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江西赣州市2026届高三年级下学期适应性考试数学试题
一、单选题
1．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，公差，且，则（ ）
A．5 B．50 C．60 D．105
5．已知事件、满足．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（ ）
A．1 B． C．4 D．
8．已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有一组互不相等的数据从小到大依次为，若删去，则（ ）
A．新数据的极差等于原数据的极差 B．新数据的平均数等于原数据的平均数
C．新数据的标准差小于原数据的标准差 D．新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数
10．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ）
A． B．直线经过点
C． D．与面积之和的最小值是3
11．四面体满足，，，，则（ ）
A．直线与的夹角为 B．四面体外接球的表面积为
C．的中点到直线的距离为 D．四面体内切球的半径为
三、填空题
12．曲线在处的切线方程为______．
13．为平面内一点，，则的取值范围是______．
14．已知分别是双曲线的左、右焦点，点在的右支上，为的平分线，，垂足为，为的中点，直线交于点，记，的面积分别为，，则的最大值为______．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，满足．
(1)若为等腰三角形，求；
(2)若，求的面积．
16．甲、乙两人玩轮流掷骰子（质地均匀）的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷．
(1)记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望；
(2)记第次由乙掷骰子的概率为．
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前项和．
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，且，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，直线交于两点，且四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)动圆过原点与，且与交于，两点，直线，分别交于另一点．
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）点满足，求到直线的距离之和的最大值．
19．已知函数有两个零点、，．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：．
参考答案
1．B
【详解】由可得，，
所以，.
2．D
【详解】因为，所以
所以，
所以
3．C
【详解】因为，所以，
可得，
由模长公式得.
4．A
【详解】解:因为等差数列中，，，
所以，
即，
所以
5．A
【详解】由概率的乘法公式可得，
因为，即，故，
所以事件、相互独立，故事件、相互独立，
故，
因此.
6．B
【详解】因为，所以，利用二项式定理展开得，
即，
又因为，对应系数要相等，则
又因为且，即，解得，故B正确.
7．C
【详解】
由题意得，圆的方程为，所以圆心，半径，
如图所示，直线与把圆分成长度相等的三段弧，
因此为等边三角形，，因此圆心到直线的距离，
而圆心到直线的距离，即，两边同时平方后化简得，
同理，对于直线，也满足方程 ，
因此是二次方程的两个不相等的实根，
根据韦达定理有，
所以 ，故C正确.
8．A
【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和，
因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到，
如上图，在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增.
① 当时，在的最大值，
在的最大值为，矛盾；
② 当时，在的最大值，
在的最大值为，矛盾；
③ 当时，在的最大值，
在的最大值为，矛盾；
④ 当时，在的最大值，因，
在单调递增，最大值，，矛盾；
⑤ 当时，在的最大值，
，，由图可知，此时只需令 即可，
解得或，所以，
综上所述，的取值范围是.
9．AD
【详解】对于A，删去，最小值与最大值保持不变，分别为，故极差保持不变，故正确；
对于B，当的平均数为时，删去，平均数保持不变，否则会变化，故错误；
对于C，取分别为，
则原数据的平均数为，
方差为
删去，新数据的平均数为，方差为，
显然，此时新数据的标准差大于原数据的标准差，故C选项错误；
对于D，因为，原数据的40%分位数为；
因为，故新数据的40%分位数为，故新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，D选项正确.
10．ABD
【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，

由，消去得，
得到，，得，
而，，可得，
由，得，解得或，
而，即，因此，，故A正确；
对于B，此时直线恒过点，故B正确；
对于C，由模长公式得，
同理可得，
则
，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，得到，
可得，故C错误，
对于D，不妨设，而，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确.
11．BCD
【详解】在四面体满足，，，，
由勾股定理可得，所以，
同理可得，，，
将四面体补成长方体如下图所示：
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A选项，、、、，
，，则，
所以直线与的夹角为，A错；
对于B选项，该四面体的外接球直径为，则，
所以四面体外接球的表面积为，B对；
对于C选项，线段的中点为，，
所以点到直线的距离为，C对；
对于D选项，，
，同理可得，，，
设该四面体内切球球心为，内切球半径为，
则
，
解得，D对.
12．
【详解】由，求导得，则，而当时，，
所以所求切线方程为，即.
13．
【详解】因为，
所以，，
所以，，，
所以，在中，，，，
由余弦定理得，即，
所以为直角三角形，
因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示，
所以，即，
所以的取值范围是
14．6
【详解】延长交的延长线于点，
由题意知，，则，所以，
由平分角，，则为等腰三角形，所以,
根据双曲线的定义可得，又，
所以，
因为，
又点，分别为，的中点，所以，，
设为边上的高，
因此，
所以当时，此时，为高的最大值，
因此的最大值为.
15．(1)或
(2)
（1）解：由
可得：即
整理得：
又，且，所以
因为为等腰三角形，
①当时，，得
②当时，，得
故的值为或
（2）解：结合（1）得，时，
由正弦定理得，
所以
又，
所以
所以的面积为
16．(1)
的分布列为：
数学期望
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）由题设的所有可能取值为，
当时，前次只有次是甲掷，序列是甲乙乙，
则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次乙掷的概率是，因此；
当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲乙或甲乙甲，
对于甲甲乙，则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次乙掷的概率是，
对于甲乙甲，则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次甲掷的概率是，因此；
当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲甲，
则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次甲掷的概率是，因此，
故的分布列为
数学期望.
（2）已知第次由乙掷的概率为，则第次由甲掷的概率为，因此第次由乙掷的概率可以表示为，
（ⅰ）由于，则，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）得，故
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在平面内作交于点，连接，
由与，得，
所以，
又平面平面，平面平面，
，平面，
故平面，
又因为平面，故，
在中，由与，
则，
即，
在中，，即，
所以，故，即，
又，且，、平面，
故平面，
因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，故，
又，、平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
故、、、、，
，，，则，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，
由（1）知平面，且，
故令为平面的一个法向量，
记二面角的平面角为（显然为锐角），
故，
即二面角的余弦值为.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）设的焦距为，则由题意，解得，
因为直线交于两点，
所以，将，代入椭圆得，解得，
所以，
因为，解得，
所以的方程为；
（2）由（1）知：直线为线段的中垂线，故为圆的直径，所以，
设，则有，即，
（ⅰ）分别记直线的斜率为，
则；
（ⅱ）设，直线的方程为，
联立可得，
则，且，
由，
化简得：，
代入得：，
即，
化简得，即，所以直线恒过定点，
由知，
所以直线也过定点，且，即，
显然原点在线段上，
故点到直线的距离之和为平行线间的距离，且，
故当直线垂直于轴时，点到直线的距离之和达最大值为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由，可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个公共点，
，
故当时，；当时，．
故函数在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，
构造函数，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
令，即，即，所以，
所以，即，
当时，，，所以，
且当时，；当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
附上，则的严格说明：
（2）记
，
则
．
记，
则
，
故当时，；
当时，．
故函数在区间、上单调递减，在区间上单调递增．
由于，所以，，
故，
即存在唯一，使，
构造函数，其中，所以，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即，当且仅当时，等号成立，
又当时，，
故当时，，即；
当时，，即.
故函数在区间、上单调递增，在区间上单调递减，
又，且当时，，
所以恒成立，当且仅当时取等号，即.
（3）因为、为函数的两个零点，
故，，由（2）知，
整理得，即，
又，所以，
即，故原不等式得证.

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