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福建莆田第一中学 2025-2026 学年下学期第一学段考试试卷高一数学
一、单选题
6
1．已知复数 z满足 z ，则 | z | （ ）
1 i
A． 2 B． 2 2 C．3 D．3 2

2．已知点 A(1,0),B(0, 2),C(3, 2)

，则 BA在 BC上的投影向量的坐标为（ ）
1 1 1
A．(0,1) B． , C． (1,0) D． ,0
2 2 2

3．设向量 a

x 1, x ,b x, 2 ，则（ ）

A．“ x 3”是“a b ”的必要条件 B．“ x 3”是“a / /b ”的必要条件
C．“ x 0 ”是“a b ”的充分条件 D．“ x 1 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
1
4．如图，已知 ABC中，D为 AB的中点， AE AC，若DE AB BC，则
3
5 1 1 5
A． B． C． D．
6 6 6 6
5．如图所示，在空间四边形 ABCD中，点 E，H分别是边 AB，AD的中点，点 F，G分别是边 BC，CD上
CF CG 2
的点，且 ，则（ ）
CB CD 3
A．EF与 GH平行 B．EF与 GH异面
C．EF与 GH的交点一定在直线 AC上 D．EF与 GH的交点可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC
上
6．如图，圆锥的母线 AB长为 2，底面圆的半径为 r，若一只蚂蚁从圆锥的点 B出发，沿表面爬到 AC的中
点D处，则其爬行的最短路线长为 5，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
3
A．1 B． 2 C．3 D．
2
7．已知在 ABC中， a2 cos AsinB b2 sin AcosB，则 ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直
角三角形
8．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为16 2，则四棱锥 A1 ABCD与四棱锥 B1 ABCD重叠部分的体积
是（ ）
A． 2 B． 2 2
C 8 2． D 10 2．
3 3
二、多选题
9．设 z1, z2是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 z1 z2 0，则 z1 z2 B．若 z1 z2 ，则 z1 z2
C z z z z z z D z z z2 z2．若 1 2 ，则 1 1 2 2 ．若 1 2 ，则 1 2
10．如图，这是一个正方体的平面展开图，P,Q,G,H 分别是棱 AB,BC,EN,AE的中点，则在该正方体中（ ）
A． PH∥GQ
B．GH与BC是异面直线
C．GH ,PQ,AD相交于一点
D．QG BN
11．在锐角 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a2 b(b c)，则下列结论正确的有（ ）
A． A 2B

B． B的取值范围为 0, 4
a
C． 的取值范围为 2, 3b
1 1 5 3
D． 2sinA的取值范围为 ,6tanB tanA 3
三、填空题
2
12．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 a 3,b 4,sin B ，则 A __________．
3
13．Rt ABC中， A 90 , AB AC 2,M 为 ABC的外接圆上一动点，则 AB AM 的最大值为__________．
14．如图，正四棱锥 P ABCD中，点E和 F分别为棱 BC和PD的中点．若过 A，E，F三点的平面与侧面 PCD
的交线线段长为 7,cos 2 PDC ，则该四棱锥的外接球的体积为__________．
4
四、解答题

15．已知 a

1,1 , b 1,a与 b的夹角 45 .
a

(1)求 2b 的值；

(2)若向量 2a b 与 a 3b 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
16．如图，有一码头 P和三个岛屿 A,B,C，PC 30 3 n mile, PB 90 nmi le, AB 30 n mile， PCB 1200，
ABC 900 .
（1）求B,C两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头 P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 P .问该游船应按何路线航行，才能使得
总航程最短？求出最短航程.
17．如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1B1B, AA1C1C均为菱形，AA1 2， ABB1 ACC1 60
,D 为 AB
的中点．
(1)求证： AC1 //平面CDB1；
(2)若 BAC 60 ，求直线 AC1与平面 BB1C1C所成角的大小．
18．已知菱形 ABCD的边长为 2, BAD 60 ，平面 ABCD外一点 P在平面 ABCD上的射影是 AC与BD的交
点O, PDB是等边三角形．
(1)求证： AC 平面 PBD；
(2)求点D到平面 PBC 的距离；
(3)若点 E是线段 AD上的动点，问：点 E在何处时，直线 PE与平面 PBC 所成的角最大？求出最大角的正
弦值，以及此时线段DE的长．
19．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a,b,c, ABC的面积为S．已知 sin B 3 sinC．
2S
(1)若a2 c2 ，求 cos A的值；
sin A
3
(2)若 S ，求 a2的最小值；2
π
(3)若 A ,c 1,P,Q,R分别在边 AB , BC ,CA上，且PQ QR RP，求 PQR面积的最小值．
2
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．C
5．C
6．A
7．D
8．D
9．BC
10．ABC
11．AC
π
12．
6
13． 2 2 1
14．32 3π
15．(1) 10
(2) 1, 6 6,6
16．（1）30 3 n mile（2） 30 60 3 30 7 nmile
17．(1)证明见解析；
π
(2)
4
18．(1)证明见解析
(2) 2 15
5
1
(3)点E在线段 AD上靠近点D 4 4的 分点处，此时 sin ，DE 5 2
19．(1) 3 1
2
(2)2 3
(3) 3 3
28

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