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湖北武昌实验中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．若，则它是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．4 D．1
3．已知是三角形的内角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．7 D．8
7．在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知函数，其中，若对于任意实数，函数在区间上至少有两个零点，至多有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为4
D．过作交于，则的最大值为5
11．已知平面向量，定义，如 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若平面向量满足 ，则的取值范围为
D．若，点满足 则点的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________
13．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为_______.

14．已知点为内部的一动点，记，当取得最小值时，，此时的余弦值为______．
四、解答题
15．如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.

(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围.
16．已知向量.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
17．在中，是线段上一点，且，设．
(1)若，求的值；
(2)求的最大值．
18．武汉东湖之眼摩天轮位于武汉东湖磨山景区内，甲、乙两位同学在游玩之后想对其进行数学建模研究，获取资料如下：摩天轮的轮盘直径约为50米，其最高点距离地面的高度约为55米，摩天轮旋转一周的时间约为15分钟．游客从摩天轮的最低点进入座舱，乘坐一周后在原位置出舱．
(1)若从甲进入座舱起，经过分钟后距离地面高度为米，直接写出的表达式；
(2)若从甲进入座舱起，乙站在地面开始为甲拍摄游玩视频以记录甲乘坐摩天轮的过程，当且仅当甲距离地面不超过17.5米时，可以在视频中拍摄到甲，求甲在视频中出现的时长；
(3)已知该摩天轮一共设有等角度间隔的28个座舱，若乙在甲进入座舱 × (15/28) 分钟后，也进入摩天轮，其中，若从乙进入座舱的那一刻开始计时，直到甲和乙距离地面的高度第一次达到相等停止计时，若在这个过程中，甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，求的最小值．
（参考数据：）
19．已知平面直角坐标系中，点，点为坐标原点．
(1)若点满足，求的最小值；
(2)线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中．
（i）记，求：
（ii）当时，求的最小值．
参考答案
1．C
【详解】，故它是第三象限角.
故选：C
2．C
【详解】由.
3．B
【详解】∵是三角形的内角，∴，即，
∵，∴，
∴.
故选：B．
4．B
【详解】若存在实数，使，则共线；
若，则同向；
所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件.
5．D
【详解】因为，
所以在上的投影向量为：.
6．D
【详解】因为点与点关于点对称，所以，则．
取的中点，连接，则，，
则．
当点与点或点重合时，取得最大值，则，
从而的最大值为8．
故选：D
7．A
【详解】已知，即，因为，所以,
即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：，
即，解得.
，即，
根据正弦定理，解得，即.
8．D
【详解】令，得，则，或，
由，得，区间长度为，
由在区间上至少有两个零点，
得区间长度至少为，即，解得，
由至多有5个零点，得区间长度，解得，
所以的取值范围是.
9．ABD
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，可得，，因，则,
因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.
故选：ABD.
10．ACD
【详解】以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则，设，则，
由，得，
所以，则，
选项A、B：，
由，得，
所以时，的最大值为，故A正确；
当或时，的最小值为1，故B错误；
选项C：，
当时，的最大值为4，故C正确；
选项D：由题意，
所以
令，，
所以当时，有最大值5，则的最大值为5，故D正确.
11．ABD
【详解】选项A：，，
由绝对值不等式得，
所以，故A正确；
选项B：，
，
显然，，
所以，故B正确；
选项C：设，由题意 ，
则，
所以，
由B项分析可得，即，
所以，
由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时取最小值8，当 或 时取最大值16，
所以，故C错误；
选项D：设，则，
由 ，得 ，即 ，
当时，得 ，即 ，
得线段和线段，长度为；
当时，得 ，即，
得线段和线段，长度为；
当时，得 ，即 ，
得线段和线段 ，长度为，
则总长度为，故D正确.
12．
【详解】由与夹角为钝角，得，
解得，
当时，可得，解得，不在范围内，
所以实数的取值范围为
13．
【详解】由函数的图象，可得，解得，
又由，可得，解得，
因为，则，所以，
又因为将的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】设平面直角坐标系中，三个顶点坐标为，，，
动点坐标为.
∵ 距离平方和，
∴ 代入坐标展开得：
，
对于二次函数（），当时取得最小值，
∵ 二次项系数，∴ 相关的二次项在时取最小值，
同理相关的二次项在时取最小值，
∴ 当且仅当时，取得最小值.
而三角形重心的坐标公式恰好为，
∴ 使得距离平方和最小的点就是的重心.
∵为的重心，∴，整理得，
将等式两边同时平方得，
展开左边得，
∵ ，，，代入得 .
计算得，整理得，
∴ .
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
所以，
由，可得，所以，
所以.

（2）
，
当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆，
所以，
，
所以的取值范围为：.
16．(1)，；
(2).
【详解】（1）由题可得，
，
令，，
解得，，
故单调递增区间为，；
（2）由题意，函数在有两个不同的零点，
令，则在有两个不同的解，故，
故与的图象在上有两个不同的交点，
而在为增函数，在为减函数，
且，故，则，即.
17．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，且，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
则，又，
联立解得.
（2）在中，由正弦定理得，即，
则，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
18．(1)
(2)5分钟
(3)6
【详解】（1）摩天轮的轮盘直径约为50米，则半径为25米，摩天轮中心距地面30米，
由周期为15分钟，得，
以最低点为起点，t分钟后对应的角度为，
则.
（2）令，则，
由，得，
所以或，
解得或，
总的时长为分钟
（3）由摩天轮有等角度间隔的28个座舱，得相邻座舱角度差为，
乙间隔n个座舱进入，故甲、乙的角度差为，
设乙进入后时间为t，则甲的高度，
乙的高度，
则高度差为
，
第一次高度相等时，，即，
则，解得，得，
当时，相遇时的时间，
若高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，则开始大于等于25米的时间最晚为，
此时甲乙的高度差，
因为，所以，
所以，
即甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，符合题意；
当时，相遇时的时间，
若高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，则开始大于等于25米的时间最晚为，
此时甲乙的高度差，
由，得，
所以，
即甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间不超过2.5分钟，不符合题意；
同理当时，均不满足题意，故的最小值为6.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意得，则，
所以，
则当时，的最小值为.
（2）（i）由题意，则，求和，
又，
所以，
则
（ii）当时，，
所以
，
记，为关于j的一次函数
当时，则，
其中当时，该式有最小值；
当时，；
当时，，
其中当时，该式有最小值；
综上，的最小值为.

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