的距离为 2． 点O作OH EF交二次函数的对称轴于点H，且OH18．【分析】 (1)利用两点式求解抛物线解析式； =EF= 2，连接HE，设DH交 x轴为点G，(2)①延长DC与 x轴相交于点G，证明△COG是等腰直角三角形，从而得到G点坐标，求出直线 CG的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作OH EF，且OH=EF= 2，连接HE，DH，设DH交 x轴为点G，然后证明四边形OFEH是平行四边形，根据DE+ EH≥DH，得出DE+ EH=DH时，DE+EH最小，进一步求出DH即可．【解答】解： (1) ∵A(-1,0)，B(3,0)，在二次函数 y=-x2+ bx+ c的图象上，设该二次函数为 y=- (x- x ) (x- x )， ∵OH EF，且OH=EF，1 2·18·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴四边形OFEH是平行四边形， 当 x = 61 时， t的最大值为 18 ．∴OF=EH， 5 5【解答】解： (1)把点A(2,2)代入二次函数 y= ax(x-∵∠CBO= 45°，4) (a≠ 0)中，∴∠BOH= 45°，1∴△OGH为等腰直角三角形， 得-4a= 2，故 a=- ，2∴OG=GH， 故此二次函数的表达式为 y=- 1 x2+ 2x．∵OH=EF= 2，OG2+GH 2=OH 2， 2(2)证明：选择①：由A(2,2)可知直线OA的表达式为∴OG=GH= 1，y= x，∴H(1, -1)，1 2∵DE+EH≥DH， 由题意可知 P x1，- x1+2x1 ， B ( x 1， x 1 )，2∴当DE+EH=DH时，DE+EH最小， Q x，- 12 x22+2x2 ，C(x2， x2)，∵D(1,4)，H(1, -1)， 2∴DH= 5．此时D、E、H三点共线且DH⊥ x轴， 故PB=-1 x21+ 2x1- x1=- 1 x21+ x，QC=- 1 x22 2 1 2 2+∴点 F的坐标为 (0,3)与点 C重合，满足 EF在线段 x2，BC上， ∵PB>QC，即- 1 x2+ x >- 1 x21 1 2+ x22，∴DE+OF的最小值为 5． 2 219．【分析】 (1)把点A(2,2)代入二次函数 y= ax(x- 整理可得1 (x2- x2 1) (x2+ x1)> x2- x1，由于 x2- x1>4)中，可得 a=- 1 ，进而可得二次函数的表达式； 0，2 1(2)先求出直线OA的表达式为 y= x，选择①：由题意 故 (x2+ x1)> 1，2可 知 P x1，- 1 x2+2x ， B ( x ， x ) ， 即 x + x > 2；2 1 1 1 1 1 21 1 选择②：同理得R x 13，- x23+2x3 ，D(x3， x3)，Q x2，- x22+2x2 ， C (x2， x2)，故 PB =- x2 2 2 1 + 21 故RD=-1 x2+ x，x1，QC=- x22+ x2，根据 PB>QC，可得不等式 23 32∵PB>RD，即- 1 x2+ x >- 1 x2+ x，- 1 x2+ x >- 1 x2+ x21 1 2 2，整理变形后可得 x1+ x2> 2； 21 1 2 3 32 2整理可得 1 (x3- x1) (x3+ x1)> x3- x1，由于 x3- x1<选择②：同理得R x，- 1 x23 3+2x3 ，D(x3， x3)，故 22 0，RD=- 1 x23+ x3，由PB>RD，可得不等式- 1 x2+2 2 1 故 1 (x3+ x1)< 1，x >- 12x21 3+ x3，整理变形后可得 x1+ x2 3< 2； 即 x1+ x3< 2；(3 ) 由待定系数法可求得直线 AP 的表达式为 y = (3 ) 由待定系数法可求得直线 AP 的表达式为 y = 1- 1 x1 x+ x1，设直线AP交 y轴于点G，如图 2所 1- 1 x1 x+ x1，2 2示，先证明△GOA △TOA(SAS)，进而可得∠AMN 设直线AP交 y轴于点G，如图 2所示，=∠TAO，再证明 △TOA △TNM (AAS)，可得 TN= TO = x 1， ON = 2x 1，作 QH⊥ x轴于点 H，则tan ∠ QHQTH = =- 9 x 1 + 6，又 tan ∠QTH =TH 4OQtan∠Q 1 9 9 21TO，即 =- x + 6，故OQ =- x +OT 4 1 1 4 16x 1．由待定系数法可得直线 RT 的表达式为 y = 1 x 1 2 1 24 1-2 x - x1+ 2x1，即 OR1=- x1+ 2x4 4 1，故R1Q1=OQ1+OR =- 51 x21+ 8x1， t= R1Q1-ON=2- 52x21+ 8x1- 2x =- 5 x21 1+ 6x1=- 5 x - 61 + 18 ，2 2 2 5 5 则OG= x1=OT，·19·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∵∠GOA=∠TOA= 45°， (3)过C在 y轴右侧作射线 CM，使∠OCM= 45°，过在△GOA和△TOA中， A作 AH⊥ CM于 H， AH交 y轴于 Q，证明 △QCH OG=OT 是等腰直角三角形，可得 QH = 2 CQ， ∠CQH = ∠GOA=∠TOA， 2OA=OA 45 °，故 2AQ + 2 CQ = 2 AQ+ 2 CQ = 2(AQ +∴△GOA △TOA(SAS)， 2∴∠ =∠ ， QH ) = 2AH，由垂线段最短可知，此时 2AQ+ 2CQPAO TAO∵∠ =∠ ， 最小，最小值为 2AH，由△AQO是等腰直角三角形，AMN PAO∴∠ =∠ ， 得OQ=OA= 1，AQ= 2OA= 2，即得Q(0,1)，AMN TAO∵AO= 22+22= 2 2=MN， 再求出 CQ = OC - OQ = 4，可得 QH =2 CQ =2在△TOA和△TNM中， 2 2，AH=AQ+QH= 3 2，从而知 2AQ+ 2CQ ∠TMN=∠TAO 的最小值为 6 2． ∠OTA=∠NTM， 【解答】解： (1) ∵抛物线 y= x2+ bx+ c关于直线 x=AO=MN-3对称，与 x轴交于A(-1,0)，∴△TOA △TNM (AAS)，b∴TN=TO= x1，ON= 2x1， ∴- =-3 2 ，作 ⊥ 轴于点 ， 1-b+c=0QH x H- 1 2QH x2+2x2 解得 b=6，则 tan∠QTH= = 2 =- 9 x + 6， c=5TH x2-x1 4 1 ∴抛物线的解析式为 y= x2+ 6x+ 5；又∵ tan∠QTH= tan∠Q1TO， (2)由抛物线的对称轴为直线 x=-3，设P(-3,t)，OQ即 1 =- 9 x1+ 6， 过 P作 KT x轴，过 B作 BK⊥ KT于 K，过 D作OT 49 9 DT⊥KT于T，如图：∴OQ 21= - x1+6 x1=- x1+ 6x．4 4 1∵T(x1， 0)，R 1 x，- 1 x2+x2 1 8 1 1 ，∴ 由待定系数法可得直线 RT 的表达式为 y = 1 x -2 x- 11 x21+ 2x4 4 1，即OR =- 1 x21 1+ 2x4 1，∴R 5 21Q1=OQ1+OR1=- x + 8x2 1 1，∴ t=R1Q1-ON=- 5 x21+ 8x1- 2x 5 21=- x1+ 6x2 2 1=- 5 x 62 182 1-5 + ，5 在 y= x2+ 6x+ 5中，令 y= 0得 0= x2+ 6x+ 5，故当 x 6 181= 时， t的最大值为 ．5 5 解得 x=-1或 x=-5，即当 x= 6 时， t的最大值为 18 ． ∴B(-5,0)，5 5 ∴KP=-3- (-5) = 2，20．【分析】 (1)用待定系数法可得抛物线的解析式为 ∵将线段BP绕点P逆时针旋转 90°得到DP，y= x2+ 6x+ 5； ∴∠BPD= 90°，BP=DP，(2)由抛物线的对称轴为直线 x=-3，设P(-3,t)，过 ∴∠BPK= 90° -∠DPT=∠PDT，P作KT x轴，过 B作 BK⊥KT于K，过D作DT ∵∠K=∠T= 90°，⊥KT于T，求出B(-5,0)，得KP=-3- (-5) = 2， ∴△BPK △PDT(AAS)，再证 △BPK △PDT (AAS)，可得 BK = PT = |t|， ∴BK=PT= |t|，KP=DT= 2，KP=DT= 2，故D(-3+ t,t- 2)，代入 y= x2+ 6x+ ∴D(-3+ t,t- 2)，5得： t- 2= (-3+ t)2+ 6(-3+ t) + 5，解出 t值得P 把D(-3+ t,t- 2)代入 y= x2+ 6x+ 5得： t- 2= (的坐标为 (-3, -1)或 (-3,2)； -3+ t)2+ 6(-3+ t) + 5，·20·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★解得 t=-1或 t= 2， 三角形利用外角性质找小角的二倍，在OC上取点D，∴P的坐标为 (-3, -1)或 (-3,2)； 使AD=CD，则∠ADO= 2∠ACO=∠BAQ，先求出(3)在线段OC上存在点Q，使 2AQ+ 2CQ存在最小 OD长度，进而作点 B关于直线 AQ对称点 E，连接值，理由如下： BE交 AQ于点 F，过 E作 EG⊥ x轴于点 G，易得过 C在 y轴右侧作射线 CM，使 ∠OCM = 45°，过 A BM +MN= EM +MN≥ EG，所以解 Rt△BEG即可作AH⊥CM于H，AH交 y轴于Q，如图： 得解．【解答】解： (1) ∵对称轴为直线 x= 1，且二次函数 y= x2+ bx+ c(b、 c为常数)的图象与 x轴交于A(-1,0)、B两点，∴B(3,0)，∴ y= (x+ 1) (x- 3) = x2- 2x- 3；(2)由 y= x2- 2x- 3可知C(0, -3)，∴OB=OC= 3，即∠OCB=∠OBC= 45°，第一种情况：当点P在直线BC上方时，如图，记BP与 y轴交于点K，∵∠OCM= 45°，∠QHC= 90°，∴△QCH是等腰直角三角形，∴QH= 2 CQ，∠CQH= 45°，2∴ 2AQ + 2CQ= 2 AQ+ 2 CQ2 = 2(AQ +QH ) =2AH， 则∠OPB+∠CBP=∠OBC= 45°，由垂线段最短可知，此时 2AQ+ 2CQ最小，最小值 又∵∠CBP+∠ACO= 45°，为 2AH， ∴∠OBP=∠ACO，∵∠AQO=∠CQH= 45°，∠AOQ= 90°， ∴ tan∠OBP= tan∠ACO，即 OK = OA = 1 ，∴△AQO是等腰直角三角形， OB OC 31∴OQ=OA= 1，AQ= 2OA= 2， ∴OK= OB= 1，3∴Q(0,1)， 由B(3,0)，K(0, -1)可得直线BP解析式为 y= 1 x-在 y= x2+ 6x+ 5中，令 x= 0得 y= 5， 3∴C(0,5)， y=1 x-11，联立∴ = - = - = ， 3 ，CQ OC OQ 5 1 4 y=x2-2x-32 x=3 x=-2∴QH= CQ= 2 2，2 解得 = (与B点重合)或 3 ，y 0 y=- 11∴AH=AQ+ 9QH= 3 2，2 11∴ 2AQ+ 2CQ的最小值为 6 2． ∴P - ，-3 9 ；21．【分析】 (1)根据对称关系可得点B坐标，进而得 第二种情况：当点P在直线BC下方时，到交点式，化简即可； 方法一：如图，作点A关于 y轴对称点 L，连接CL，(2)分类讨论：点P在直线BC上方时，易得∠ACO= 则∠ACO=∠LCO，L(1,0)，∠ABP，此时利用相似或者三角函数求出OK长度，进而得到直线BK解析式，即可求解；当点P在BC下方时，可以作 A关于 y轴对称点 L，则易得 ∠CBP =∠BCL， BP CL，进而求解即可；也可以做点K关于直线 BC的对称点G，求出点G坐标，进而求出直线BG解析式，联立求交点坐标即可；(3)在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰·21·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★= 2∠ACO，∵∠CBP+∠ACO= 45°，∠LCO+∠BCL= 45°，∴∠CBP=∠BCL， ∵∠BAQ= 2∠ACO，∴BP CL， ∴∠BAQ=∠ADO，由C(0, -3)， L(1,0)可得直线CL的解析式为 y= 3x- 设OD=m，则CD=AD= 3-m，3， 在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，2 2∴设直线BP:y= 3x+n， ∴ 1+m = (3-m)，将B(3,0)代入得n=-9， 解得m=5 ，3∴直线BP:y= 3x- 9， ∴OD= 4 ，AD= 5 ，联立 y=3x-93 3 ，y=x2-2x-3 作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F， x=3 x=2 过E作EG⊥ x轴于点G，解得 = (与B点重合)或y 0 y=- ，3 则BM=EM，BF=EF，∴P(2, -3)； ∴BM+MN=EM+MN≥EG，方法二：作K关于直线BC对称点G，连接KG交BC 当且仅当 E、M、 G三点共线时， (BM +MN )min=于点H， EG；∵∠BAQ=∠ADO，∴ sin∠BAQ= sin∠ADO，即 BF = OA = 3 ，AB AD 5∴BF= 3 AB= 12 ，5 5∴BE= 2BF= 24 ，5∵∠AGE=∠AFE= 90°，∴∠BEG=∠BAF=∠ADO，此时∠CBK=∠CBP，满足∠CBP+∠ACO= 45°， ∴ cos∠BEG= cos∠ADO，∵K(0, -1)，C(0, -3)， 即 EG = OD = 4 ，∴ = ， BE AD 5CK 2 4 96∵∠BCO= 45°， ∴EG= BE= ，5 25∴△CHK为等腰直角三角形， ∴ (BM+MN ) = 96min ．∴ 25H(1, -2)22．【分析】 (1)把A(3,0)代入 y= ax2+ 2ax- 15∴G(2, -3) ，4∵点G(2, -3)也在抛物线上， 求出抛物线的解析式，令 y= 0，即可求解；∴点P与点G重合，即P(2, -3)； ( 2 ) 设 直 线 PQ 为 y =- x + n ， 设 点(备注：此时如果没有发现点P和点G重合，也可以求 P m, 1 m2+ 1 m- 15 ，出BG解析式，联立二次函数求交点P坐标)． 4 2 41 22 11 Q m+2, (m+2) + 1 (m+2)- 15 ，可得 1 m 2 +综上，点P的坐标为 - ，- 或 (2, -3)； 4 2 4 43 9 1(3)如图，在OC上取点D，使AD= CD，则 ∠ADO m-15 =-m+ n且 1 (m+ 2)2+ 1 (m+ 2) - 152 4 4 2 4·22·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★=- (m+ 2) +n，即可求解；(3)设直线 l解析式 y= kx+ b，直线 l与抛物线相交于点G(x3， y3)，H (x4， y4)，与抛物线解析式联立可得△> 0， x3+ x4= 4k- 2， x3x4=-15- 4b，作GC⊥MN，HD⊥MN，GC=-1- x3，MC= y3+ 5，HD= x4+ 1，MD= y4+ 5，根据∠GMN=∠HMN，可得tan∠GMN= tan∠HMN，从而得到 GC = HD ，进MC MD而得到 (x3+ 1) (kx4+ b+ 5) + (x4+ 1) (kx3+ b+ 5) =0，继而得到-4k(b- k+ 3) = 0，再由直线 l不垂直于y轴，可得 b= k- 3，从而得到直线 l解析式 y= k(x+ ∵∠GMN=∠HMN，1) - 3，即可求解． ∴ tan∠GMN= tan∠HMN．即 GC = HD ，【解答】解： (1)把A(3,0)代入 y= ax2+ 2ax- 15 ， MC MD4 ∴ -1-x3 = x4+1 ，∴ a= 1 ， y3+5 y4+54 ∴ (x3+ 1) (y4+ 5) + (x4+ 1) (y3+ 5) = 0，∴抛物线的解析式为 y= 1 x2+ 1 x- 15 ，4 2 4 ∴ (x3+ 1) (kx4+ b+ 5) + (x4+ 1) (kx3+ b+ 5) = 0．令 y= 0，则 1 x2+ 1 x- 15 = 0， ∴ 2kx3x4+ (k+ b+ 5) (x3+ x4) + 2b+ 10= 0．4 2 4 ∴ 2k(-15- 4b) + (k+ b+ 5) (4k- 2) + 2b+ 10= 0．解得 x1=-5， x2= 3， ∴-4k(b- k+ 3) = 0，∴B(-5,0)； ∵直线 l不垂直于 y轴，(2) ∵ y= 1 (x+ 1)2- 4，N是抛物线顶点，4 ∴ k≠ 0，∴N (-1, -4)， ∴ b- k+ 3= 0，设直线BN的解析式为 y= k1x+ b1， ∴ b= k- 3，∵B(-5,0)，N (-1, -4)， ∴直线 l解析式 y= k(x+ 1) - 3，∴ -5k1+b1=0 k1=-1 ∵无论 k为何值， x=-1， y=-3， - ，解得： ，k1+b1=-4 b1=-5 ∴ l过定点T(-1, -3)，∴直线BN的解析式为 y=-x- 5， 故存在定点T(-1, -3)．∵PQ BN， 23．【分析】 (1)分割法得到四边形 BCDE的面积=可设直线PQ为 y=-x+n， 1 BD CE，即可得出结果；设 点 P m, 1 m2+ 1 m- 152，4 2 4 (2)根据三角形的中位线定理，证明△ADE∽△ABC，Q m+2, 1 (m+2)2+ 1 (m+2)- 15 ， 进而推出 S四边形DCBE = 3 S△ABC，进而得到当四边形4 2 4 4∴ 1 m2+ 1 m- 15 =-m+ n且 1 (m+ 2)2+ 1 (m BCDE的面积最大时， S最大，过点B作BM⊥CE，4 2 4 4 215 过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，进而+ 2) - =- (m+ 2) +n，4 得到四边形BCDE的最大面积= 1 CE BD，列出函解得：m=-4； 2数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；(3)存在定点T满足条件．(3)根据平移求出抛物线 y的解析式，设 xF=m，根据设直线 l解析式 y= kx+ b，直线 l与抛物线相交于点G三角形的中线平分面积，得到K为 F，Q的中点，进(x3， y3)，H(x4， y4)， 2 7 2 y= 1 x2+ 1 x- 15而得到Q点坐标，设H n,- n2+ n- ，根据斜∴ 3 3 3 4 2 4 ，y=kx+b 率公式求出 k2，根据直线过点 H，将解析式写为 y-∴ x2+ (2- 4k)x- 15- 4b= 0， y 2H= k2(x- xH)，得到 y=- (n-m) (x- 1) + x+ 1，∴△> 0， x3+ x4= 4k-32， x3x4=-15- 4b， 令 x= 1，求出 y值，即可得出结果．作GC⊥MN，HD⊥MN，GC=-1- x3，MC= y3+ 5，HD= x + 1，MD= y + 5， 【解答】解： (1) ∵BD⊥CE，BD= 1，CE=1 ，4 4 2·23·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE (3)直线 l是过定点．= 12 CE BG+ 1 CE DG2 2 由 (2)知：S=-2 x- 3 + 3 ，3 4 81 2 2= CE (BG+DG) ∴ y=- 2 x- 3 -1 + 3 + 1=- 2 7 112 x- + ，3 4 8 3 4 8= 1 CE BD ∴ y=- 2 x2+ 72 x-2 ，3 3 3= 1 × 1 × 1 ∵直线 y= k1x- k1交该图象于点F，H(F点在H点左2 2= 1边)，，4 设 xF=m， xH=n，故答案为： 1 ；4 ∵ k1x- k1=-2 x2+ 7 x- 2 ，3 3 3(2) ∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点， ∴ 2x2+ (3k1- 7)x- 3k1+ 2= 0∴DE是△ABC的中位线， ∴根据韦达定理得 + = 7-3k1 ， 2-3km n mn= 1 ，∴DE 2 2BC，DE= 1 BC，2 ∴m+n-mn= 5 ，∴△ADE∽△ABC， 2DE 2 1 ∵S△HFK=S△HKQ，∴S△ADE:S△ABC= BC = ，4 ∴K为F，Q的中点，∴S 1△ = S△ ， 过点F，Q的直线与直线 x= l交于点K，ADE 4 ABC3 ∴ xK= 1，∴S四边形DCBE= S4 △ABC， ∴ xQ= 2-m，∴S△ =4 S四边形 ， ∴Q 2-m,- 2 7 2ABC 3 DCBE (2-m)2+ (2-m)-3 3 3 ，当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，设H n,- 2 n2+ 7 n- 2 ，如图，过点 B作 BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则 3 3 3 BM≤BG，DN≤DG， yQ-y∴ Hk = =- 22 - (n-m) + 1，xQ xH 3∴直线 l:y- yH= k2(x- xH)，即 y= 2 - (n-m)+1 (x-n) + - 2 n2+ 7 n- 23 3 3 3 = - 2 (n-m)+1 x- 2 mn+ 4 n-2 ，3 3 3 3∵m+n-mn= 5 ，2∴- 2 mn=- 2 5∵四边形BCDE的面积=S (m+n) + ，△BCE+S△DCE 3 3 3= 1 CE BM+ 1 CE DN ∴ y= - 2 (n-m)+1 x+ 22 2 (n-m) + 13 3≤ 1 CE (BG+DG)2 =-2 (n-m) (x- 1) + x+ 1，3= 1 CE BD， ∵n-m≠ 0，21 ∴当 x- 1= 0，即 x= 1时， y= 1+ 1= 2，∴四边形BCDE的面积最大= CE BD，2 ∴直线 l过定点 (1,2)．∵BD+CE= 3 ，BD= x， 24．【分析】 (1)运用待定系数法即可求得答案；23 (2)先联立抛物线与直线 l:y= x- 1求出交点D的坐标，∴CE= - x，2 再求出对称轴，则得到点M的坐标表示，再由两点间∴ S= 4 × 12x 3 -x =- 2 x2+ x=- 2 x- 3 + 距离公式建立方程求解即可；3 2 2 3 3 4 (3)设 P(m,0)，由旋转得∠NPH= 90°， PN= PH，3 ，8 当m<-1时，过点P作 y轴的平行线，过点H，N分∴当 x= 3 时，S最大为 3 ； 别作平行线的垂线，垂足为点 F， E，证明 △PEN 4 8 △HFP(AAS)，表示出H (4+m,1+m)，将点H (4+·24·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★m,1+m)代入 y=-x2- 2x+ 3，得- (4+m)2- 2(4+ 解得：m= -11± 33 ，m) + 3= 1+m，解方程即可；当m>-1时，作出同 2∴P -11- 33样的辅助线，同理可求解． ，0 或P -11+ 33 ，02 2 ；【解答】解： (1) ∵抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴相交 当m>-1时，过点P作 y轴的平行线，过点H，N分于A(-3,0)、B(1,0)两点，与 y轴交于点C(0,3)， 别作平行线的垂线，垂足为点F，E，如图， 9a-3b+c=0 a=-1∴ a+b+c=0 ，解得： b=-2，c=3 c=3∴抛物线的表达式为 y=-x2- 2x+ 3；(2)联立得： y=x-1 y=-x2- + ，2x 3解得： x1=-4， x2=1 ，y1=-5 y2=0∴D(-4, -5)，∵ y=-x2- 2x+ 3=- (x+ 1)2+ 4，∴抛物线的对称轴为直线 x=-1，顶点为N (-1,4)，设M (-1,n)，∵MB=MD， ∴∠E=∠F=∠NPH= 90°，∴MB2=MD2， ∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠FPH= 90°，∴ (-1- 1)2+ (n- 0)2= (-1+ 4)2+ (n+ 5)2， ∴∠ENP=∠FPH，解得：n=-3， ∴△PEN △HFP(AAS)，∴n的值为-3； ∴EN=PF=m+ 1，PE=FH= 4，(3)由 (2)得顶点N (-1,4)， ∴H(m- 4, -m- 1)，设P(m,0)，由旋转得∠NPH= 90°，PN=PH， 将点 H (m - 4, -m - 1)代入 y =-x 2 - 2x + 3，得当m<-1时，过点 P作 y轴的平行线 EF，过点H， - (m- 4)2- 2(m- 4) + 3=-m- 1，整理得：m2-N分别作EF的垂线，垂足为点F，E，如图， 7m+ 4= 0，解得：m= 7± 33 ，2∴P 7- 33 ，0 或P 7+ 33 ，0 ；2 2综 上 ， 所 有 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 ： -11- 33 ，0 或2 -11+ 33 ，02 或 7- 33 ，0 或 7+ 33 ，0 ．2 2 25．【分析】 (1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2+ 2x+ 3；(2)过 F作 FH⊥ x轴于H，设直线 CD交 y轴于K，求出K 0, 1∴∠E=∠F=∠NPH= 90°， ，直线 y= 1 x+ 1 与 x轴交点为A(-1,2 2 2∴∠EPN+∠ENP=∠EPN+∠FPH= 90°， 0)，得 tan∠KAO= OK = 1 ，设 FH= t，则 EH=∴∠ENP=∠ 2FPH， OA2t，得 DE = EF = 5 t， AD = 2DE = 2 5 t， AE =∴△PEN △HFP(AAS)，5t，从而求出 F(7t- 1,t)，把 F(7t- 1,t)代入 y=-x2∴EN=PF=-1-m，PE=FH= 4，+ 2x+ 3得： t=- (7t- 1)2+ 2(7t- 1) + 3，解出 t值∴H(4+m,1+m)，将点H(4+m,1+m)代入 y=-x2- 2x+ 3，得- (4+ 可得F 20 ， 27 ；7 49m)2- 2(4+m) + 3= 1+m， (3)由点P(x1， y1)在抛物线 y=-x2+ 2x+ 3上，点Q整理得：m2+ 11m+ 22= 0， (x1， y2)在抛物线 y= x2- (4m- 2)x+ 4m2+ 2上，可·25·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★得 y2- y1= x2 2 2 2 21- (4m- 2)x1+ 4m + 2- (-x1+ 2x1+ 3) (x1， y2)在抛物线 y= x - (4m- 2)x+ 4m + 2上，= 2x21- 4mx1+ 4m2- 1= 2(x1-m)2+ 2m2- 1，再分 ∴ y1=-x21+ 2x1+ 3， y 22= x1- (4m- 2)x 21+ 4m + 2，三种情况讨论可得答案． ∴ y2- y1= x21- (4m- 2)x + 4m21 + 2- (-x21+ 2x1+ 3)【解答】解： (1)把 (2,3)，A(-1,0)代入 y=-x2+ bx = 2x21- 4mx1+ 4m2- 1= 2(x -m)21 + 2m2- 1，+ 得： -4+2b+c=3， 当m≤ 1时，若 1≤ x1≤ 2，则 x1= 1时， y2- y1的值c -1-b+c=0 为 3，2解得 b=2 2 ， ∴ 2(1-m) + 2m - 1= 3，c=3解得m= 1+ 3 (大于 1，舍去)或m= 1- 3∴抛物线的解析式为 y=-x2+ 2x+ 3； ，2 2(2)过 F作 FH⊥ x轴于H，设直线 CD交 y轴于K， ∴m= 1- 3 ；如图： 2当 1的值为 3，∴ 2m2- 1= 3，解得m= 2或m=- 2 (舍去)，∴m= 2；当m≥ 2时，若 1≤ x1≤ 2，则 x1= 2时， y2- y1的值为 3，∴ 2(2-m)2+ 2m2- 1= 3，在 y= 1 x+ 1 中，令 x= 0得 y= 1 ，令 y= 0得 x= 解得m1=m2= 1(舍去)；2 2 2综上所述，m的值为 1- 3-1， 或 2．2∴K 0, 1 ，直线 y= 1 x+ 1 与 x轴交点为A(-1,0)， 26．【分析】 (1)利用待定系数法求解即可；2 2 2 (2 ) ①先求出点 A 的坐标，进而可判断 △OBC，∴ tan∠KAO= OK = 1 ，OA 2 △AEF是等腰直角三角形，然后根据△AEF的外接圆∵四边形CDEF是正方形， 直径是AE= 2，可得其外接圆的半径R= 1，再利用等∴EF CD，DE=EF， 积法求出 r，即可解决问题；∴∠FEH=∠KAO， ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与 x轴的交∴ tan∠FEH= FH = 1 ， 点 T 的坐标，作 PQ ⊥ x 轴于点 P，可得 PQ =EH 2 2设FH= t，则EH= 2t， BP，继而可得MP+2 BP=MP+PQ，于是可2 2∴EF= FH 2+EH 2= 5 t， 得当 M、 P、 Q三点共线且 MQ⊥ x轴时， MP +∴DE=EF= 5 t， 2 BP的值最小，此时 Q、 T重合，然后分点 F在∵∠ADE= 90°， 2△ACE不同内角平分线上共三种情况，外加当点 E，∴ tan∠KAO= DE = 1 ，DA 2 F重合于点O时，此时点 F在∠AEC 的平分线上这种∴AD= 2DE= 2 5 t， 特殊情况，讨论求解即可．∴AE= DE 2+AD2= ( 5t)2+(2 5t)2= 5t， 【解答】解： (1)把B的坐标 (3,0)，C的坐标 (0,3)代∴AH=AE+EH= 5t+ 2t= 7t， 入抛物线的解析式，∴OH=AH-OA= 7t- 1， 得 -9+3b+c=0= ，解得 b=2∴ ( - , )， c 3 c= ，3F 7t 1 t2 2 ∴抛物线的解析式是 y=-x2+ 2x+ 3；把F(7t- 1,t)代入 y=-x + 2x+ 3得： t=- (7t- 1)(2)①令 y=-x2+ 2x+ 3= 0，+ 2(7t- 1) + 3，27 解得： x1=-1， x2= 3，解得 t= 0(舍去)或 t= ，49 ∴A(-1,0)，∴F 20 ， 27 ； ∵B(3,0)，C(0,3)，7 49 ∴OB=OC= 3，(3) ∵点P(x1， y 21)在抛物线 y=-x + 2x+ 3上，点Q·26·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴△OBC是等腰直角三角形， ∴BE=PE= 2，∴∠OBC= 45°， ∴S△BPE=1 × 2× 2= 2，∵EF BC， 2∴∠FEA=∠CBO= 45°，∴当 ∠AFE= 90°时， △AEF是等腰直角三角形，且FA=FE，∴EO=AO=FO= 1，∴△AEF的外接圆直径是AE= 2，∴则其外接圆的半径R= 1，∵AE=EF=AE sin45° = 2 × 2= 2，2∴ 1 AF r+ 1 EF r+ 1 AE r= 1 AE FO，即 ( 22 2 2 2+ 2+ 2) r= 2，解得： r= 2- 1，∴ r当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，= 2- 1；R 如图，作FK⊥AC于点K，则OF=KF，②∵ y=-x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4， 设OF=KF= a，则CF= 3- a，抛物线的对称轴是直线 x= 1，顶点M的坐标是 (1,4)， ∵ sir∠ACO= FK = OA ，且AC= 12+32= 10，∴直线 x= 1与 x轴的交点T的坐标是 (1,0)， CF ACa 1作PQ⊥ x轴于点P， ∴ - = ，3 a 10解得 a= 10-1，3∴OF= 10-1，3∵EF BC，∴∠OEF=∠OBC= 45°，∴OE=OF= 10-1，3∴BE= 3-OE= 3- 10-1 = 10- 10 ，3 3∴S 1 10- 10 10- 10= △BPE= × × 2= ，则在直角三角形 BPQ 中， PQ BP sin45 ° = 2 3 32 BP，2∴MP+ 2 BP=MP+PQ，2∴当 M、 P、 Q三点共线且 MQ⊥ x轴时， MP +2 BP的值最小，此时Q、T重合，2当点 F在 △AEC的内角 ∠ACE的平分线上即 ∠ACO=∠ECO时，如图，∵∠COA=∠COE= 90°，CO=CO，∴△ACO △ECO，∴AO=EO= 1， 由于∠OEF= 45°，∠OEC< 90°，∴E、T重合， ∴点F不可能在△AEC 的内角∠AEC 的平分线上，∵B(3,0)，C(0,3)， 当点 E， F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点∴直线BC的解析式是 y=-x+ 3， F在∠AEC的平分线上，当 x= 1时， y= 2， 符合题意，则BE=BO= 3，∴点 的坐标是 ( , )， ∴S = 1P 1 2 △BPE × 3× 2= 3，2·27·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★综上：△BPE的面积为 2或 3或 10- 10 ．327．【分析】 (1)分别将O(0,0)，O(0,0)代入抛物线解析式，即可获得答案；(2)①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案；②首先确定MN= |at2- 3at|，再分 a> 0和 a< 0两种情况分析求解即可．【解答】解： (1)将点O(0,0)代入，抛物线 y= ax2+bx+ c，可得 c= 0，∴该抛物线解析式为 y= ax2+ bx，将点A(3,3a)代入，抛物线 y= ax2+ bx， 当 0< t≤ 3时，可有MN=-at2+ 3at，其图象开口向可得 3a= 9a+ 3b，解得 b=-2a； 下，对称轴为直线 x= 3 ，(2)①若 a= 1，则该抛物线及直线解析分别为 y= x2- 2若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随 t2x， y= x，3当 t= 4时，可有点P(4,0)，如下图， 的增大而增大，则 2a≤ ，2解得 a≤ 3 ，4当 t> 3时，可有MN= at2- 3at其图象开口向上，对称轴为直线 x= 3 ，不符合题意；2若 a< 0，可有 2a< 0，即点P在 y轴左侧，如下图，∵PM⊥ x轴，∴ xM= xN= 4，将 x= 4代入 y= x2- 2x，可得 y= 42- 2× 4= 8，即M (4,8)，将 x= 4代入 y= x，可得 y= 4，即N (4,4)，∴MN= 8- 4= 4；②当点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，∵PM⊥ x轴，P(t,0)， 当 t< 0时，可有MN=-at2+ 3at，其图象开口向上，∴ xM= xN= t， 对称轴为直线 x= 3 ，将 x= t代入 y= ax2- 2ax，可得 y= at2- 2at，即M 2若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随 t(t,at2- 2at)，的减小而增大，将 x= t代入 y= ax，可得 y= at，即N (t,at)，3 3∴MN= |at2- 2at- at| = |at2- 3at|， 则 2a≤ ，解得 a≤ ，2 4令MN= 0，即 at2- 3at= 0，解得 t= 0或 t= 3， ∴ a< 0，若 a> 0，可有 2a> 0，即点P在 y轴右侧，如下图， 综上所述， a的取值范围为 a≤ 3 且 a≠ 0．428．【分析】 (1)将A和B代入解析式，求出 b和 c的值；(2)①将A和B代入解析式，求出抛物线解析式为抛物线解析式为 y= ax2- 4ax+ 3a+ 1= a(x- 2)2+ 1- a，得出D和Q的坐标，得到 CD和 PQ的长度，得出比值；②分类讨论即可．·28·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★【解答】解： (1)将A(1,1)，B(3,1)代入 y= x2+ bx+ c 综上所述：最小的角的正弦值为 3 或 17 ．中， 5 17= + + =- 29．【分析】 (1)待定系数法求出函数解析式即可；∴ 1 1 b c = ，∴ b 4；1 9+3b+c c=4 (2)先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴(2)①将A(1,1)，B(3,1)代入 y= ax2+mx+ n(a≠ 1) 对称，B，C的纵坐标均为 t，中点得到 xC= 2xB，对中， xB+x称性得到 C = 3 xB= 3，求出 xB，再代入函数解∴ 1=a+m+n ，∴ m=-2 24a = ，1 9a+3m+n n=1+3a 析式求出 t的值即可；∴抛物线解析式为 y= ax2- 4ax+ 3a+ 1= a(x- 2)2+ (3)根据题意，易得要使 n-m最大，则m， n为一条1- a， 直线与抛物线的交点， x=m和 x= n关于对称轴对∵抛物线与 y轴交于点D， 称，根据直线 l1， l2之间的距离为 16，为定值，得到当∴D(0,3a+ 1)，顶点Q(2,1- a)， 一条直线恰好经过抛物线的顶点 (3, -4)，即： y=-4由 (1)可知： y= x2- 4x+ 4= (x- 2)2， 时， n-m最大，此时另一条直线的解析式为 y= 16∴C(0,4)，P(2,0)， - 4= 12，令 x2- 6x+ 5= 12，求出 x的值，进而确定∴CD= |3a- 3|，PQ= |a- 1|， m，n的值，进行求解即可．|3a-3| 【解答】解： (1)把 (1,0)代入 y= x2- ax+ 5，∴ CD = = 3；PQ |a-1| 得： 1- a+ 5= 0，② a．当CD⊥PD时，如图所示，D(0,0)， 解得： a= 6；(2)由 (1)知： y= x2- 6x+ 5，∴对称轴为直线 x=- -6× = 3，2 1∵点A(0,t)在 y轴上，过点A(0,t)与 x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为 t，又∵点B为线段AC的中点，∴ 3a+ 1= 0，∴ a=- 1∴ xc= 2xB，，∴Q 2, 43 3 ， ∴ xB+xC = 3 xB= 3，∴ xB= 2，∴∠QCD为最小内角， 2 24 ∴ x= 2代入 y= x2- 6x+ 5，过点Q作QM⊥CD于点M，∴M 0, 3 ， 得： y= 22- 6× 2+ 5=-3，∴ t=-3；∴QM= 2，CM= 8 ，CQ= 10 ， (3) ∵ y= x2- 6x+ 5= (x- 3)2- 4，3 33 ∴抛物线的顶点坐标 (3, -4)，∴ sin∠QCD= ；5 当抛物线的一段 y= x2- ax+ 5(m≤ x≤ n)夹在两条b．当CD⊥CQ时，如图所示，Q(2,4)， 均与 x轴平行的直线 l1， l2之间时，m， n为直线与抛物线的交点，∴要使 n-m最大，则，m， n为一条直线与抛物线的交点， x=m和 x=n关于对称轴对称，又∵直线 l1， l2之间的距离为 16，为定值，∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点 (3, -4)，即： y=-4时， n-m最大，此时另一条直线的解析式为 y=16- 4= 12，如图：∴ 1- a= 4，∴ a=-3，∴D(0, -8)，∴∠CDP为最小内角，过点P作PN⊥CD于点N，∴N (0,0)，∴PN= 2，DN= 8，PD= 2 17，∴ sin∠CDP= 17 ；17·29·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴当 x2- 6x+ 5= 12时， ∴∠AHD= 90°，解得： x = 7， x =-1， ∴∠HAD+∠ADH= 90°，1 2即n= 7，m=-1， ∵∠CAD= 90°，∴n-m的最大值为： 7- (-1) = 8． ∴∠CAO+∠HAD= 90°，30．【分析】 (I)待定系数法求解析式，即可求解； ∴∠ADH=∠CAO，(II)①根据 a=-2，得出抛物线解析式为 y=-2x2+ bx 又∵AD=AC，∠AHD=∠AOC= 90°，+ b+ 2，点D在第四象限，过点D作DH⊥ x轴于点 ∴△ADH △CAO(AAS)，H，证明△ADH △CAO(AAS)，进而得出点D的坐 ∴DH=AO= 1，AH=OC= b+ 2，标为 (b+ 1, -1)，代入解析式，解方程，即可求解； ∵OH=AH-AO，②在 x轴上点 A的左侧取点 G，使 GA = AC，连接 ∴OH= b+ 2- 1= b+ 1，GC．在 Rt△AOC中，根据勾股定理， AC 2=AO2+ ∴点D的坐标为 (b+ 1, -1)，2OC 2，得出GA=AC= 1+c2，根据题意，点A和点 ∵点D在抛物线 y=-2x + bx+ b+ 2上，2B关于直线 /对称，点 F在直线 l上，得AF=BF．根 ∴-1=-2(b+ 1) + b(b+ 1) + b+ 2，2据平行四边形的性质得出当点 F在线段BC上时，CE 整理得， b + 2b- 1= 0，+ CF取得最小值 2 6，即 BC= 2 6，勾股定理可得 解得 b1=-1+ 2 ,b2=-1- 2，m2+ c2= 24，进而代入 c2=m2- 2m，求得点B(4,0)， ∵ b> 0，∴ b2=-1- 2不合，舍去，C (0,2 2 )，可得直线 BC的解析式为 y =- 2 x +2 ∴ b=-1+ 2，2 2，．求得点F的坐标为 3 , 5 2 ，根据平移的性 ∴点D的坐标为 ( 2 , -1)；2 4②∵ c= b- a， a< 0， b> 0，质即可得出点E的坐标为 5 , 13 22 4 ． ∴ c> 0，m> 1，【解答】解： (I) ∵ a=-1， b= 2， c= 3， 在 x轴上点A的左侧取点G，使GA=AC，连接GC．∴该抛物线的解析式为 y=-x2+ 2x+ 3，∵ y=-x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4，∴该抛物线顶点P的坐标为 (1,4)；(II)①∵点A(-1,0)在抛物线 y= ax2+ bx+ c上，∴ 0= a- b+ c，即 c= b- a，又∵ a=-2，点C(0,c)，∴OC= c= b+ 2，AO= 1，∴抛物线解析式为 y=-2x2+ bx+ b+ 2，如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥ x轴于点H，∴∠ACG=∠CGA，得∠CAB= 2∠CGA．∵∠CAB= 2∠ABC，∴∠ABC=∠CGA．∴CG=CB，则GO=OB．在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2=AO2+OC2，·30·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★∴AC= 1+c2， ∵抛物线 y= 1 x2- 2x过原点，且点A与原点不重合，2∴GA= 1+c2，∴ x ≠ 0，∴ 1 x2> 0，故 y > y；∴GO=GA+AO= 1+c2+ ． 1 2 1 2 11又∵点B(m,0)，得OB=m． ②由题意知， y = ax21 1- 4ax1， y2= x22- 2x2，2∴ 1+c2+ 1=m，即 c2=m2- 2m， ∵ y2 = x2 ，∴ x2-2x2 = x2 ，y1 x 21 a(x -4x ) x1根据题意，点A和点B关于直线 l对称，点 F在直线 l 1 1∵两条抛物线均过原点，且A， B与原点都不重合，上，得AF=BF．所以 x ≠ 0， x ≠ 0．又∵ ACEF中， 1 2AF=CE．得CE=BF．故 x2-2∴CE+CF=BF+CF≥BC． = 1，即 x2= a(x1- 4) + 2．a(x1-4)∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值 2 6，∴ x2 = a(x1-4)+2 = a+ 2-4a即BC= ，2 6， x1 x1 x1在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2， 依题意知， a+ 2-4a 是与 x1无关的定值．∴ 2+ 2= ． xm c 24 12-4a将 c2=m2- 2m代入，得m2+ (m2- 2m) = 24． 不妨将 x1= 1和 x1= 2分别代入 a+ ，可得 2-x1解得m1= 4，m2=-3(舍)， 3a= 1- a，解得 a= 1 ，∴ c= 2 2， 2x∴点B(4,0)，C(0,2 2 )， 经检验，当 a= 1 时， 2 = 1 是一个与 x1无关的定2 x1 2∴直线BC的解析式为 y=- 2 x+ 2 2．2 值，符合题意．∴ a=1 ， b=-4a=-2．2设点F的横坐标为 x0，则 4- x0= x0- (-1)， 32．【分析】 (1)将 a= 0、 b= 3 代入 y= x(x- a) +得 x = 30 ， (x- a) (x- b) + x(x- b) 化简，然后根据二次函数的23 5 2 性质即可解答；∴点F的坐标为 , ．2 4 (2)b= 2a代入 y= x(x- a) + (x- a) (x- b) + x(x- b)∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， 化简可得 y= 3x2- 6ax+ 2a2然后根据二次函数的性质∴点 E可以看作是点 F向右平移一个单位，向上平移 即可解答；2 2个单位得到的， (3)先求出 y1， y2， y3然后代入 y1+my2+ y3= 0进行∴点E的坐标为 5 , 13 2 ． 求解即可．2 4 【解答】解： (1)当 a= 0， b= 3时，二次函数 y= x(x31．【分析】 (1)将已知点的坐标代入解析式中，得出 - a) + (x- a) (x- b) + x(x- b)可化为： y= x(x- 0)系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； + (x- 0) (x- 3) + x(x- 3) = 3x2- 6x，(2)①根据题意得出函数的解析式，将 x1= x2代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ∴此函数图象的对称轴为直线 x=-b =- -6 = 1；2a 2×32 (2)当 b= 2a时，二次函数 y= x(x- a) + (x- a) (x-②将函数值用各自自变量表示，整理 x2-2x2 = x2a(x21-4x1) x1 b) + x(x- b)可化为： y= x(x- a) + (x- a) (x- 2a)得出两自变量的数量关系，即 x2= a(x1- 4) + 2，再利 + x(x- 2a) = 3x2- 6ax+ 2a2，用特殊值法即可求出系数的值． ∴抛物线对称轴为直线 x=- b =- -6a = a，【解答】解： (1)由题意得，将点 (4,0)代入 y= ax2+ 2a 2×3bx得， ∵ 3> 0，∴抛物线开口方向向上，b ∵在 0≤ x≤ 1时， y随 x的增大而减小，16a+ 4b= 0，即 b=-4a，∴- = 2，2a ∴ a≥ 1，故所求抛物线的对称轴是直线 x= 2． ∵在 3≤ x≤ 4时， y随 x的增大而增大，∴ a≤ 3，(2)①由 (1)可知，抛物线的解析式为 y= 1 x2- 2x． ∴ 1≤ a≤ 3；2又∵ x1= x2， (3)若点A(a,y1)，B a+b，y ，C(b,y )均在该函数2 2 3∴ y - y = (x 2 - 2x ) - 1 x22 1 2 2 1-2x1 = (x 21 - 2x 1) - 的图象上，21 1 ∴ y1= a(a- a) + (a- a) (a- b) + a(a- b) = a2- ab， x21-2x = x22 1 2 1． y= x(x- a) + (x- a) (x- b) + x(x- b) = 3x2- 2(a+·31·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 1）★b)x+ ab，∴ y = 3 a+b2 - 2(a+ b) a+b2 + ab2 2= × (a+b)23 - (a+ b)2+ ab42=- (a+b) + ab4=- 1 a2- ab - 1 b2+ ab4 2 4=- 1 a2+ ab - 1 b24 2 4=- 1 (a2- 2ab+ b2)4=- 1 (a- b)2，4y3= b(b- a) + (b- a) (b- b) + b(b- b) = b2- ab；∵ y1+my2+ y3= 0，∴ a2- ab+m 1 - (a-b)2 + b2- ab= 0，4整理得： (a- b)2 1 1- m = 0，4 ∵ a， b为两个不相等的实数，∴ a- b≠ 0，∴ 1- 1 m= 0，解得：m= 4．4·32·★ 2026中考数学 压轴题 每日一题 参考答案（类型 2）★★类型 2：相似综合（12题）★ ∴CD= 12，1．【分析】 (1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE， BE ∴DQ=CD-CG-QG= 4；= FE，再结合平行四边形的性质可得 ∠PCG = (3)如图，延长AD，EQ交于点M，∠QFG，然后根据三角形内角和定理可得 ∠CQE =∠P，即可求证；(2)根据全等三角形的性质可得 EQ = EP，从而得到FQ = CP，可证明 △FQG △CPG，从而得到 FG =CG = 3， GQ = GP = 5，再由折叠的性质得： AF = 展开更多...... 收起↑ 资源列表 中考数学压轴题必刷题（120题 二次函数和几何压轴都有）-答案.pdf 中考数学压轴题必刷题（120题 二次函数和几何压轴都有）.pdf
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