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模拟冲刺练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．下列实数的绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．自上线以来至2025年2月9日，APP的累计下载量已突破次，数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．定义新运算.例如：，已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C．0或 D．4
7．《九章算术·方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱两，乙持钱两，可列方程组为（ ）（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A． B．
C． D．
8．“河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”是郑州市内具代表性的四个历史文化景点．若小力从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“河南博物馆”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．如图（1），在中，是的中点，，点是上的动点，，图（2）是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．因式分解：_______．
12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个．
13．如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____．
15．如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为_____
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)解不等式组：．
17．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量．
18．2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
19．如图，在△中，，点是的中点，，请按照题目要求完成尺规作图并完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）．
(1)用尺规作图完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
20．随着直播行业的兴起，越来越多的人开始加入直播队伍．某数码配件公司研发了一款可调节的手机拍摄支架，用于帮助直播行业的人们固定手机．该支架的结构如图1所示：立杆垂直于地面，固定高度为；为可旋转支杆，长度固定为；为可滑动悬杆，用于调节手机的水平位置．如图2，调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，求此时点到地面的高度．（参考数据：，，）
21．阅读材料，解答问题：
大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人．
通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”，如图，矩形中，，那么矩形叫做“白银矩形”．
应用：
(1)如图，矩形是一张纸，，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，再将对折，发现与恰好重合，求证：矩形是“白银矩形”．
以下是小希同学的部分证明过程：
证明：由折叠的性质易得，
∴，，
…，
请你补全小希同学的证明过程．
(2)如图，“白银矩形”中，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，试说明点为线段的“白银分割点”．
(3)图中，若，直接写出的长．
22．综合与实践
问题背景：
中国单板滑雪名将苏翊鸣在2025年表现惊艳，不仅斩获2025—2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军，还在世界锦标赛中摘银创造历史．
【数学建模】
某研究小组计划研究滑雪运动员的运动轨迹．经研究发现某运动员通过助滑道后在点起跳，在空中沿抛物线飞行后落在着陆坡上的点处．坡高为60 m，着陆坡的坡度，即，建立如图所示的平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
(1)某运动员起跳后，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 10 12 14 40
竖直高度 70 78.75 79 78.75 30
求这段抛物线的解析式；
(2)某运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离和竖直距离的最大值．
23．综合与实践
“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)【数学思考】请你解答老师提出的问题．
(2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D C B A D D B
1．A
【分析】本题考查了实数绝对值的计算，实数大小的比较，掌握：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键；分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断．
【详解】解：由于，，
而，
故的绝对值最大；
故选：A．
2．B
【详解】解：．
3．B
【分析】ｇｃ
本题主要考查了从三个方向看几何体．熟练掌握从三个方向看到的形状图是解题的关键．根据从上面看到的形状图判断即得．
【详解】
解：A. ，是从正面看到的图形；
B. ，是从上面看到的图形；
C. ，不是这个切去一部分的圆柱体从各个方面看到的图形；
D. ，是从左面看到的图形．
故选：B．
4．D
【分析】根据完全平方公式，积的乘方，合并同类项，整式的乘除计算即可．
【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同类项合并，整式的乘除，熟练掌握公式是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案．
【详解】解：作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式利用新运算的运算法则得到，再根据一元二次方程的定义以及判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据运算法则，由得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，且
解得：，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲持钱两，乙持钱两，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设甲持钱两，乙持钱两，
由题意得：，
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到这两个景点中有“河南博物馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设用A、B、C、D分别表示“河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中这两个景点中有“河南博物馆”的结果数有6种，
∴这两个景点中有“河南博物馆”的概率为，
故选：D．
9．D
【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ．
【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
【分析】如图，连接DE．由是AB的中点，知．当点与点重合时，．求出利用平行四边形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：由题图（2）知，时，．
由题图（1）知，时，点与点重合，
∴
此时
．
如图，连接．由是的中点，知．
当点与点重合时，，
由图象的对称性可知，此时
．
在中，，
由勾股定理得，
即，
解得
的面积为．
11．
【详解】解：．
12．16
【详解】解：设红球有x个，根据题意得，
x=4÷0.2-4=16
解得x=16，
故答案为：16．
13．
【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案．
【详解】解：过点作，如图所示：
，
，则，
，
，
由平行线分线段成比例可知，
，
．
14．
【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：在中，当时，，即，
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵点在第二象限的抛物线上，，
∴点和点关于对称轴对称，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
15．
【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质证得，过点作，在等腰中，由三线合一性质及勾股定理求出，过点作，由等面积法得到，代入边长计算即可．
【详解】解：平分，
，
在中，，则，
，
，
又，，
∴
过点作，如图所示：
在等腰中，，，则是边上的中线，
，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作，如图所示：
由得，解得．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据零指数幂、求一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、有理数的乘方等运算法则化简，再进行计算即可；
（2）根据解一元一次不等式组的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是．
17．该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚
【分析】设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可．
【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚．
18．(1)10%，30%，见解析
(2)4
(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人
【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体．
（1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可
（3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，
则，
，
，，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数，
由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人，
前三组人数为人，前四组人数为人，
则中位数处于第4组的分数段内，
故答案为：4；
（3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为，
则全校91分以上的同学约有（人），
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人．
19．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径，画弧，交于两点、，分别以点、为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于一点，连接与交于点，即为所求；
（2）根据等边对等角得出，根据中点的定义得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】（1）解：如图所示：
作法：以点为圆心，适当长度为半径，画弧，交于两点、，分别以点、为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于一点，连接与交于点，即为所求；如图：
（2）解：理由如下：
由作图可知：
，
，
又点是的中点，
，
在和中，
，
．
20．
【分析】过点作垂直于地面，过点作交的延长线于点，延长交于点，则四边形为矩形，结合邻补角的定义和直角三角形的性质求出，，根据锐角三角函数的性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出，结合矩形的性质即可求解．
【详解】解：过点作垂直于地面，过点作交的延长线于点，延长交于点，如图：
则四边形为矩形，
，
，，
在中，，，
，
，，
在中，，
又，
∵四边形为矩形，
．
，
故此时点到地面的高度约为．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质得出，，，根据勾股定理得出，即可得出，
（2）根据“白银矩形”的定义得出，根据折叠的性质得出，，，，即可求出，得出是等腰直角三角形，得出，，即可得点为线段的“白银分割点”；
（3）根据“白银矩形”的定义得出，根据证明是等腰直角三角形，得出，根据，列方程求出的长即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质易得，，
∴，，
∴，
∵将对折，发现与恰好重合，
∴，
∴，即，
∴：矩形是“白银矩形”．
（2）解：∵四边形是“白银矩形”，
∴，
∵将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴点为线段的“白银分割点”．
（3）解：∵，四边形是“白银矩形”，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∴，
解得：．
22．(1)
(2)水平距离为，竖直距离的最大值是
【分析】（1）根据列表数据，选取两个特殊点：顶点、，运用待定系数法，即可求出函数解析式；
（2）设点M到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点M、N．求出直线的解析式为，设，则，，根据二次函数的性质进行解答即可；
【详解】（1）解：由表格得，顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
所以该抛物线的解析式为或．
（2）解：设点到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、
在中，，
，
米，即，
设直线的解析式是，
把，代入得
，解得
直线的解析式为
设，
则，
，
，
当时，的值最大，
答：当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为，竖直距离的最大值是．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形；
（2）先证明，则，则，解方程即可；
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下
，
，
四边形是菱形，是的平分线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由旋转的性质可知，
平行四边形为菱形；
（2）解：如图3，由题意可得，
设，
在菱形中，，
∴在中，，
又，
，
是的外角，
∴
在和中，
，，
，
，
又，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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