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福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高一数学
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知点，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．如图，已知中，为的中点，，若，则
A． B． C． D．
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ）
A．EF与GH平行 B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
6．如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，这是一个正方体的平面展开图，分别是棱的中点，则在该正方体中（ ）
A．
B．与是异面直线
C．相交于一点
D．
11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
三、填空题
12．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________．
13．Rt中，为的外接圆上一动点，则的最大值为__________．
14．如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________．
四、解答题
15．已知与的夹角.
(1)求的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．如图，有一码头和三个岛屿，，，.
（1）求两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.
17．如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
18．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长．
19．在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知．
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)若分别在边上，且，求面积的最小值．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．C
5．C
6．A
7．D
8．D
9．BC
10．ABC
11．AC
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
16．（1）（2）
17．(1)证明见解析；
(2)
18．(1)证明见解析
(2)
(3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，
19．(1)
(2)
(3)

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