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浙江省台州市白云中学2025-2026学年九年级下册月考数学试卷（3月份）
1．在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴，
∴，即的绝对值最大，
∴ 离原点距离最远的点所表示的数是.
故选：A
【分析】本题以数轴为背景，考查了点到原点的距离与绝对值之间的关系。一个数所表示的点到原点的距离等于该数的绝对值，因此只需比较 -3、、-1、0 这四个数的绝对值大小，绝对值最大的数对应的点离原点最远。计算得 |-3| = 3，|| =，|-1| = 1，|0| = 0。比较 3 与时，可将两者平方，32= 9，()2 = 5，由 9 > 5 且正数平方越大原数越大得 3 >。因此 3 >> 1 > 0，-3 的绝对值最大，故离原点最远的点表示的数是 -3。注意比较无理数与有理数大小时可采用平方法。
2．榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：图2的左视图为：
，
故选：B．
【分析】本题以鲁班锁构件为背景，考查左视图的概念。左视图是从左向右观察得到的图形，解题时需根据构件的实际形状，判断从左面看每一列的最高层数及前后遮挡关系，从而选出正确选项。
3．下列计算正确的是（　　）
A．a+a=a2 B．2（a+3）=2a+3
C．（a+3）2=a2+9 D．（a+3）（a-3）=a2-9
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算错误，该选项不符合题意；
B、，计算错误，该选项不符合题意；
C、，计算错误，该选项不符合题意；
D、计算正确，该选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．某篮球队5名队员的身高（单位：厘米）分别为180，185，190，195，200。现用一名身高为185厘米的队员换下身高为200厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（　　）
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原5名队员的平均身高=cm，
方差=；
替换之后5名队员的平均身高=cm，
方差=；
因此与换人前相比，场上队员身高“ 平均数变小，方差变小 ”。
故答案为：C.
【分析】平均数，即将一组数据求和之后，再除以数据数量即可；方差，即计算出每个数据与平均数的差的平方，求和之后再除以数据数量即可。本题可以先分别计算出替换前和替换后的平均身高数，然后再计算出方差，对比即可.
5．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于1万=104，1亿=108，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可.
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC=60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC=1：2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据作图可知是的角平分线判断A选项；根据角平分线的定义得到，则进而求出的度数判断B选项；利用等角对等边得到，再根据线段垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上判断C选项；根据角所对的直角三角形的性质得到，即可得到，判断D选项解答即可．
7．如图，矩形ABCD的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形.若四个正方形的面积和是68m2，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．13 B．15 C．26 D．30
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设，，
由题意得，，，
，，
，
，
则长方形的面积是15平方米．
故答案为：B.
【分析】设，，根据题意可得，，然后根据完全平方公式的变形得到，然后整体代入解答即可．
8．已知点M(-4，a-2)，N(-2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 N(-2，a)，P(2，a) 关于y轴对称
∴排除A、C
又∵ 点M(-4，a-2)，N(-2，a) 在y轴左侧，y随x的增大而增大
∴排除D
∴可能是B
【分析】根据点 N(-2，a)，P(2，a) 关于y轴对称可排除A、C，再根据点M(-4，a-2)，N(-2，a) 在y轴左侧，y随x的增大而增大可得结果.
9． 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
10．扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵OC＝2，点C在上，CD⊥OA，
∴DC＝，
∴S△OCD＝，
∴S△OCD2＝＝，
∴当OD2＝2，即OD＝时，△OCD的面积最大，最大值为1，
故选：C．
【分析】本题以扇形中的动点问题为背景，考查了勾股定理、三角形面积公式以及二次函数求最值的方法。解题的关键是设 OD = x，在 Rt△ OCD 中，由 OC = 2 得 CD =，则面积 S =。为方便求最值，先计算，当 = 2 即 x = 时，取最大值 1，故 S 的最大值为 1。注意利用平方转化为二次函数顶点式是解题的常用技巧。
11．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得：x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
12．已知x，y满足方程组，则x+y=　 　 .
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，，
整理得，，
等式两边同除以得，．
故答案为：1.
【分析】将两个方程求差，即可得到的值解答即可．
13．使得方程有实数根的最大的整数　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.
14．如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF=5，CD=9，则线段AB的长为　 　 .
【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于，
．
故答案为：15.
【分析】连接交于，先根据平行线分线段成比例得到，再根据平行可得，，利用对应边成比例解答即可．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　．
【答案】x＞3或x＜-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【分析】不等式变形为，判断抛物线与直线关系，而直线PQ：与直线AB：关于y轴对称，求出抛物线与直线交于，两点，然后借助图象得到抛物线在直线下方时的自变量的取值范围解答即可．
16．如图，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF.过点C作CM⊥EF，交EF，BD，AD分别于点G，H，M.若BE=1，EC=5，则的值为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
由旋转的性质得，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据正方形的定义，利用SAS得到，即可得到，，根据旋转的性质和勾股定理求出，即可得到，根据勾股定理求出长，则可得到和AD长，然后根据两角对应相等得到，求出的长，再根据平行证明，利用对应边成比例解答即可．
17．计算：.
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】先计算算术平方根，零次幂和负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．解分式方程：．
【答案】解：方程两边都乘以，
得：
变形，得：
解得：．
检验，当时，．
所以，原方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题主要考查解分式方程。解题的关键是先将分母化为相同形式，注意到2-x = -(x-2)，因此原方程可化为 = 3，即=3。去分母得x-4=3(x-2)，解整式方程得x=1，最后一定要代入原分母检验，确保分母不为零。掌握去分母与验根两个步骤是解分式方程的核心。
19．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°.
（1）求车位锁的底盒长BC.
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位 （参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【答案】（1）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm.
（2）解：在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断.
20．3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图.
（1）m= ▲ ，n= ▲ ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为　 　；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.
【答案】（1）解：16；50；
测试成绩为（含）的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示，
（2）72°
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用的频数除以占比可得的值；用的频数除以再乘以即可得的值；运用n减去其它组人数求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数占比解答即可；
（）画树状图得出所有等可能的结果数，找出恰符合条件的结果数的结果数，利用概率公式计算即可.
21．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
22．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，线段B'F交AD边于点G.
（1）求证：GE=GF；
（2）当AE=2DG时，求AE的长；
（3）令AE=a，DG=b.求证：（4-a）（4-b）=4.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF
（2）解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得（此时大于，舍去）或，
；
的长为；
（3）证明：如图2，点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，
∴O为EF中点，OA=OD，，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°-∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，
即GQ EQ=OQ2，
∴GQ EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴，
∴EQ=AQ-AE=4-a，GQ=DQ-GD=4-b，
∴（4-a）（4-b）=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据轴对称得到，即可得到，然后根据等角对等边证明即可；
（2）过作于，设，即可得到，，进而得到，求出，在中根据勾股定理解答即可；
（3）过作于，连接，，，得到过点，可得为中点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，证明结论即可．
23．已知抛物线 (a， b， c为常数) 经过点(0， 1)， (2， 0).
（1） 求2a+b的值.
（2）若抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位后经过原点，求原图象与x轴的另一个交点坐标.
（3） 当 ab<0， - 1≤x≤1时， y的最大值为3， 求b的值.
【答案】（1）解：∵抛物线 (a， b， c为常数) 经过点 (0， 1)， (2， 0).
解得
（2）解：由题意得：抛物线. 经过点(0， 1)， (1， 1).
∴抛物线的对称轴为直线
∵抛物线与x轴的一个交点为 (2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0).
（3）解：当a>0时，
∵ab<0，
抛物线的对称轴为直线
∵-1≤x≤1，
∴当x=-1时， y取到最大值，
∴a-b+1=3，
解得
当a<0时，
抛物线的对称轴为直线
又∵ab<0，
抛物线的对称轴为直线
∵-1≤x≤1，
当 时，y取到最大值3，
可得 b2-4b-2=0，
解得
∵b>0，
综上所述： 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A，B的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据平移得到抛物线必过点(0， 1)， (1， 1)，即可得到对称轴为直线 然后根据对称性得到抛物线与x轴另一交点坐标即可；
（3）分为a>0和a<0两种情况，得到对称轴的位置，然后根据二次函数的增减性得到最大值，然后解方程求出b的值解答即可.
24．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.
（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.
（2）如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD=2.
①若tan∠ADB=，求△FGD的周长.
②求CG的最小值.
【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ABG=∠DBC=α，
∴∠AGB=90°-α；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠BDC=90°-α，
∴∠BEC=∠AGB，
∵∠CEF=180°-∠BEC，∠BGD=180°-∠AGB，
∴∠CEF=∠BGD，
又∵CE=BG，∠ECF=∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF=DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=∠BED=90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，AD=2，
∴AB=，
∵，
∴，
即，
∴AD=CE，
∵CE=BG，
∴BG=AD=2，
∵在Rt△ABG中，，
∴∠AGB=60°，，
∴EF=DG=AD-AG=1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD=60°，
∴，
在Rt△FED中，，
∴FG+DG+DF=，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD=CF，∠CFH=∠BDA，
∵∠BAD=∠CHF=90°，
∴△BAD≌△CHF(AAS)，
∴FH=AD，
∵AD=BG，
∴FH=BG，
∵∠BCF=90°，
∴∠BCH+∠HCF=90°，
∵∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠HCF=∠HBC，
∵∠BHC=∠CHF=90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH=x，
∴BH=2-x，
∴CH2=2(2-x)，
在Rt△GHC中，CG2=GH2+CH2，
∴CG2=x2+2(2-x)=(x-1)2+3，
当x=1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解得；
（2）得到，即可得到，然后根据等角的补角相等得到，再根据ASA证明，根据对应边相等得到结论即可；
（3）①连接．求出AB的长，即可得到，进而得到哦啊，在中，求出EF的长，再在中，求出EG及DE，根据勾股定理求出DF解答；
②过点C作于H，即可得到，进而得到，推理得到哦啊，根据对应边成比例设，求出，根据勾股定理得到求得，利用二次函数的性质解答即可．
1 / 1浙江省台州市白云中学2025-2026学年九年级下册月考数学试卷（3月份）
1．在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．0
2．榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a+a=a2 B．2（a+3）=2a+3
C．（a+3）2=a2+9 D．（a+3）（a-3）=a2-9
4．某篮球队5名队员的身高（单位：厘米）分别为180，185，190，195，200。现用一名身高为185厘米的队员换下身高为200厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（　　）
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
5．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC=60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC=1：2
7．如图，矩形ABCD的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形.若四个正方形的面积和是68m2，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．13 B．15 C．26 D．30
8．已知点M(-4，a-2)，N(-2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
9． 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
11．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．已知x，y满足方程组，则x+y=　 　 .
13．使得方程有实数根的最大的整数　 　．
14．如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF=5，CD=9，则线段AB的长为　 　 .
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　．
16．如图，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF.过点C作CM⊥EF，交EF，BD，AD分别于点G，H，M.若BE=1，EC=5，则的值为　 　 .
17．计算：.
18．解分式方程：．
19．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°.
（1）求车位锁的底盒长BC.
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位 （参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
20．3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图.
（1）m= ▲ ，n= ▲ ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为　 　；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.
21．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
22．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，线段B'F交AD边于点G.
（1）求证：GE=GF；
（2）当AE=2DG时，求AE的长；
（3）令AE=a，DG=b.求证：（4-a）（4-b）=4.
23．已知抛物线 (a， b， c为常数) 经过点(0， 1)， (2， 0).
（1） 求2a+b的值.
（2）若抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位后经过原点，求原图象与x轴的另一个交点坐标.
（3） 当 ab<0， - 1≤x≤1时， y的最大值为3， 求b的值.
24．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.
（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.
（2）如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD=2.
①若tan∠ADB=，求△FGD的周长.
②求CG的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴，
∴，即的绝对值最大，
∴ 离原点距离最远的点所表示的数是.
故选：A
【分析】本题以数轴为背景，考查了点到原点的距离与绝对值之间的关系。一个数所表示的点到原点的距离等于该数的绝对值，因此只需比较 -3、、-1、0 这四个数的绝对值大小，绝对值最大的数对应的点离原点最远。计算得 |-3| = 3，|| =，|-1| = 1，|0| = 0。比较 3 与时，可将两者平方，32= 9，()2 = 5，由 9 > 5 且正数平方越大原数越大得 3 >。因此 3 >> 1 > 0，-3 的绝对值最大，故离原点最远的点表示的数是 -3。注意比较无理数与有理数大小时可采用平方法。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：图2的左视图为：
，
故选：B．
【分析】本题以鲁班锁构件为背景，考查左视图的概念。左视图是从左向右观察得到的图形，解题时需根据构件的实际形状，判断从左面看每一列的最高层数及前后遮挡关系，从而选出正确选项。
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算错误，该选项不符合题意；
B、，计算错误，该选项不符合题意；
C、，计算错误，该选项不符合题意；
D、计算正确，该选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原5名队员的平均身高=cm，
方差=；
替换之后5名队员的平均身高=cm，
方差=；
因此与换人前相比，场上队员身高“ 平均数变小，方差变小 ”。
故答案为：C.
【分析】平均数，即将一组数据求和之后，再除以数据数量即可；方差，即计算出每个数据与平均数的差的平方，求和之后再除以数据数量即可。本题可以先分别计算出替换前和替换后的平均身高数，然后再计算出方差，对比即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于1万=104，1亿=108，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据作图可知是的角平分线判断A选项；根据角平分线的定义得到，则进而求出的度数判断B选项；利用等角对等边得到，再根据线段垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上判断C选项；根据角所对的直角三角形的性质得到，即可得到，判断D选项解答即可．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设，，
由题意得，，，
，，
，
，
则长方形的面积是15平方米．
故答案为：B.
【分析】设，，根据题意可得，，然后根据完全平方公式的变形得到，然后整体代入解答即可．
8．【答案】B
【知识点】函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 N(-2，a)，P(2，a) 关于y轴对称
∴排除A、C
又∵ 点M(-4，a-2)，N(-2，a) 在y轴左侧，y随x的增大而增大
∴排除D
∴可能是B
【分析】根据点 N(-2，a)，P(2，a) 关于y轴对称可排除A、C，再根据点M(-4，a-2)，N(-2，a) 在y轴左侧，y随x的增大而增大可得结果.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵OC＝2，点C在上，CD⊥OA，
∴DC＝，
∴S△OCD＝，
∴S△OCD2＝＝，
∴当OD2＝2，即OD＝时，△OCD的面积最大，最大值为1，
故选：C．
【分析】本题以扇形中的动点问题为背景，考查了勾股定理、三角形面积公式以及二次函数求最值的方法。解题的关键是设 OD = x，在 Rt△ OCD 中，由 OC = 2 得 CD =，则面积 S =。为方便求最值，先计算，当 = 2 即 x = 时，取最大值 1，故 S 的最大值为 1。注意利用平方转化为二次函数顶点式是解题的常用技巧。
11．【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得：x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
12．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，，
整理得，，
等式两边同除以得，．
故答案为：1.
【分析】将两个方程求差，即可得到的值解答即可．
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.
14．【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于，
．
故答案为：15.
【分析】连接交于，先根据平行线分线段成比例得到，再根据平行可得，，利用对应边成比例解答即可．
15．【答案】x＞3或x＜-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【分析】不等式变形为，判断抛物线与直线关系，而直线PQ：与直线AB：关于y轴对称，求出抛物线与直线交于，两点，然后借助图象得到抛物线在直线下方时的自变量的取值范围解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
由旋转的性质得，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据正方形的定义，利用SAS得到，即可得到，，根据旋转的性质和勾股定理求出，即可得到，根据勾股定理求出长，则可得到和AD长，然后根据两角对应相等得到，求出的长，再根据平行证明，利用对应边成比例解答即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】先计算算术平方根，零次幂和负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．【答案】解：方程两边都乘以，
得：
变形，得：
解得：．
检验，当时，．
所以，原方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题主要考查解分式方程。解题的关键是先将分母化为相同形式，注意到2-x = -(x-2)，因此原方程可化为 = 3，即=3。去分母得x-4=3(x-2)，解整式方程得x=1，最后一定要代入原分母检验，确保分母不为零。掌握去分母与验根两个步骤是解分式方程的核心。
19．【答案】（1）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm.
（2）解：在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断.
20．【答案】（1）解：16；50；
测试成绩为（含）的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示，
（2）72°
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用的频数除以占比可得的值；用的频数除以再乘以即可得的值；运用n减去其它组人数求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数占比解答即可；
（）画树状图得出所有等可能的结果数，找出恰符合条件的结果数的结果数，利用概率公式计算即可.
21．【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF
（2）解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得（此时大于，舍去）或，
；
的长为；
（3）证明：如图2，点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，
∴O为EF中点，OA=OD，，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°-∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，
即GQ EQ=OQ2，
∴GQ EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴，
∴EQ=AQ-AE=4-a，GQ=DQ-GD=4-b，
∴（4-a）（4-b）=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据轴对称得到，即可得到，然后根据等角对等边证明即可；
（2）过作于，设，即可得到，，进而得到，求出，在中根据勾股定理解答即可；
（3）过作于，连接，，，得到过点，可得为中点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，证明结论即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线 (a， b， c为常数) 经过点 (0， 1)， (2， 0).
解得
（2）解：由题意得：抛物线. 经过点(0， 1)， (1， 1).
∴抛物线的对称轴为直线
∵抛物线与x轴的一个交点为 (2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0).
（3）解：当a>0时，
∵ab<0，
抛物线的对称轴为直线
∵-1≤x≤1，
∴当x=-1时， y取到最大值，
∴a-b+1=3，
解得
当a<0时，
抛物线的对称轴为直线
又∵ab<0，
抛物线的对称轴为直线
∵-1≤x≤1，
当 时，y取到最大值3，
可得 b2-4b-2=0，
解得
∵b>0，
综上所述： 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A，B的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据平移得到抛物线必过点(0， 1)， (1， 1)，即可得到对称轴为直线 然后根据对称性得到抛物线与x轴另一交点坐标即可；
（3）分为a>0和a<0两种情况，得到对称轴的位置，然后根据二次函数的增减性得到最大值，然后解方程求出b的值解答即可.
24．【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ABG=∠DBC=α，
∴∠AGB=90°-α；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠BDC=90°-α，
∴∠BEC=∠AGB，
∵∠CEF=180°-∠BEC，∠BGD=180°-∠AGB，
∴∠CEF=∠BGD，
又∵CE=BG，∠ECF=∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF=DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=∠BED=90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，AD=2，
∴AB=，
∵，
∴，
即，
∴AD=CE，
∵CE=BG，
∴BG=AD=2，
∵在Rt△ABG中，，
∴∠AGB=60°，，
∴EF=DG=AD-AG=1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD=60°，
∴，
在Rt△FED中，，
∴FG+DG+DF=，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD=CF，∠CFH=∠BDA，
∵∠BAD=∠CHF=90°，
∴△BAD≌△CHF(AAS)，
∴FH=AD，
∵AD=BG，
∴FH=BG，
∵∠BCF=90°，
∴∠BCH+∠HCF=90°，
∵∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠HCF=∠HBC，
∵∠BHC=∠CHF=90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH=x，
∴BH=2-x，
∴CH2=2(2-x)，
在Rt△GHC中，CG2=GH2+CH2，
∴CG2=x2+2(2-x)=(x-1)2+3，
当x=1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解得；
（2）得到，即可得到，然后根据等角的补角相等得到，再根据ASA证明，根据对应边相等得到结论即可；
（3）①连接．求出AB的长，即可得到，进而得到哦啊，在中，求出EF的长，再在中，求出EG及DE，根据勾股定理求出DF解答；
②过点C作于H，即可得到，进而得到，推理得到哦啊，根据对应边成比例设，求出，根据勾股定理得到求得，利用二次函数的性质解答即可．
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