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广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C． D．
3．设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为
7．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
8．已知为的外心，且，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．在中，，则三角形面积为
C．若为钝角三角形，则
D．若，则有两解
11．如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A．面 B．与是异面直线
C．的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________.
13．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．
14．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
四、解答题
15．已知向量，.
(1)求和；
(2)若，且，求向量与向量的夹角.
16．直角坐标系中，已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线．求的面积．
18．如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的值.
(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
参考答案
1．D
【详解】，故，
故选：D.
2．A
【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
所以的面积为．
3．B
【详解】设、的夹角为，则，
因为、为非零向量，由可得，所以，
因为，所以“”“与的夹角为锐角”，
且“”“与的夹角为锐角”，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【详解】对数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
因为指数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
又因为，因此大小关系为：.
5．D
【详解】由题知，周期满足，
所以，解得，
又因为，即
所以，即
又，所以，
所以.
故选：D
6．C
【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确；
圆锥的体积，圆柱的体积，
所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确；
该几何体的体积为，D正确；
圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，
圆柱的下底面面积，
所以该几何体的表面积为，C错误.
7．A
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
因为在 上单调递减，所以，则，
所以，则，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
8．A
【详解】因为点为的外心，且，
所以
，
故选A.
9．AC
【详解】对于A：，A正确.
对于B：，虚部为，故B错误.
对于C：由题意，，所以，
故向量对应的复数为，C正确.
对于D：，由题意知，，均为方程的根，
故，.
又，，
所以，，故，D错误.
10．ABD
【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确.
对于B：，故B正确.
对于C：因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，
同理可得，当为钝角时，，当为钝角时，，故C错误.
对于D：由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以有两解，即有两解，故D正确.
11．ACD
【详解】
对于A，连接，

正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
同理平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故A正确；
对于B，当点P在点处时，，即，故B错误；
对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图，

此时，在中，，，，
由余弦定理有：
∴的最小值为，故C正确；
对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有，
∵平面，平面，∴平面，
∴P到平面的距离等于到平面，为定值，
又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】解：在正方体中，
因为，
所以即为异面直线与所成的角，
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
13．
【详解】由题设，
在中，由正弦定理，得
∴m.
故答案为：.
14．
【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积，
由棱台体积公式得，
设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为，
由正四棱台的上下底面都是正方形可得，，
设外接球半径为，则.
展开并化简：（负值舍去），
则，
最终外接球表面积：，
故答案为：
15．(1)；
(2)
【详解】（1）.
因为，所以.
（2）因为，则，即，所以.
又，所以，
又，所以.
故向量与向量的夹角为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，所以.
若，则，不符合条件，所以，
所以.
故.
（2）由（1）知，，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，而，解得，
由为角的平分线及，
得，则，
所以的面积为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)8
【详解】（1）连接，交于，连接.
直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点.
因为点是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以.
在中，，，，则，所以.
因为，平面，，
所以平面.
（3）过点作.
在中，，即.
直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，，
因为，平面，，所以平面，
则即为点到平面，也即平面的距离.
又，
.
故三棱锥的体积为8.
19．(1)
(2)（i）30（ii）
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.

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