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广西玉林市九校2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试卷
一、单选题
1．下列导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
3．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．56 B．-56 C．70 D．-70
4．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A．20 B．24 C．48 D．72
6．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C．若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况
D．若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况
10．袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从二项分布 B．
C． D．记这个球中白球的个数为，则
11．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为
B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为
C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大
三、填空题
12．在的展开式中，常数项为_______________.
13．已知曲线，则在点的切线方程为________．
14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求当时，函数的最值.
16．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求的分布列和数学期望；
(2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；
17．已知展开式共有11项.
(1)求n的值，并求二项式系数的最大值；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：
男生（人） 女生（人） 合计（人）
运动达标 80 40 120
运动不达标 20 60 80
合计 100 100 200
用频率估计概率．
(1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
(2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论）
19．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
参考答案
1．B
【详解】选项A，因为是常数，所以，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，故D错误，
2．C
【详解】由题意知，且，解得．
故选：C
3．A
【详解】第4项的二项式系数为.
故选：A.
4．D
【详解】因为，则，
所以.
5．D
【详解】
如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确.
6．D
【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，
分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为．
故选：D.
7．C
【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件，
则 ，
，
则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.
8．A
【详解】由题设，因为（）有两个极值点，
所以在R上有两个不同的实根，
所以或，
即.
9．ACD
【详解】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．
对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，B错误．
对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确．
对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，D正确．
故选：ACD
10．BD
【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误；
选项，，
，，
因此，故正确。
选项，超几何分布期望公式，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得，
根据期望性质，故错误；
选项，取出个球，因此（为白球个数）.
根据方差性质，得，故正确.
11．ACD
【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜，
其概率为，A正确；
对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局，
其概率为，B错误；
对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为
，
在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为
，
，C正确；
对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”，
事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”，
则，，
，，
所以，，
，，D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】因为的通项公式为，
则的展开式中的项为或，
所以常数项为，
故答案为：.
13．
【详解】，故，
又，所以曲线在点的切线方程为，
即.
14．
【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，
其中两个号码的和为偶数的有共4种情况，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为，
所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.
故答案为：.
15．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)最小值为，最大值为
【详解】（1）因为，
所以.
由或；由.
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，，所以.
综上，当时，函数的最小值为，最大值为.
16．(1)分布列为：
2 3 4
(2)
【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，
且的所有可能取值为2，3，4，，，，
故的分布列为：
2 3 4
法一：所以的数学期望.
法二：根据超几何分布的期望公式知.
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件，
记“机器人成功完成指令”为事件.
由已知得，，，，.
因为，
所以.
17．(1)，252
(2)
(3)0
【详解】（1）二项式展开式的项数为，
由题知展开式共11项，因此，得，
因为10是偶数，故二项式系数的最大值为；
（2）展开式中，系数的符号由决定，
即对应将原式中换为1后的系数，
等价于令代入原式：，
计算得，因此结果为；
（3）令，代入等式得，
左边等于，因此结果为0.
18．(1)
(2)的分布列为
数学期望
(3)
【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为，
设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，
则；
（2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
（3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，
服从二项分布，
则要使得使概率取得最大值需且，
则且，
解得，
为整数，所以，
使概率取得最大值时的值为.
19．(1)递增区间为，递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为函数，
所以函数的定义域为，.
当时，.
因为，所以当时，；当时，.
故函数的递增区间为，递减区间为.
（2）由，且恒成立得
，整理得，即.
构造函数，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以，即实数a的取值范围为.
（3）由（2）知时，，即，当且仅当时等号成立，
取，则，所以，
所以，，，.
上述n个式子相加得
，从而得证.

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