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山西太原市第五中学校2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若，，则
C．零向量没有方向 D．若，则
4．若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
6．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．13
二、多选题
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限
C． D．
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为
11．满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于，则的长为
D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题
12．已知是奇函数，则实数a的值是________．
13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
14．如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______．
四、解答题
15．如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动，
(1)求点坐标；
(2)判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
16．已知函数．
(1)的最小正周期；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式在上的解集．
17．在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高．
(1)求正四棱台的表面积和体积；
(2)在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
18．在中，角，，的对边分别是，，，．
(1)求；
(2)若是边的中点，且，求面积的最大值．
19．如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，．
(1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为，，
所以.
故选：D．
2．C
【详解】因为，所以，所以．
3．D
【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；
B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；
C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；
D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确．
4．A
【详解】设圆柱母线长为，,则表面积，
体积，所以．
故选：A
5．A
【详解】由余弦定理，有，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，解得.
故选：A.
6．C
【详解】由题设，
所以
，
由，
所以.
7．D
【详解】因为，所以．
因为在上恰有3个零点，所以，解得．
8．A
【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系．
则，
，
当且仅当时取等号．
故选：A
9．AC
【详解】因为是纯虚数，所以A正确；
因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；
因为的共轭复数为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选：AC
10．CD
【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误；
圆锥的母线长，则侧面积为，B错误；
球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；
圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，
所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确．
故选：CD
11．ABD
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
对于A：由余弦定理知，，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B：因为，
所以的周长为，故B正确；
对于C：若的角平分线与交于，则，
因为，
所以，
即，解得，故C错误；
对于D：因为，
设外接圆的圆心为，半径为，
由正弦定理知，，所以，
过点作的垂线，垂足为，则，
当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，
此时，
所以的最大值为，故D正确.
12．2
【详解】因为为奇函数，所以，即，
化简得，解得或．检验知满足题意，故．
故答案为：2.
13．且
【详解】由题设，又与的夹角为锐角，
所以，则，
所以，可得且.
14．
【详解】因，，，则有，
又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，
则得，
因，，
则
，
由图知，当与同方向时，取得最大值1，
当与反方向时，取得最小值，
故.
故答案为：．
15．(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意，得，
因为四边形是平行四边形，
所以，故；
（2）由题意，，
，
若，则，
化简得：，解得，
故存在点，使得，且.
16．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
(3)
【详解】（1）
.
所以，的最小正周期.
（2）由可得，
，
所以，的单调递增区间为；
由可得，
，
所以，的单调递减区间为.
（3）由可得，
整理可得.
因为，所以.
根据正弦函数的图象可知，
要使，应满足，
解得.
所以，不等式在上的解集为.
17．(1)表面积，体积
(2)
【详解】（1）由题可知正四棱台的体积，
记分别为棱台上、下底面的中心，分别取中点，连接，
，在梯形中，过作于，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且，所以，
所以，
所以正四棱台的表面积．
（2）把该四棱台沿侧棱展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如图所示的路径．在等腰梯形中，设，易知．
在中，，
又，
由余弦定理得，
所以彩带最少需要．
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以， 即．
由余弦定理可得，则，所以．
因为，所以．
（2）因为D是边的中点，所以，
所以，即．
因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，
则的面积，
即当时，的面积取得最大值．
19．(1)表面积为10，体积为2
(2)
(3)
【详解】（1）因为底面 为正方形，所以，
则长方体的表面积为，
体积为.
（2）由图和已知，
，
当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为.
（3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球，
设该外接球的半径为则，
所以，
则，
令，则，，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的取值范围为.

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