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河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．2
3．下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体
4．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（ ）
A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内
C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内
6．如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ）
A． B．或
C．或 D．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ）
A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为
C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则b的最大值为
C．若的面积为，则a的最小值为2
D．若，，，，则动点D的轨迹长度为
三、填空题
12．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______．
13．在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14．已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值；
(2)若复数，求m的值．
16．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．
(1)证明：平面PAC；
(2)证明：平面平面PBC．
17．如图，在中，，，，．
(1)用，表示；
(2)若，，求．
18．如图，在中，，D为边AC上一点，且，．
(1)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积；
(2)若，求的取值范围．
19．如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若与平面所成角的正弦值为，求的值．
参考答案
1．B
【详解】因为，所以，
则，其虚部为2．
2．C
【详解】
，
又，
，解得．
3．D
【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误；
对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；
对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；
对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确．
4．A
【详解】由正弦定理，，
不妨设，，，
则由余弦定理，，
因为，所以．
5．C
【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A，
由面面垂直的性质定理可知，，
假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行，
又因为都过点P，所以这两直线重合，
因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内，
6．A
【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．

7．D
【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且，
所以，设与的夹角为，与的夹角为，
又因为，，
所以且，即与和的夹角均为锐角，
又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间，
如图所示，其中，，，则有，
则，
因为即，所以，
则，则，
即．
8．B
【详解】设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以.
因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面.
因为是正四棱锥，则点O一定在直线上.
如图1所示，连接OA，因为，所以.
设，则，所以.
则.
当且仅当，即时等号成立，即，．
当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为.
则正四棱锥的体积.
当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为.
则正四棱锥的体积．
9．ABD
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误；
对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确．
10．ABD
【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为，
由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则，
对于A选项，圆台的表面积，所以A正确；
对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确；
对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误；
对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以，
解得，所以外接球的表面积，所以D正确．
11．BCD
【详解】对A，因为，
所以，
则，
则，
因为，所以，即，
因为，所以，故A错误；
对B，因为，，由正弦定理得：，
即，所以，
当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确；
对C，若的面积为，则有，即，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确；
对D，因为，，即，，
则，
则点D在角A的内角平分线所在直线上．
当时，，则D，B，C三点共线，
设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE．
则，
根据，
，
，则，所以D正确．
12．
【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，
因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得，
所以实数x的取值范围为．
13．
【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且，
由得，点N为棱BC的中点，
在棱CD上取一点P，使得，连接，PN，
则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．
设正方体棱长为6，则，，所以，
，．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．

14．/
【详解】在上的投影向量为，即，所以，因为，所以，设，的夹角为，则，又因为，所以．如图，
设，，，则，，由已知可得，，，．连接AB，则，又因为，在中，由正弦定理得：，即，所以的外接圆的半径为2，设圆为的外接圆，点C为优弧上任意一点，则，取AB的中点M，则，求的最大值，即求的最大值，当C，，M三点共线时，即点C在优弧的中点时，最大，又因为是边长为2的正三角形，所以，即的最大值为，所以的最大值为：．
15．(1)
(2)
【详解】（1）若复数z在复平面内对应点，
则有，
解得；
（2）设复数，
若为负实数，则有，
则有且，即为纯虚数．
因复数，
则复数z为纯虚数，即，
解得．
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点，
又因为点D为BC的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；
（2）因为点C在底面圆周上，所以，
又因为点D为BC的中点，所以，
因为AB为底面直径，所以，
又因为，所以，
而，PD，平面POD，所以平面POD，
因为平面PBC，所以平面平面PBC．
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
所以．
因为，所以为线段的中点.
所以；
（2）因为，，所以．
，所以．
所以，
所以①，
因为，所以，
所以①．
18．(1)（i）；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得：，即，
所以是等腰三角形，即．
所以，即；
（ⅱ），即是等腰三角形，所以，
所以；
（2）因为，即，即．
设，则，则，
所以，
又因为，因为，
所以，即，
又因为，令，则，
所以，，因为函数在上单调递增，
所以．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）连接，，，因为是长方体，
M，N分别为棱，的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，，所以，
，，
则有，则有；
同理，，并且，BM，平面BDM，
所以平面BDM，又因为，所以平面BDM；

（2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以，
又因为是边长为的正三角形，则有，
则即为二面角的平面角，
且，，，
由余弦定理，，
所以二面角的余弦值为；

（3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则．
因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM，
则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据，
即，解得，
又因为与平面所成角的正弦值为，
则．
连接，是边长为的正三角形，
在中，由余弦定理得,，
即，整理得：，
即，解得或，
又因为，，
所以或，

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